【正文】 00 xxxx ?則? ?????? 等于（ D ） A、 100a B、 100a2 C、 101a100 D、 100a100 二、填空題 1．若等差數(shù)列 ??an 的前幾項和為 Sn，且 ??? 251015 20 SSS 則 。亦即 12 2??nn 。 ⑵∴ 12 1?? ?nnb ， ∴ nbbbbT nnn ??????????? ? )2222( 1210321 ?? nn ???? 12 )12(20 12 ??? nn。即nnaa nn 11 ???。則 1433 ??????????kk aa ?? 解：（ 1） 111 22222 ?????? yxxyxy ∴　∴　 101 2 ?? yxyx ∴　≥∴　≥∵ ∴ f－ 1 (x)= )0(12 ≥xx ? （ 2） )2,(1)(1 2 1111 ≥　 NNnaafaa nnn ????? ??? ∴ 11 2 1221 ??? ?nn aaa 　 ∴ 11 11 ??? ?nn bbb 　 ??∴ bn 是以 1 為首項，公差為 1 的等差數(shù)列 ∴ b nn? )1(21 ?? nnSn∴ （ 3） g(n)=2Sn－ 17n=n2－ 16n 64)8(16)( 22 ????? xxxxg∴ x?R ∴ g(x)函數(shù)圖像是以頂點 M（ 8，－ 64）且開口向上的拋物線 (i)當 t8 時， g(x)在 [t,t+2]上是增函數(shù) ∴ h(t)=g(t)=t2－ 16t (ii)當 t+28 時， g(x)在 [t,t+2]是減函數(shù) ∴ h(t)=g(t+2)=t2－ 12t－ 28 (iii)當 6≤ t≤ 8 時 h(t)=g(8)=－ 64 ∴ h t t t ttt t t( )( , )[ , ]( , )?? ? ? ??? ?? ? ???????2212 28 664 6 816 8　　　　　　　　 【例 3】 在數(shù)列 {an}中，已知 ? ? ? ?? ?Nnaaaaaa n nn ????? ? 122 211 ，且 （ 1）求證： ? ?Nnan ??2 ；（ 2）求證： ? ?Nnaa nn ???1 ； （ 3）若存在 Nk? ，使得 ak?3 ，求證： 143lg3lg?? ak 。na （ 3）計算 nn S??lim . 解：（ 1）∵當 n≥ 2 時， 232,43 1??? nnn SaS成等差數(shù)列 ∴1232432 ????? nnn SSa；∴ )2(43 ??? nSa nn ∴ ,4)(3 212 ??? aaa ∵ 11?a ，∴ 212?a 22 類似地 4)(3 3213 ???? aaaa ∴413 ??a 4)(3 43214 ????? aaaaa ∴ 814?a （ 2）∵當 n≥ 2 時， 43 ?? nn Sa ，即 43 ?? nn aS ∴??? ?? ?? ?? ②① ???? 43 43 11 nn nn aS aS ② – ①得 nnn aaa ?? ?? 113 ∴211 ???nnaa為常數(shù) ∴ 2a ， 3a ， 4a ，?， na ，?成等比數(shù)列 .；其中21,212 ??? qa 故 1222 )21()21(21,2 ??? ???????? nnnn qaan ∴????? ??? ? )2( )21(1)(n 11 na nn （ 3）∵ nn aaaS ???? ?21 = )(1 32 naaa ???? ? ∴ )(lim1lim32 nnnn aaaS ????? ???? ?=34311)21(1211 ?????? 數(shù)列的綜合應(yīng)用 (2) 【例 1】 已知函數(shù) ))(( ??Nnxfn 具有下列性質(zhì)： ??????????????? ??????? ?????????????? ????????????? ??)。 %1217882 4． 數(shù)列 ??an 中， ??????? ? nnn anaaaaaa 則?， )2(5 13211 。39。 解：（ 1）??????????? ? 時時1,111,1 xxxxnSxa nnnn （ 2） ,11nSabx nnn ??? 時， ? ?nnnnn x xxSabx ? ???? ?1 11 1時， ? ?????????? ???? ?時時1,1 11,11 xxxxxnbnnn （ 3）當 0,111 111 1 ??????? ? nnn bn nnnbbx 又時， ； ∴ b bn n? ?1 當 n? 1 時，? ?? ? nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxbb???????????? ??? ?? 1111111111111 nnnnnnbbbxxxxxxx???????????????? 1,0,111101111,1又同號，與? 綜上知 ??nb 為遞減數(shù)列。 )1(121,2 111 ?????? ??? ??? ??? nnnn nn aansa nsan 由時當 同理， )2(12 1 ??? nn aa (2)－ (1), 11 )(2 ?? ??? nnnn aaaa 即 )3(212 11 ??? ?? nnnn bbbb 由,2 122222 ???????? aabasa 又得 于是 )4(2112 ?bb 由 (3),(4)知21,21}{ 1 ?? qbbn 是的等比數(shù)列，nnb 21? 證法二：同上算得41,21 21 ?? bb，??猜想nnb 21?且數(shù)學(xué)歸納法證明， (1) 當12121,1 bn ???? 時，命題成立 (2)假設(shè) )( Nkkn ?? 時命題成立，即kkb 21?成立。（ 3）若 ?，?，13222211222??????? nnnn aabaabaab 求數(shù)列 ??bn 的前 n 項的和 Sn。 (1)求 a1， a2， a3；（ 2）證明 {an}是等比數(shù)列 。 (1)如果他向建設(shè)銀行貸款 , 年利率為 5%, 且這筆借款分 10 次等額歸還 (不計復(fù)利 ), 每年一次 , 并從借后次年年初開始歸還 , 問每年應(yīng)還多少元 (精確到 1 元 )？ (2)如果他向工商銀行貸款 , 年利率為 4%, 要按復(fù)利計算 (即本年的利息計入次年的本金生息 ), 仍分 10次等額歸還 , 每年一次 , 每年應(yīng)還多少元 (精確到 1 元 )？ 解 ： (1) 若向建設(shè)銀行貸款 , 設(shè)每年還款 x 元 , 則 105 (1 + 10 5%) = x(1 + 9 5%) + x(1 + 8 5%) + x(1 + 7 5%) + ? + x, 105 = 10x + 45 , 解得 x ? ? ?10 1 512 25 122455 .. (元 ) (2)若向工商銀行貸款 , 設(shè)每年還款 y 元 , 則 105 (1 + 4%)10 = y(1 + 4%)9 + y(1 + 4%)8 + y(1 + 4%)7 + ? + y 13 10 1 04 1 04 11 04 15 10 10? ? ??. . . ⑵試確定實數(shù) m 的取值范圍，使得對于一切大于 1的自然數(shù) n ，不等式 2)1(2 ][ lo g2020)]1([ lo g)( mmnf mm ????恒成立。 解 ： 依題意 , 可設(shè) ? ?0,0111 ??? ? qSqSS nn 其中 則 ? ?2211 ?? ?? nqSS nn 從而有 ? ?????? ???? ??? ?? 時當時當 2110 2111 nqqSSS nSa nnnn (Ⅰ )當 q = 1 時 , a2 = a3 = ? = 0 11 ∴ ? ?a a a a a a nn nn1 3 2 2 12 2 2? ? ? ? ?? ?, (Ⅱ )當 q 0 且 q?1 時 , (1)當 n = 1 時 , ? ? ? ?12 12 111231 ??????? qSqqSSaaa 0432321 21 ????????? ??????? ?? qS ∴231 2 aaa ?? (2)當 ? ? ? ? ? ?12 112,2 1112112 ????????? ???? qqSqqSqqSaaan nnnnnn時 ? ?? ??12 11 2 3S q qn (i)若 q 1 時 , 則 a a an nn? ?? ?2 12 (ii)若 0 q 1 時 , 則 a a an nn? ?? ?2 12 3． 已知數(shù)列 ? ?117 7432316???????nnnn aaanaa 時，且中， (1)分別求出 a a a8 9 10， ， 的值 。 …求 ? ????? （ 3） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2221224232221 nnn bbbbbbT ??????? ?…求和 解：（ 1） )2(222 111 ≥nSSa nnnnnn ??? ????? 22,}{ 1 ??? qaaa nnn 得公比由∴是等比數(shù)列∵ 1),(2.1,21,2,1,2111111112??????????????? PNnaPPPSaSaaqaann ∈∴∴∴又∴∵ （ 2） 12lo g,lo g 122 ???? ? nbab nnnn ∴? ① ? ?? ???? ?? ??? 254 12 nn nan 2． 數(shù)列 {an }的通項公式為 )32)(12( 1 ??? nna n前 n 項和為 Sn ，若 1lim ??? nn aS (a 為實常數(shù) )，則 a 的值 等于 。 7 解： (1)由已知條件得12 2???? nn bnbS 當 n=1 時，11211 23)1(21 ?? ?????????? nnnn b bnbSSanbSa 時，；當 故???????????? )2(23)1()1(112nb bnbnbann (2)由 )4(0)31)(1(1 ???????? nnnbbaa nn ，化簡得 為所求或故或解得，3103321321321311?????????????????bbbnnnnbb? 【例 11】 兩個數(shù)列 ??an 、 ??bn 中， 1200 ??? nnnnn ababa ，且， 成等差數(shù)列，且 b a bn n n2 1 12, ,? ? 成等比數(shù)列。 【例 9】 ??na 是等差數(shù)列，數(shù)列 ??nb 滿足 ? ?nnnnnn bSNnaaab 為，)(21 ???? ?? 的前 n 項和。 所以對于任意自然數(shù) n,nna 211??都成立。 又知 ? ?? ? ? ?? ?21 121 122111 ????? ??????? nnnn nnnn ∴ ?????? ???? 21114 nnbn ???????????? ?????????? ??????????? ???????? ?????2121421114413143121421nnnbbb n ∴ 221214lim21 ??????? ??????? ?? nbbb nn ?? 【例 6】 已知數(shù)列 1， 1， 2??它的各項由一個等比數(shù)列與一個首項為 0 的等差數(shù)列的對應(yīng)項相加而得到。 解：由????? ???? ??? 1 8 52 91010811012daSdaa 得 ?????351a ∴ 23)1(35)1(1 ???????? nndnaa n ∴ 2232 ??? nnnab 五、典型例題 數(shù)列的概念與性質(zhì) 【例 1】 已知由正數(shù)組成的等比數(shù)列 ??na ，若前 n2 項之和等于它前 n2 項中的偶數(shù)項之和的 11倍，第 3 項與第 4 項之和為第 2 項與第 4 項之積的 11 倍，