【正文】 （ 3）若 1)(lim:),(2 211 212 ???????? ???? ncccNndd ddc nnnn nnn ?求證. 解：（ 1）解法（一）由已知 .84343, 1111 ?????????? aSTbnnST nn 時(shí)當(dāng) 當(dāng) 434)(3)1(44)(3,2 111 ????????????? ??? nnnnnnnn。 4 三、解答題 若 nn TS和 分別表 示數(shù)列 }{}{ nn ba 和 的前 n 項(xiàng)的和，對(duì)任意正整數(shù) n， ),1(2 ??? nan .43 nST nn ?? 。 1 5．?dāng)?shù)列 ??an 的通項(xiàng)公式)12)(12( 1 ??? nna n前 n 項(xiàng)和為 1lim ??? nnn aSS ，(a 為實(shí)常數(shù) )，則 a 的值等于 。 【例 5】 已知等差數(shù)列 { na }中，公差為 d0，等比數(shù)列 { nb }中， 01?b 公比 q0 且 .1?q 若)1,0,1(lo glo g 11 ??????? aaNnnbbaa anan ，求 a 的取值范圍 . 27 解：由已知不等式，得 11111 lo g)(lo g)1( bqbadna ana ????? ? qndn alo g)1()1( ??? ∵ 01??n ，∴ qd alog? ①當(dāng) 10 ??a 時(shí)， qad? ，∵ 0?d ，∴ dqa 1? ∵若 10 ??q ，則 11?dq ，∴ dqa 10 ?? 若 1?q ，則 11?dq ，∴ 10 ??a ②當(dāng) 1?a 時(shí)， qad? ∵ 0?d ，∴ dqa 1? 若 10 ??q ，則 11?dq ，∴ 1?a 若 1?q 時(shí)，則 11?dq ，∴ dqa 1? 綜上：若 10 ??q 時(shí)， dqa 10 ?? 或 1?a 1?q 時(shí)， 10 ??a 或 dqa 1? 數(shù)列的綜合應(yīng)用 (2)練習(xí) 一、選擇題 1．設(shè) Sn = 13 23 13 23 13 232 3 4 2 1 2? ? ? ? ? ??? n n，則 limSnn→ 　?等于（ A ） A． 18 B． 14 C． 0 D． ?12 2．已知數(shù)列 ??na 中， 360 11 ???? ? nn aaa ， ，那么 ||||||| 3021 aaa ??? ?? 等于（ B ） A、－ 495 B、 765 C、 1080 D、 3105 3．在等差數(shù)列 ??an 中， ????? ? nmnm anmNnmmana ，則，、 )( （ A ） A、 0 B、 m C、 n D、不確定 4．一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為 4，它的第一項(xiàng)、第七項(xiàng)、與第十項(xiàng)成等比數(shù)列，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是（ C ） A、 4)1(314 ????nn ana 或 B、 )1(31 ??? nan C、 4)1(314 ????nn ana 或 D、 )1(314 ??? nan 5．設(shè)12 1lim0252 ??? ???? nnn aaaa ，則等于（ C ） 28 A、a1 B、 031或 C、 021或 D、 1 6．?dāng)?shù)列 1,b,c,8 中，前三項(xiàng) 1,b,c 成等差數(shù)列，后三項(xiàng) b,c,8 成等比數(shù)列，則必有（ B ） A、 c0 B、 b0 C、 c0 D、 b0 7．設(shè)等差數(shù)列的前 4 項(xiàng)之和為 26，其末 4 項(xiàng)之和為 110，又這個(gè)數(shù)列的所有的項(xiàng)之和為 187，則這個(gè)數(shù)列共有多少項(xiàng)（ A ） A、 11 項(xiàng) B、 22 項(xiàng) C、 8 項(xiàng) D、項(xiàng)數(shù)不能確定 8．設(shè)數(shù)列 ??xn 滿足 )(lo g1lo g 1 Nnxx nana ???? 且 20202020200021 ,100 xxxx ?則? ?????? 等于（ D ） A、 100a B、 100a2 C、 101a100 D、 100a100 二、填空題 1．若等差數(shù)列 ??an 的前幾項(xiàng)和為 Sn，且 ??? 251015 20 SSS 則 。 ∴ 當(dāng) )5(1 ??? kkn 時(shí)， 1)1(2 21 ???? kk 也成立。亦即 12 2??nn 。 猜想：當(dāng) 5?n 時(shí)， nn ST? 。 ⑵∴ 12 1?? ?nnb ， ∴ nbbbbT nnn ??????????? ? )2222( 1210321 ?? nn ???? 12 )12(20 12 ??? nn。 ∴ naan ?1， 又 21?a ， ∴ nan 2? 。即nnaa nn 11 ???。 (1)求數(shù)列 {an}的通項(xiàng) an以及它的前 n 項(xiàng)和 Sn； (2)求數(shù)列 {bn}的前 n 項(xiàng)和Tn； (3)猜想 Sn和 Tn的大小關(guān)系，并說明理由 . 解： ⑴∵ 0)1(),(0 2 112 ?????? ?? nnnnn naaaanNna ∴ 0)())(1(121 ???? ?? naaaann nn n。則 1433 ??????????kk aa ???? 假設(shè) ? ?Nkkkn ??? ，1 時(shí)，命題成立，即 ak ?2 則 ? ? ? ? ?????? ???????? 2111211221kkkkk aaa aa 25 由歸納假設(shè) 2?ka ，則11101 ????? kkk aaa ，且，由平均值定理得 ? ? 221112211 ????????? ????? kkk aaa 解：（ 1） 111 22222 ?????? yxxyxy ∴　∴　 101 2 ?? yxyx ∴　≥∴　≥∵ ∴ f－ 1 (x)= )0(12 ≥xx ? （ 2） )2,(1)(1 2 1111 ≥　 NNnaafaa nnn ????? ??? ∴ 11 2 1221 ??? ?nn aaa 　 ∴ 11 11 ??? ?nn bbb 　 ??∴ bn 是以 1 為首項(xiàng)，公差為 1 的等差數(shù)列 ∴ b nn? )1(21 ?? nnSn∴ （ 3） g(n)=2Sn－ 17n=n2－ 16n 64)8(16)( 22 ????? xxxxg∴ x?R ∴ g(x)函數(shù)圖像是以頂點(diǎn) M（ 8，－ 64）且開口向上的拋物線 (i)當(dāng) t8 時(shí)， g(x)在 [t,t+2]上是增函數(shù) ∴ h(t)=g(t)=t2－ 16t (ii)當(dāng) t+28 時(shí)， g(x)在 [t,t+2]是減函數(shù) ∴ h(t)=g(t+2)=t2－ 12t－ 28 (iii)當(dāng) 6≤ t≤ 8 時(shí) h(t)=g(8)=－ 64 ∴ h t t t ttt t t( )( , )[ , ]( , )?? ? ? ??? ?? ? ???????2212 28 664 6 816 8　　　　　　　　 【例 3】 在數(shù)列 {an}中，已知 ? ? ? ?? ?Nnaaaaaa n nn ????? ? 122 211 ，且 （ 1）求證： ? ?Nnan ??2 ；（ 2）求證： ? ?Nnaa nn ???1 ； （ 3）若存在 Nk? ，使得 ak?3 ，求證： 143lg3lg?? ak 。,1,0( nk ?? （ 2）對(duì) .31)1(41, ??? ?nfNn 證明 23 解：（ 1） ?????? ??????? ?????????????? ????????????? ? nkfnkfnkfnkfn nnnn 111? ?????????????? ??? nknfnkfn nn 1)1( ,1?????? ??????? kfnkf nn 即,111 ??????? ?????????nkfnnkfnnn又,1???????nkfank ,1)1( 1 ???? ?kk naan )1)(1()1( 1 ????? ? kk anan ，即 naakk11111 ????? ，由 n 為定值， 則數(shù)列 }1{ ?ka 是以 10?a 為首項(xiàng)，n11?為公比的等比數(shù)列， kk naa )11)(1(1 0 ????? ， 由于 )。na （ 3）計(jì)算 nn S??lim . 解：（ 1）∵當(dāng) n≥ 2 時(shí)， 232,43 1??? nnn SaS成等差數(shù)列 ∴1232432 ????? nnn SSa；∴ )2(43 ??? nSa nn ∴ ,4)(3 212 ??? aaa ∵ 11?a ，∴ 212?a 22 類似地 4)(3 3213 ???? aaaa ∴413 ??a 4)(3 43214 ????? aaaaa ∴ 814?a （ 2）∵當(dāng) n≥ 2 時(shí)， 43 ?? nn Sa ，即 43 ?? nn aS ∴??? ?? ?? ?? ②① ???? 43 43 11 nn nn aS aS ② – ①得 nnn aaa ?? ?? 113 ∴211 ???nnaa為常數(shù) ∴ 2a ， 3a ， 4a ，?， na ，?成等比數(shù)列 .；其中21,212 ??? qa 故 1222 )21()21(21,2 ??? ???????? nnnn qaan ∴????? ??? ? )2( )21(1)(n 11 na nn （ 3）∵ nn aaaS ???? ?21 = )(1 32 naaa ???? ? ∴ )(lim1lim32 nnnn aaaS ????? ???? ?=34311)21(1211 ?????? 數(shù)列的綜合應(yīng)用 (2) 【例 1】 已知函數(shù) ))(( ??Nnxfn 具有下列性質(zhì)： ??????????????? ??????? ?????????????? ????????????? ??)。 21 6．已知數(shù)列 ??an 是等比數(shù)列，若 918 432321 ??????? aaaaaa ， 且 ??????? nnnn SaaaS lim21 ，則? . 16 21 三、解答題 1．?dāng)?shù)列 }{na 中，前 n 項(xiàng)和 bnanSn ?? 2 其中 a,b 是常數(shù)，且 a0,a+b1,n∈ N. （ 1）求 }{na 的通項(xiàng)公式 na ，并證明 )(11 Nnaa nn ???? ； （ 2）令 1log ?? nan acn，試判斷數(shù)列 }{nc 中任意相鄰兩項(xiàng)的大小 . 解：（ 1） 111 ???? baSa )]1()1([)( 221 ???????? ? nbnabnanSSa nnn )4,3,2(2 ?????? nbaan 當(dāng) n=1 時(shí)也能滿足上式，∴ ),3,2,1(2 ?????? nbaana n .02)2()1(21 ??????????? abaanbanaaa nn ∴ )3,2,1.(11 ?????? naa nn （ 2）由（ 1）及對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得數(shù)列 }{nc 中各項(xiàng)皆為正值 nanana nann aaaacc nnnn 111 lo glo glo glo g 2121??? ??? ???? 222 lo glo g 11 ???????? ?? ?? ? nana aa nn ? ?22 )(lo g41 1 nna aan ?? ?? )(2lo g41 2221 nnnna aaaan ????????? ???????? ?? ??? ? ? 1)(lo g41 2211 ?? ?? na an 又∵ 1?na ，∴ 0log 1 ?? ?nan acn. ∴ ).3,2,1(1 ????? ncc nn 2．已知數(shù)列 ? ? 1, 1?aan 中 ，前 n 項(xiàng)和為 nS ，對(duì)于任意232,43,2 1???? nnn SaSn總成等差數(shù)列 。 %1217882 4． 數(shù)列 ??an 中， ??????? ? nnn anaaaaaa 則?， )2(5 13211 。39。39。 n }的前 n 項(xiàng)和為 S39。 解：（ 1）??????????? ? 時(shí)時(shí)1,111,1 xxxxnSxa nnnn （ 2） ,11nSabx nnn ??? 時(shí)， ? ?nnnnn x xxSabx ? ???? ?1 11 1時(shí)， ? ?????????? ???? ?時(shí)時(shí)1,1 11,11 xxxxxnbnnn （ 3）當(dāng) 0,111