【文章內容簡介】 立。自然數(shù)綜上所述，對一切 29 ?? nan 12 4． 已知 )(131211 NnnS n ?????? ?， 112)( ?? ?? nn SSnf ⑴比較 )1( ?nf 與 )(nf 的大小。 ⑵試確定實數(shù) m 的取值范圍，使得對于一切大于 1的自然數(shù) n ，不等式 2)1(2 ][ lo g2020)]1([ lo g)( mmnf mm ????恒成立。 解：（ 1） ∵ f(n+1)f(n)=S2n+3Sn+2(S2n+1Sn+1)=? =2132 122 1 ????? nnn 2142 142 1 ????? nnn=0， ∴ f(n+1)f(n)。 （ 2） ∵ f(n+1)f(n)， ∴ 當 n1 時， f(n)的最小值為 f(2)=S5S3=209 ∴ 必需且只須 2)1(2 ][lo g2020)]1([lo g mm mm ???209????? ① ， 由??? ???? ?? 1101 10 mm mm 且且得 m1 且 m≠ 2 令 t= 2)]1([log ?mm 則不等式 ① 等價于????? ???20920200ttt ，解得： 0t1 即 0 2)]1([log ?mm 1，即 1logm(m1)0 或 0logm(m1)1， 解之得： 222 51 ???? mm 或 。 5．某人年初向建設銀行貸款 10 萬元用于 買房。 (1)如果他向建設銀行貸款 , 年利率為 5%, 且這筆借款分 10 次等額歸還 (不計復利 ), 每年一次 , 并從借后次年年初開始歸還 , 問每年應還多少元 (精確到 1 元 )？ (2)如果他向工商銀行貸款 , 年利率為 4%, 要按復利計算 (即本年的利息計入次年的本金生息 ), 仍分 10次等額歸還 , 每年一次 , 每年應還多少元 (精確到 1 元 )？ 解 ： (1) 若向建設銀行貸款 , 設每年還款 x 元 , 則 105 (1 + 10 5%) = x(1 + 9 5%) + x(1 + 8 5%) + x(1 + 7 5%) + ? + x, 105 = 10x + 45 , 解得 x ? ? ?10 1 512 25 122455 .. (元 ) (2)若向工商銀行貸款 , 設每年還款 y 元 , 則 105 (1 + 4%)10 = y(1 + 4%)9 + y(1 + 4%)8 + y(1 + 4%)7 + ? + y 13 10 1 04 1 04 11 04 15 10 10? ? ??. . . y 其中 = (1 + )10 = 1 + 10 + 45 + 120 + 210 + ? ? y ? ? ? ?10 1 4802 0 040 4802 123305 . ..(元 ) 答 : 若向建設銀行貸款 , 每年需還 12245 元 。 若向工商銀行貸款 , 每年需還 12330 元。 數(shù)列的綜合應用 (1) 【例 1】 已知無窮數(shù)列 {an},Sn 是其前 n項和 ,對不小于 2的正整數(shù) n,滿足關系 nnn aaS ??? ?11 。 (1)求 a1， a2， a3；（ 2）證明 {an}是等比數(shù)列 。 （ 3）設???? ?????? ?? ,lo g 2lo g 1 122322 nnnn aaab計算 )(lim21 nn bbb ????? ? 解：（ 1） S2=21,)(1, 1212121 ??????? aaaaaaa 81,)(141,)(1,3434321432142323213213??????????????????????aaaaaaaaaaaSaaaaaaaaaS （ 2）猜想 a )(21 Nnnn ?? （ 1） 當 n=1 時，命題成立 （ 2） 假設 n=k（ k≥ 1）時命題成立 ,即kka 21? kkkkkkkkkaSaaaSaaS???????????????1)(111111? (*) 同理有 1Sk+1=ak+1 (**) 由 (*)式和假設kkkk Sa 21121 ??? 得 由（ **）式，得， 1=（ Sk+ak+1） 故 ak+1=121)1(21 ??? kkS ∴當 n=k+1 時，命題也成立。 由（ 1），（ 2） n∈ N,a 成立nn 21? 此時 是等比數(shù)列成立 }{211 nnn aaa ??? （ 2）另證：對 n≥ 2, 1Sn=an1an 14 1Sn+1=anan+1 兩式相減 ,有 111 2 ??? ???? nnnnn aaaSS 是等比數(shù)列即}{21212123121111nnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaa???????????????????? （ 3） ?? ??nnnn nnnnb 232 1212 12 132 112 2 1 ??????? ??????????? ?? ? ???????????????????????????????????????????????????????????????nnnnnnnbbb2)32(12)12(189147147125125131limlim121?? =312)32( 131lim ????????? ????? nn n 【例 2】 已知 ? ? ? ?012 2 ??? xxxf ，數(shù)列 ??an 滿足 ? ???? ?? ?11 1 nn afaa ? ?2?? nNn 且 （ 1）寫出數(shù)列 ??an 的前五項，試歸納出 an 的表達式，并用數(shù)學歸納法證明。 （ 2）求nn nnn a233lim2????。（ 3）若 ?，?，13222211222??????? nnnn aabaabaab 求數(shù)列 ??bn 的前 n 項的和 Sn。 解：（ 1）由 12,1 211 ??? ?nn aaa 得數(shù)列前五項 ①由此猜想，，123115731 54321???????nnaaaaaa 等式①成立時，）當證（ 1121i 1 ???? an (ii)假設 kn? 時等式①成立，即 ? ?Nka kk ??? 12 當 1??kn 時 ? ? 12112212 121 ??????? ?? kkkk aa 即等式①對 1??kn 也成立 由（ i）（ ii）可知等式①對 n N? 都成立 15 （ 2） 132131321lim23 123lim233lim22???????????????????????? ??????????? nnnnnnnnnnnnna （ 3）1212 273 231 1 12????????? ? nnnnS ? ? ?11221212222372131122????????? ???????????nnnnn? 【例 3】 已知 a0， a≠ 1，數(shù)列 {an}是首項為 a，公比也為 a 的等比數(shù)列，令 bn=anlgan （ n∈ N） 。 （ 1）求數(shù)列 {bn}的前 n 項和 Sn； （ 2）當數(shù)列 {bn}中的每一項總小于它后面的項時，求 a 的取值范圍 . 解：（ 1）由題意知 an=an， bn=nanlga. ∴ Sn=（ 1 ? a+2 ? a2+3 ? a3+?? +n ? an） lga. a Sn=（ 1 ? a2+2 ? a3+3 ? a4+?? +n ? an+1） lga. 以上兩式相減得 （ 1– a） Sn=（ a+a2+a3+?? +an–n ? an+1） lga aanaaa nn lg1 )1( 1 ???????? ????? ?. ∵ a≠ 1，∴ ? ?nn anana aaS )1(1)1( lg 2 ?????. （ 2）由 bk+1–bk=(k+1)ak+1lga–kaklga=aklga[k(a–1)+a]. 由題意知 bk+1–bk0，而 ak0， ∴ lga[k(a–1)+a]0. ① （ 1）若 a1，則 lga0， k(a–1)+a0，故 a1 時，不等式①成立； （ 2）若 0a1，則 lga0， 不等式①成立 0)1( ???? aak 10 ???? k ka 恒成立 2110 mi n ??????? ???? k ka. 綜合（ 1）、（ 2）得 a 的取值范圍為 ),1()21,0( ??? 【例 4】 已知數(shù)列 {an}的前 n 項和為 Sn，又有數(shù)列 {bn}，它們滿足關系 11 ab? ，對 Nn? 有 16 nnnnn aabnSa ???? ?? 11, 。 （ 1）求證 {bn}是等比數(shù)列，并寫出它的通項公式 （ 2）求nn a??lim 解：⑴證法一：當 n=1 時，211,1 111111 ???????? baaasa。 )1(121,2 111 ?????? ??? ??? ??? nnnn nn aansa nsan 由時當 同理， )2(12 1 ??? nn aa (2)－ (1), 11 )(2 ?? ??? nnnn aaaa 即 )3(212 11 ??? ?? nnnn bbbb 由,2 122222 ???????? aabasa 又得 于是 )4(2112 ?bb 由 (3),(4)知21,21}{ 1 ?? qbbn 是的等比數(shù)列，nnb 21? 證法二：同上算得41,21 21 ?? bb，??猜想nnb 21?且數(shù)學歸納法證明， (1) 當12121,1 bn ???? 時，命題成立 (2)假設 )( Nkkn ?? 時命題成立，即kkb 21?成立。 ? ? kkkkkk aSkSkaa ????????? ?? 1)1()(21 11? ∴ 1211 ??? kka 又 ? ? 1,1 1111 ??????? ???? kSaakSa kkkkk 即 .1212112121)()1()1(211111時命題成立即 ??????????????????????????knaabaaakkSkakkkkkkkkkkK 由 (1)(2)知對 Nn? 猜想nnb 21?成立 21,21}{1 ??? qbb n 是以的等比數(shù)列，nnb 21? ⑵ 11232211 )()()()( aaaaaaaaaa nnnnnnn ????????? ????? ??? 17 nnnn bbbb 211211)211(21121 ?????????? ? ?? ∴ 1)211(limlim ??? ???? nnnn a 解法 2：由 ? ?121112 11 ?????? ?? nnnn aaaa ? ? nnnn aaa 2112111 1 ????????????? nnnnb 212 11211 1 ??????? ???????? ??? ?， ∴ {bn}是等比數(shù)列；且 1)211(limlim ??? ???? nnnn a 【例 5】 已知 ??na 是首項為 1，公差為 d 的等差數(shù)列，其前 n 項和為 nA ， ??nb 是首項為 1，公比為 q(|q|1)的等比數(shù)列，其前 n 項和為 nB ，設 nn BBBBS ????? ...321 ，若 1)(lim ???? nnn SnA ，求 d 和q。 解： dnnndnnnaAn 2 )1(2 )1(1 ??????； dnnAn 2 11 ??? 又qqqqqB nnn ??????? 11 111； nn BBBBS ?????? ....321 2)1( )1(1 qqqqn n????? )(lim nnn SnA ?? ?? ])1( )1(12 11[lim 2qqqqndn nn ???????? ?? ])1()1 12())1(21[(lim 212 qqnqdqqd nn ????????? ??? =1 ?? ,1|q|? 0)1(lim 21 ??? ??? qqnn ??????????????