【正文】 1 絕密☆啟用前 高三數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí) 數(shù)列 一、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)： 二、高考要求 1． 理解數(shù)列的有關(guān)概念，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前 n 項(xiàng) . 2． 理解等差（比）數(shù)列的概念，掌握等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和的公式 . 并能運(yùn)用這些知識(shí)來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題 . 3． 了解數(shù)學(xué)歸納法原理，掌握數(shù)學(xué)歸納法這一證題方法，掌握“歸納 — 猜想 — 證明”這一思想方法 . 三、熱點(diǎn)分析 ，一般情況下都是一個(gè)客觀性試題加一個(gè)解答題，分值占整個(gè)試 卷的 10%左右 .客觀性試題主要考查等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前 n 項(xiàng)和公式、極限的四則運(yùn)算法則、無(wú)窮遞縮等比數(shù)列所有項(xiàng)和等內(nèi)容，對(duì)基本的計(jì)算技能要求比較高，解答題大多以考查數(shù)列內(nèi)容為主，并涉及到函數(shù)、方程、不等式知識(shí)的綜合性試題，在解題過(guò)程中通常用到等價(jià)轉(zhuǎn)化，分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，是屬于中高檔難度的題目 . （ 1）數(shù)列是特殊的函數(shù)，而不等式則是深刻認(rèn)識(shí)函數(shù)和數(shù)列的重要工具，三者的綜合求解題是對(duì)基礎(chǔ)和能力的雙重檢驗(yàn)，而三者的求證題所顯現(xiàn)出的代數(shù)推理是近年來(lái)高考命題的新 熱點(diǎn) （ 2）數(shù)列推理題是新出現(xiàn)的命題熱點(diǎn) .以往高考常使用主體幾何題來(lái)考查邏輯推理能力，近兩年在數(shù)列題中也加強(qiáng)了推理能力的考查 。 （ 3）加強(qiáng)了數(shù)列與極限的綜合考查題 、靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì) 。 等差、等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)應(yīng)用非常廣泛，且十分靈活，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)題目中隱含的相關(guān)性質(zhì)，往往使運(yùn)算簡(jiǎn)潔優(yōu)美 .如 a2a4+2a3a5+a4a6=25，可以利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化： a2a4=a32， a4a6=a52，從而有 a32+2aa53+a52=25，即（ a3+a5） 2=25. 觀題，應(yīng)注意尋求簡(jiǎn)捷方法 解答歷年有關(guān)數(shù)列的客觀題，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，除了常規(guī)方法外，還可以用更簡(jiǎn)捷的方法求解 .現(xiàn)介紹如下： ① 借助特殊數(shù)列 . ② 靈活運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，可更加準(zhǔn)確、快速地解題，這種思路在解客觀題時(shí)表現(xiàn)得更為突出，很多數(shù)列客觀題都有靈活、簡(jiǎn)捷的解法 數(shù)列問(wèn)題對(duì)能力要求較高，特別是運(yùn)算能力、歸納猜想能力、轉(zhuǎn)化能力、邏輯推理能力更為突出 .一般來(lái)說(shuō)，考題中選擇、填空題解法靈活多變，而解答題更是考查能力的集中體現(xiàn)，尤其近幾年高考加強(qiáng)了數(shù)列推理能力的考查 ，應(yīng)引起我們足夠的重視 .因此，在平時(shí)要加強(qiáng)對(duì)能力的培養(yǎng) 。 6．這幾年的高考通過(guò)選擇題，填空題來(lái)著重對(duì)三基進(jìn)行考查，涉及到的知識(shí)主要有：等差（比）數(shù)等差數(shù)列的 性質(zhì) 通項(xiàng)及 前 n 項(xiàng)和 正 整 數(shù) 集 數(shù) 列 的 概 念 等 差 數(shù) 列 等 比 數(shù) 列 等比數(shù)列的 性質(zhì) 有 關(guān) 應(yīng) 用 2 列的性質(zhì) . 通過(guò)解答題著重對(duì)觀察、歸納、抽象等解決問(wèn)題的基本方法進(jìn)行考查，其中涉及到方程、不等式、函數(shù)思想方法的應(yīng)用等，綜合性比較強(qiáng)，但難度略有下降 . 四、復(fù)習(xí)建議 1． 對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)要落實(shí)到位，主要是等差（比）數(shù)列的定義、通項(xiàng)、前 n 項(xiàng)和 . 2． 注意等差（比）數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用 . 3． 掌握一些遞推問(wèn)題的解法和幾類典型數(shù)列前 n 項(xiàng)和的求和方法 . 4． 注意滲透三種數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程的思想 、化歸轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想 . 5． 注意數(shù)列知識(shí)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，特別是在利率 ,分期付款等問(wèn)題中的應(yīng)用 . 6． 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是高考考查的重點(diǎn)。而且往往還以解答題的形式出現(xiàn)，所以我們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí)應(yīng)給予重視。近幾年的高考數(shù)列試題不僅考查數(shù)列的概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了學(xué)生的各種能力。 五、典型例題 數(shù)列的概念與性質(zhì) 【例 1】 已知由正數(shù)組成的等比數(shù)列 ??na ，若前 n2 項(xiàng)之和等于它前 n2 項(xiàng)中的偶數(shù)項(xiàng)之和的 11倍，第 3 項(xiàng)與第 4 項(xiàng)之和為第 2 項(xiàng)與第 4 項(xiàng)之積的 11 倍，求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式 . 解：∵ q=1 時(shí) 12 2naS n ? ， 1naS ?偶數(shù)項(xiàng) 又 01?a 顯然 11 112 nana ? ， q≠ 1 ∴221212 1 )1(1 )1( q qqaSqqaSnnn ? ?????? 偶數(shù)項(xiàng) 依題意221211 )1(111 )1( q qqaqqann??????；解之101?q 又 421422143 ),1( qaaaqqaaa ???? ， 依題意 42121 11)1( qaqqa ?? ，將101?q代入得 101?a nnna ?? ??? 21 10)101(10 【例 2】 等差數(shù)列 {an }中， 1233 aa ? =30， 33a =15，求使 an≤ 0 的最小自然數(shù) n。 解：設(shè)公差為 d，則??? ?? ?? 30122 30211 da da或??? ?? ??? 30122 30211 da da或??? ??? ?? 30122 30211 da da或??? ??? ??? 30122 30211 da da 解得：??? ??0301da? a33 = 30 與已知矛盾 或????? ???21311da ? a33 = 15 與已知矛盾 3 或????? ???21311da ?a33 = 15 或??? ???0301da ? a33 = 30 與已知矛盾 ∴ an = 31+(n 1) (21?) ? 31 ???21n0 ? n≥ 63 ∴滿足條件的最小自然數(shù)為 63。 【例 3】 設(shè)等差數(shù)列 {an }的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，已知 S4=44,S7=35 （ 1）求數(shù)列 {an }的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式； （ 2）求數(shù)列 |}{|na 的前 n 項(xiàng)和 Tn。 解：（ 1）設(shè)數(shù)列的公差為 d，由已知 S4=44,S7=35可得 a1=17,d=4 ∴ an =4n+21 (n∈ N),Sn =2n2 +19 (n∈ N). （ 2）由 an =4n+21≥ 0 得 n≤421, 故當(dāng) n≤ 5時(shí)， an ≥ 0, 當(dāng) n≥ 6時(shí)， 0?na 當(dāng) n≤ 5時(shí) ,Tn =Sn =2n2 +19n 當(dāng) n≥ 6時(shí) ,Tn =2S5Sn =2n2 19n+90. 【例 4】 已知等差數(shù)列 ??an 的第 2 項(xiàng)是 8，前 10 項(xiàng)和是 185，從數(shù)列 ??na 中依次取出第 2項(xiàng)，第4 項(xiàng)，第 8 項(xiàng)，??，第 2n 項(xiàng)，依次排列一個(gè)新數(shù)列 ??nb ，求數(shù)列 ??nb 的通項(xiàng)公式 bn 及前 n 項(xiàng)和公式 Sn 。 解：由????? ???? ??? 1 8 52 91010811012daSdaa 得 ?????351a ∴ 23)1(35)1(1 ???????? nndnaa n ∴ 2232 ??? nnnab 623212 2232 1121 ???? ??????? ?? nnnn nnbbbS ?? 【例 5】 已知數(shù)列 ??an ： ?，?，?，， 1001001002100133323122211 ?????? ①求證數(shù)列 ??an 為等差數(shù)列，并求它的公差 ②設(shè) ? ?Nnaab nnn ?? ?11，求 ?? ???? nbbb 21 的和。 解：①由條件， ? ? 2 12122121 ???????????? nn nnnnnnna n ?? ∴ 221 ??? nan； ∴ ? ?1212 12 21 ???????? nnnaa nn 故 ??an 為等差數(shù)列，公差 21?d 4 ②? ?? ? ? ?? ?21 44 21 12 22 1 1 ????????? nnnnnnb n 又知 ? ?? ? ? ?? ?21 121 122111 ????? ??????? nnnn nnnn ∴ ?????? ???? 21114 nnbn ???????????? ?????????? ??????????? ???????? ?????2121421114413143121421nnnbbb n ∴ 221214lim21 ??????? ??????? ?? nbbb nn ?? 【例 6】 已知數(shù)列 1， 1， 2??它的各項(xiàng)由一個(gè)等比數(shù)列與一個(gè)首項(xiàng)為 0 的等差數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加而得到。求該數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 Sn； 解： (1)記數(shù)列 1， 1， 2??為 {An}，其中等比數(shù)列為 {an}，公比為 q； 等差數(shù)列為 {bn}，公差為 d，則 An =an +bn (n∈ N） 依題意， b1 =0，∴ A1 =a1 +b1 =a1 =1 ① A2 =a2 +b2 =a1 q+b1 +d=1 ② A3 =a3 +b3 =a1 q2 +b1 +2d=2 ③ 由①②③得 d=1, q=2, ∴ nba nnn ??? ? 1,2 1 ∴ 2)1(12)]1()21()11[()221( 1212121nnnbbbaaaAAASnnnnnn???????????????????????????? …………… 【例 7】 已知數(shù)列 ??na 滿足 an+Sn=n,(1)求 a1,a2,a3,由此猜想通項(xiàng) an,并加以證明。 解法 1：由 an+Sn=n, 當(dāng) n=1 時(shí)， a1=S1， ?a1+a1=1，得 a1=12 當(dāng) n=2 時(shí)， a1+a2=S2，由 a2+S2=2，得 a1+2a2=2， ?a2=34 當(dāng) n=3 時(shí)， a1+a2+a3=S3，由 a3+S3=3，得 a1+a2+2a3=3?a3=87 猜想，nna 211??(1)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立。 當(dāng) n=1 時(shí) ,a1=1 2121? ,(1)式成立 假設(shè) ,當(dāng) n=k 時(shí) ,(1)式成立 ,即 ak=1k21成立， 5 則當(dāng) n=k+1 時(shí) ,ak+1+Sk+1=k+1,Sk+1=Sk+ak+1 ?2ak+1=k+1Sk 又 ak=k+Sk ?2ak+1=1+ak ?ak+1=12 11)2111(21)1(21 ??????? kkka 即當(dāng) n=k+1 時(shí) ,猜想（ 1）也成立。 所以對(duì)于任意自然數(shù) n,nna 211??都成立。 解法 2：由 an+Sn=n 得 111 ??? ?? nSa nn ，兩式相減得： 111 ???? ?? nnnn SSaa ， 即 121 1 ?? ?nn aa，即 ? ?1211 1 ??? ?nn aa，下略 【例 8】 設(shè)數(shù)列 ??na 是首項(xiàng)為 1 的等差數(shù)列，數(shù)列 ??nb 是首項(xiàng)為 1 的等比數(shù)列，又 5479261)( 432 ?????? cccNnbac nnn ，，且。 (1)求數(shù)列 ??nc 的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式； (2)當(dāng) n?5 時(shí)，試判斷 的符號(hào)（大于零或小于零），并給予嚴(yán)格證明。 解： (1)設(shè)數(shù)列 ? ? ? ?nn bda ，的公差為 的公比為 q 11 )1(1)1( ????????? nnn qbdndnaa ， )(])1(1[ 1 Nnqdnbac nnnn ??????? ? 由條件得????????????????????????????????547313421922161132qdqdqdqd )()34()1(21)34()]1(211[ 11 Nnnnc nnn ????????? ?? ])34()34()34[()]1()12()11[(21 10 ???????????? nn nS ?? )(33 4)3(411341)34(]2 )1([21 1 Nnnnnnn nnn??????????? ? (2) 050)34(270)34(3 5645 ???????? ncc ，猜想?， 證明：①當(dāng) n=5， c50 命題成立 6 ②假設(shè)當(dāng) 0)34()1(210)5( 1 ?????? ?kk kckkn ，即時(shí)， 03421])34(3121[])34()1(21[)34()2(21 54111 ??????????? ??? kkkk kkc 當(dāng) 01 1 ??? ?kckn 時(shí) 也成立 由① ，②對(duì)一切 n? 5，都有 0。 【例 9】 ??na 是等差數(shù)列，數(shù)列 ??nb 滿足 ? ?nnnnnn bSNnaaab 為，)(21 ???? ?? 的