【正文】 ??a 時， qad? ，∵ 0?d ，∴ dqa 1? ∵若 10 ??q ，則 11?dq ，∴ dqa 10 ?? 若 1?q ，則 11?dq ，∴ 10 ??a ②當(dāng) 1?a 時， qad? ∵ 0?d ，∴ dqa 1? 若 10 ??q ，則 11?dq ，∴ 1?a 若 1?q 時，則 11?dq ，∴ dqa 1? 綜上：若 10 ??q 時， dqa 10 ?? 或 1?a 1?q 時， 10 ??a 或 dqa 1? 數(shù)列的綜合應(yīng)用 (2)練習(xí) 一、選擇題 1．設(shè) Sn = 13 23 13 23 13 232 3 4 2 1 2? ? ? ? ? ??? n n，則 limSnn→ 　?等于（ A ） A． 18 B． 14 C． 0 D． ?12 2．已知數(shù)列 ??na 中， 360 11 ???? ? nn aaa ， ，那么 ||||||| 3021 aaa ??? ?? 等于（ B ） A、－ 495 B、 765 C、 1080 D、 3105 3．在等差數(shù)列 ??an 中， ????? ? nmnm anmNnmmana ，則，、 )( （ A ） A、 0 B、 m C、 n D、不確定 4．一個等差數(shù)列的首項為 4，它的第一項、第七項、與第十項成等比數(shù)列，這個數(shù)列的通項公式是（ C ） A、 4)1(314 ????nn ana 或 B、 )1(31 ??? nan C、 4)1(314 ????nn ana 或 D、 )1(314 ??? nan 5．設(shè)12 1lim0252 ??? ???? nnn aaaa ，則等于（ C ） 28 A、a1 B、 031或 C、 021或 D、 1 6．?dāng)?shù)列 1,b,c,8 中，前三項 1,b,c 成等差數(shù)列，后三項 b,c,8 成等比數(shù)列，則必有（ B ） A、 c0 B、 b0 C、 c0 D、 b0 7．設(shè)等差數(shù)列的前 4 項之和為 26，其末 4 項之和為 110，又這個數(shù)列的所有的項之和為 187，則這個數(shù)列共有多少項（ A ） A、 11 項 B、 22 項 C、 8 項 D、項數(shù)不能確定 8．設(shè)數(shù)列 ??xn 滿足 )(lo g1lo g 1 Nnxx nana ???? 且 20202020200021 ,100 xxxx ?則? ?????? 等于（ D ） A、 100a B、 100a2 C、 101a100 D、 100a100 二、填空題 1．若等差數(shù)列 ??an 的前幾項和為 Sn，且 ??? 251015 20 SSS 則 。 （ 3）若 1)(lim:),(2 211 212 ???????? ???? ncccNndd ddc nnnn nnn ?求證. 解：（ 1）解法（一）由已知 .84343, 1111 ?????????? aSTbnnST nn 時當(dāng) 當(dāng) 434)(3)1(44)(3,2 111 ????????????? ??? nnnnnnnn。 ∴ 當(dāng) )5(1 ??? kkn 時， 1)1(2 21 ???? kk 也成立。 ∴ naan ?1， 又 21?a ， ∴ nan 2? 。??,1,0( nk ?? （ 2）對 .31)1(41, ??? ?nfNn 證明 23 解：（ 1） ?????? ??????? ?????????????? ????????????? ? nkfnkfnkfnkfn nnnn 111? ?????????????? ??? nknfnkfn nn 1)1( ,1?????? ??????? kfnkf nn 即,111 ??????? ?????????nkfnnkfnnn又,1???????nkfank ,1)1( 1 ???? ?kk naan )1)(1()1( 1 ????? ? kk anan ，即 naakk11111 ????? ，由 n 為定值， 則數(shù)列 }1{ ?ka 是以 10?a 為首項，n11?為公比的等比數(shù)列， kk naa )11)(1(1 0 ????? ， 由于 )。39。 解： dnnndnnnaAn 2 )1(2 )1(1 ??????； dnnAn 2 11 ??? 又qqqqqB nnn ??????? 11 111； nn BBBBS ?????? ....321 2)1( )1(1 qqqqn n????? )(lim nnn SnA ?? ?? ])1( )1(12 11[lim 2qqqqndn nn ???????? ?? ])1()1 12())1(21[(lim 212 qqnqdqqd nn ????????? ??? =1 ?? ,1|q|? 0)1(lim 21 ??? ??? qqnn ???????????????.01 12,1)1(21 2qdqqd .0)11(1 1,01 1)1( 2 ????????? qqqqqq 又 4.,21,11,01 1 ????????? dqqqq 18 【例 6】 已知等比數(shù)列 {}an 中 a1 = 1，公比為 x (x 0)，其前 n 項和為 S。 由（ 1），（ 2） n∈ N,a 成立nn 21? 此時 是等比數(shù)列成立 }{211 nnn aaa ??? （ 2）另證：對 n≥ 2, 1Sn=an1an 14 1Sn+1=anan+1 兩式相減 ,有 111 2 ??? ???? nnnnn aaaSS 是等比數(shù)列即}{21212123121111nnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaa???????????????????? （ 3） ?? ??nnnn nnnnb 232 1212 12 132 112 2 1 ??????? ??????????? ?? ? ???????????????????????????????????????????????????????????????nnnnnnnbbb2)32(12)12(189147147125125131limlim121?? =312)32( 131lim ????????? ????? nn n 【例 2】 已知 ? ? ? ?012 2 ??? xxxf ，數(shù)列 ??an 滿足 ? ???? ?? ?11 1 nn afaa ? ?2?? nNn 且 （ 1）寫出數(shù)列 ??an 的前五項，試歸納出 an 的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。 （ 2） ∵ f(n+1)f(n)， ∴ 當(dāng) n1 時， f(n)的最小值為 f(2)=S5S3=209 ∴ 必需且只須 2)1(2 ][lo g2020)]1([lo g mm mm ???209????? ① ， 由??? ???? ?? 1101 10 mm mm 且且得 m1 且 m≠ 2 令 t= 2)]1([log ?mm 則不等式 ① 等價于????? ???20920200ttt ，解得： 0t1 即 0 2)]1([log ?mm 1，即 1logm(m1)0 或 0logm(m1)1， 解之得： 222 51 ???? mm 或 。 …∴ (3)當(dāng) n=2k（ k∈ N）時， ))(())(())(( ])()[(])()[(])()[( 212212434321212221224232221kkkkkkn bbbbbbbbbbbb bbbbbbT ?????????? ??????????…… .22 )121)(12()1221()(22124321kkkkkbbbbbb kk?????????????????????? ?…… 當(dāng) n=2k1 (k∈ N)時， 212222232232221 )(])()[(])[(])()[( ??? ??????? kkkn bbbbbbT … 132 2)( 2 k+3 ) ]( 2 k++4+3+2+[1= 22??? kk … ????????? ???? ).,12(132 ),2(2 22Nkknkk NkknkkT n ∈∈∴ 2．?dāng)?shù)列 ??an 的前 n 項和為 Sn, 已知 ??Sn 是各項為正數(shù)的等比數(shù)列。 nnn nnQ 2)1(2)2(2322212 1432 ???????? ? ②－①得 22)2(2)1(222)1(21 2222)1(22221132???????????????????????nnnnnnnnnnnnQ… 解： (1) )00(2211122122 112 ??????? ? ???????? ?? ???????? nnnnnnnnnnnnnn babba aabbba aab ， ? ?nnnnnnnnn bbbbbbbbb ??????? ???? 11112 22 是等差數(shù)列 (2)又 23133 12112 ??????? baaaa ， 又 2 232221 ??? babb 22)1(21)1(422limlim)1(21222222)1(2,22211???????????????????????????nnnnnabbbnnbbannbdnnnnnnnn?公差 數(shù)列的概念與性質(zhì) 練習(xí) 一、選擇題 1．設(shè) ? ? 則?? ,13121111 2nnnnnns ????????（ D ） 8 A． ? ? ? ?312122 ??? snnns 時，項，當(dāng)共有 B． ? ? ? ?413121221 ????? snnns 時，項，當(dāng)共有 C． ? ? ? ?3121222 ???? snnnns 時，項，當(dāng)共有 D． ? ? ? ?4131212212 ?????? snnnns 時，項，當(dāng)共有 2．等比數(shù)列 ??an 中， 568 10987654321 ?????????? aaaaaaaaaa ，那么 1514131211 aaaaa ???? 的值為（ C ） A． 756 B． 256 C． 392 D． 448 3． 11． 等比數(shù)列 {an } 中， a3 =7，前三項之和 S3 =21，則公比 q的值是 ( C ) （Ａ） 1 （Ｂ） 21 （Ｃ） 1或 21 （Ｄ） 1或21 4．首項為 1，公差不為零的等差數(shù)列中的 a a a3 4 6， ， 是一個等比數(shù)列的前 3 項，則這一等 比數(shù)列的第四項為（ B ） A． 8 B．－ 8 C．－ 6 D．不確定 5．已知數(shù)列 ??an 的前 n 項和 s n nn ? ?2 32 ，那么這個數(shù)列中的奇數(shù)項依照原來的順序構(gòu) 成的數(shù)列的通項公式是（ B ） A． ? ?Nnnbn ??? 98 B． ? ?Nnnbn ??? 18 C． ? ?Nnnbn ??? 54 D． ? ?Nnnbn ??? 34 6．?dāng)?shù)列 {an}的前 n 項和 Sn=3n2n2 (n∈ N)，當(dāng) n2 時，就有（ D ） A． Snna1nan B． Sn nanna1 C． na1Snnan D． nanSnna1 7． 有下列命題： ① x= )0( ?xab 是 a, x, b 成等比數(shù)列的充分但不必要條件 ②某數(shù)列 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則這個數(shù)列一定是常數(shù)列 ③已知 Sn表示數(shù)列 {an}的前 n 項和，且 S n n nS a n N? ? ??1 ( )，那么 {an}一定是等比數(shù)列 ④設(shè) 2 5 2 15 2 45a b c? ? ?， ，則這三個數(shù) a, b, c 成等差數(shù)列 其中正確的命題序號是：（ D ） A．②④