【正文】 ??????時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng) 當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)0 1 00 0 11 1 1? ? ?? ?? ?? ??????? ?? ?x bbxx xn nn nlimlim, 19 數(shù)列的綜合應(yīng)用 (1) 一、選擇題 1．等差數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式為 ? ?nn ana ,32?? 的前 n 項(xiàng)和 Sn 等于 ( A ) (A) 223 2 nn ?? (B) 223 2 nn ?? (C) 223 2 nn ? (D) 223 2 nn ? 2．一個(gè)等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 nnS ???????? 211，則該數(shù)列各項(xiàng)和為（ B ） A．21 B． 1 C．－21 D．任意實(shí)數(shù) 3．已知數(shù)列 {an}滿足 an+1=an–an–1（ n≥ 2）， a1=a， a2=b，記 Sn=a1+a2+a3+? +an，則下列結(jié) 論正確的是（ A ） . （ A） a100=–a， S100=2b–a （ B） a100=–b， S100=2b–a （ C） a100=–b， S100=b–a （ D） a100=–a， S100=b–a 4．設(shè)首項(xiàng)為 3，公比為 2 的等比數(shù)列 {an }的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，首項(xiàng)為 2，公比為 3 的等比 數(shù)列 {a39。 解：（ 1）證明： 當(dāng) 21 1 ??? aan 時(shí)， ，命題成立。 ⑶ 12)()12( 22 ????????? nnnnST nnnn 當(dāng) 1?n 時(shí)， 0112 2111 ????? ST ， ∴ 11 ST? ； 當(dāng) 2?n 時(shí)， 01122 2222 ??????? ST ， ∴ 22 ST? ； 當(dāng) 3?n 時(shí)， 02132 2333 ??????? ST ， ∴ 33 ST? ； 當(dāng) 4?n 時(shí)， 01142 2444 ??????? ST ， ∴ 44 ST? ； 當(dāng) 5?n 時(shí)， 06152 2555 ?????? ST ， ∴ 55 ST? ； 當(dāng) 6?n 時(shí)， 027162 2666 ?????? ST ， ∴ 66 ST? 。（ 1）求數(shù)列 }{nb 的通項(xiàng)公式； （ 2）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線 nl 的斜率為 nb ,且與曲線 2xy? 有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，與 y 29 軸交于點(diǎn) Dn，記nnnn dnDDd 求),72(||31 1 ??? ?。 26 ∴122332211 aaaaaaaaaannnnn n ????? ????? ? nnnnnn n ???????????? 122332211 ?。1,1,0(111,21)0(nknkfnkfnkfnkfnfnnnnn? （ 1）當(dāng) n 一定，記,1???????nkfank求 ka 的表達(dá)式 )。 ? ? kkkkkk aSkSkaa ????????? ?? 1)1()(21 11? ∴ 1211 ??? kka 又 ? ? 1,1 1111 ??????? ???? kSaakSa kkkkk 即 .1212112121)()1()1(211111時(shí)命題成立即 ??????????????????????????knaabaaakkSkakkkkkkkkkkK 由 (1)(2)知對(duì) Nn? 猜想nnb 21?成立 21,21}{1 ??? qbb n 是以的等比數(shù)列，nnb 21? ⑵ 11232211 )()()()( aaaaaaaaaa nnnnnnn ????????? ????? ??? 17 nnnn bbbb 211211)211(21121 ?????????? ? ?? ∴ 1)211(limlim ??? ???? nnnn a 解法 2：由 ? ?121112 11 ?????? ?? nnnn aaaa ? ? nnnn aaa 2112111 1 ????????????? nnnnb 212 11211 1 ??????? ???????? ??? ?， ∴ {bn}是等比數(shù)列；且 1)211(limlim ??? ???? nnnn a 【例 5】 已知 ??na 是首項(xiàng)為 1，公差為 d 的等差數(shù)列，其前 n 項(xiàng)和為 nA ， ??nb 是首項(xiàng)為 1，公比為 q(|q|1)的等比數(shù)列，其前 n 項(xiàng)和為 nB ，設(shè) nn BBBBS ????? ...321 ，若 1)(lim ???? nnn SnA ，求 d 和q。 解：（ 1） ∵ f(n+1)f(n)=S2n+3Sn+2(S2n+1Sn+1)=? =2132 122 1 ????? nnn 2142 142 1 ????? nnn=0， ∴ f(n+1)f(n)。 (1)證明 ??bn 是等差數(shù)列； (2)若n nn abbbaa ????? ?? ?，求 2112 lim33 的值。 623212 2232 1121 ???? ??????? ?? nnnn nnbbbS 而且往往還以解答題的形式出現(xiàn)，所以我們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí)應(yīng)給予重視。 (1)求數(shù)列 ??nc 的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式； (2)當(dāng) n?5 時(shí)，試判斷 的符號(hào)（大于零或小于零），并給予嚴(yán)格證明?！?…∴ (3)當(dāng) n=2k（ k∈ N）時(shí)， ))(())(())(( ])()[(])()[(])()[( 212212434321212221224232221kkkkkkn bbbbbbbbbbbb bbbbbbT ?????????? ??????????…… .22 )121)(12()1221()(22124321kkkkkbbbbbb kk?????????????????????? ?…… 當(dāng) n=2k1 (k∈ N)時(shí)， 212222232232221 )(])()[(])[(])()[( ??? ??????? kkkn bbbbbbT … 132 2)( 2 k+3 ) ]( 2 k++4+3+2+[1= 22??? kk … ????????? ???? ).,12(132 ),2(2 22Nkknkk NkknkkT n ∈∈∴ 2．?dāng)?shù)列 ??an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn, 已知 ??Sn 是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列。 由（ 1），（ 2） n∈ N,a 成立nn 21? 此時(shí) 是等比數(shù)列成立 }{211 nnn aaa ??? （ 2）另證：對(duì) n≥ 2, 1Sn=an1an 14 1Sn+1=anan+1 兩式相減 ,有 111 2 ??? ???? nnnnn aaaSS 是等比數(shù)列即}{21212123121111nnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaa???????????????????? （ 3） ?? ??nnnn nnnnb 232 1212 12 132 112 2 1 ??????? ??????????? ?? ? ???????????????????????????????????????????????????????????????nnnnnnnbbb2)32(12)12(189147147125125131limlim121?? =312)32( 131lim ????????? ????? nn n 【例 2】 已知 ? ? ? ?012 2 ??? xxxf ，數(shù)列 ??an 滿足 ? ???? ?? ?11 1 nn afaa ? ?2?? nNn 且 （ 1）寫出數(shù)列 ??an 的前五項(xiàng)，試歸納出 an 的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。39。?? ∴ 當(dāng) )5(1 ??? kkn 時(shí)， 1)1(2 21 ???? kk 也成立。 【例 5】 已知等差數(shù)列 { na }中，公差為 d0，等比數(shù)列 { nb }中， 01?b 公比 q0 且 .1?q 若)1,0,1(lo glo g 11 ??????? aaNnnbbaa anan ，求 a 的取值范圍 . 27 解：由已知不等式，得 11111 lo g)(lo g)1( bqbadna ana ????? ? qndn alo g)1()1( ??? ∵ 01??n ，∴ qd alog? ①當(dāng) 10 ??a 時(shí)， qad? ，∵ 0?d ，∴ dqa 1? ∵若 10 ??q ，則 11?dq ，∴ dqa 10 ?? 若 1?q ，則 11?dq ，∴ 10 ??a ②當(dāng) 1?a 時(shí)， qad? ∵ 0?d ，∴ dqa 1? 若 10 ??q ，則 11?dq ，∴ 1?a 若 1?q 時(shí)，則 11?dq ，∴ dqa 1? 綜上：若 10 ??q 時(shí)， dqa 10 ?? 或 1?a 1?q 時(shí)， 10 ??a 或 dqa 1? 數(shù)列的綜合應(yīng)用 (2)練習(xí) 一、選擇題 1．設(shè) Sn = 13 23 13 23 13 232 3 4 2 1 2? ? ? ? ? ??? n n，則 limSnn→ 　?等于（ A ） A． 18 B． 14 C． 0 D． ?12 2．已知數(shù)列 ??na 中， 360 11 ???? ? nn aaa ， ，那么 ||||||| 3021 aaa ??? ?? 等于（ B ） A、－ 495 B、 765 C、 1080 D、 3105 3．在等差數(shù)列 ??an 中， ????? ? nmnm anmNnmmana ，則，、 )( （ A ） A、 0 B、 m C、 n D、不確定 4．一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為 4，它的第一項(xiàng)、第七項(xiàng)、與第十項(xiàng)成等比數(shù)列，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是（ C ） A、 4)1(314 ????nn ana 或 B、 )1(31 ??? nan C、 4)1(314 ????nn ana 或 D、 )1(314 ??? nan 5．設(shè)12 1lim0252 ??? ???? nnn aaaa ，則等于（ C ） 28 A、a1 B、 031或 C、 021或 D、 1 6．?dāng)?shù)列 1,b,c,8 中，前三項(xiàng) 1,b,c 成等差數(shù)列，后三項(xiàng) b,c,8 成等比數(shù)列，則必有（ B ） A、 c0 B、 b0 C、 c0 D、 b0 7．設(shè)等差數(shù)列的前 4 項(xiàng)之和為 26，其末 4 項(xiàng)之和為 110，又這個(gè)數(shù)列的所有的項(xiàng)之和為 187，則這個(gè)數(shù)列共有多少項(xiàng)（ A ） A、 11 項(xiàng) B、 22 項(xiàng) C、 8 項(xiàng) D、項(xiàng)數(shù)不能確定 8．設(shè)數(shù)列 ??xn 滿足 )(lo g1lo g 1 Nnxx nana ???? 且 20202020200021 ,100 xxxx ?則? ?????? 等于（ D ） A、 100a B、 100a2 C、 101a100 D、 100a100 二、填空題 1．若等差數(shù)列 ??an 的前幾項(xiàng)和為 Sn，且 ??? 251015 20 SSS 則 。則 1433 ??????????kk aa %1217882 4． 數(shù)列 ??an 中， ??????? ? nnn anaaaaaa 則?， )2(5 13211 。（ 3）若 ?，?，13222211222??????? nnnn aabaabaab 求數(shù)列 ??bn 的前 n 項(xiàng)的和 Sn。 解 ： 依題意 , 可設(shè) ? ?0,0111 ??? ? qSqSS nn 其中 則 ? ?2211 ?? ?? nqSS nn 從而有 ? ?????? ???? ??? ?? 時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng) 2110 2111 nqqSSS nSa nnnn (Ⅰ )當(dāng) q = 1 時(shí) , a2 = a3 = ? = 0 11 ∴ ? ?a a a a a a nn nn1 3 2 2 12 2 2? ? ? ? ?? ?, (Ⅱ )當(dāng) q 0 且 q?1 時(shí) , (1)當(dāng) n = 1 時(shí) , ? ? ? ?12 12 111231 ??????? qSqq