【正文】 SaS成等差數(shù)列 ∴1232432 ????? nnn SSa；∴ )2(43 ??? nSa nn ∴ ,4)(3 212 ??? aaa ∵ 11?a ，∴ 212?a 22 類(lèi)似地 4)(3 3213 ???? aaaa ∴413 ??a 4)(3 43214 ????? aaaaa ∴ 814?a （ 2）∵當(dāng) n≥ 2 時(shí)， 43 ?? nn Sa ，即 43 ?? nn aS ∴??? ?? ?? ?? ②① ???? 43 43 11 nn nn aS aS ② – ①得 nnn aaa ?? ?? 113 ∴211 ???nnaa為常數(shù) ∴ 2a ， 3a ， 4a ，?， na ，?成等比數(shù)列 .；其中21,212 ??? qa 故 1222 )21()21(21,2 ??? ???????? nnnn qaan ∴????? ??? ? )2( )21(1)(n 11 na nn （ 3）∵ nn aaaS ???? ?21 = )(1 32 naaa ???? ? ∴ )(lim1lim32 nnnn aaaS ????? ???? ?=34311)21(1211 ?????? 數(shù)列的綜合應(yīng)用 (2) 【例 1】 已知函數(shù) ))(( ??Nnxfn 具有下列性質(zhì)： ??????????????? ??????? ?????????????? ????????????? ??)。39。 )1(121,2 111 ?????? ??? ??? ??? nnnn nn aansa nsan 由時(shí)當(dāng) 同理， )2(12 1 ??? nn aa (2)－ (1), 11 )(2 ?? ??? nnnn aaaa 即 )3(212 11 ??? ?? nnnn bbbb 由,2 122222 ???????? aabasa 又得 于是 )4(2112 ?bb 由 (3),(4)知21,21}{ 1 ?? qbbn 是的等比數(shù)列，nnb 21? 證法二：同上算得41,21 21 ?? bb，??猜想nnb 21?且數(shù)學(xué)歸納法證明， (1) 當(dāng)12121,1 bn ???? 時(shí)，命題成立 (2)假設(shè) )( Nkkn ?? 時(shí)命題成立，即kkb 21?成立。 (1)求 a1， a2， a3；（ 2）證明 {an}是等比數(shù)列 。 ⑵試確定實(shí)數(shù) m 的取值范圍，使得對(duì)于一切大于 1的自然數(shù) n ，不等式 2)1(2 ][ lo g2020)]1([ lo g)( mmnf mm ????恒成立。 …求 ? ????? （ 3） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2221224232221 nnn bbbbbbT ??????? ?…求和 解：（ 1） )2(222 111 ≥nSSa nnnnnn ??? ????? 22,}{ 1 ??? qaaa nnn 得公比由∴是等比數(shù)列∵ 1),(2.1,21,2,1,2111111112??????????????? PNnaPPPSaSaaqaann ∈∴∴∴又∴∵ （ 2） 12lo g,lo g 122 ???? ? nbab nnnn ∴? ① 7 解： (1)由已知條件得12 2???? nn bnbS 當(dāng) n=1 時(shí)，11211 23)1(21 ?? ?????????? nnnn b bnbSSanbSa 時(shí)，；當(dāng) 故???????????? )2(23)1()1(112nb bnbnbann (2)由 )4(0)31)(1(1 ???????? nnnbbaa nn ，化簡(jiǎn)得 為所求或故或解得，3103321321321311?????????????????bbbnnnnbb? 【例 11】 兩個(gè)數(shù)列 ??an 、 ??bn 中， 1200 ??? nnnnn ababa ，且， 成等差數(shù)列，且 b a bn n n2 1 12, ,? ? 成等比數(shù)列。 所以對(duì)于任意自然數(shù) n,nna 211??都成立。 解：由????? ???? ??? 1 8 52 91010811012daSdaa 得 ?????351a ∴ 23)1(35)1(1 ???????? nndnaa n ∴ 2232 ??? nnnab 等差、等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)應(yīng)用非常廣泛，且十分靈活，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)題目中隱含的相關(guān)性質(zhì)，往往使運(yùn)算簡(jiǎn)潔優(yōu)美 .如 a2a4+2a3a5+a4a6=25，可以利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化： a2a4=a32， a4a6=a52，從而有 a32+2aa53+a52=25，即（ a3+a5） 2=25. 觀題，應(yīng)注意尋求簡(jiǎn)捷方法 解答歷年有關(guān)數(shù)列的客觀題，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，除了常規(guī)方法外，還可以用更簡(jiǎn)捷的方法求解 .現(xiàn)介紹如下： ① 借助特殊數(shù)列 . ② 靈活運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，可更加準(zhǔn)確、快速地解題，這種思路在解客觀題時(shí)表現(xiàn)得更為突出，很多數(shù)列客觀題都有靈活、簡(jiǎn)捷的解法 數(shù)列問(wèn)題對(duì)能力要求較高，特別是運(yùn)算能力、歸納猜想能力、轉(zhuǎn)化能力、邏輯推理能力更為突出 .一般來(lái)說(shuō)，考題中選擇、填空題解法靈活多變，而解答題更是考查能力的集中體現(xiàn)，尤其近幾年高考加強(qiáng)了數(shù)列推理能力的考查 ，應(yīng)引起我們足夠的重視 .因此，在平時(shí)要加強(qiáng)對(duì)能力的培養(yǎng) 。近幾年的高考數(shù)列試題不僅考查數(shù)列的概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了學(xué)生的各種能力。 解：①由條件， ? ? 2 12122121 ???????????? nn nnnnnnna n ?? ∴ 221 ??? nan； ∴ ? ?1212 12 21 ???????? nnnaa nn 故 ??an 為等差數(shù)列，公差 21?d 4 ②? ?? ? ? ?? ?21 44 21 12 22 1 1 ????????? nnnnnnb n 解： (1)設(shè)數(shù)列 ? ? ? ?nn bda ，的公差為 的公比為 q 11 )1(1)1( ????????? nnn qbdndnaa ， )(])1(1[ 1 Nnqdnbac nnnn ??????? ? 由條件得????????????????????????????????547313421922161132qdqdqdqd )()34()1(21)34()]1(211[ 11 Nnnnc nnn ????????? ?? ])34()34()34[()]1()12()11[(21 10 ???????????? nn nS ?? )(33 4)3(411341)34(]2 )1([21 1 Nnnnnnn nnn??????????? ? (2) 050)34(270)34(3 5645 ???????? ncc ，猜想?， 證明：①當(dāng) n=5， c50 命題成立 6 ②假設(shè)當(dāng) 0)34()1(210)5( 1 ?????? ?kk kckkn ，即時(shí)， 03421])34(3121[])34()1(21[)34()2(21 54111 ??????????? ??? kkkk kkc 當(dāng) 01 1 ??? ?kckn 時(shí) 也成立 由① ，②對(duì)一切 n? 5，都有 0。若從中抽去一項(xiàng)，余下 10 項(xiàng)的算術(shù)平均值為 4，則抽去的是（ D ） A． 8a B． 9a C． 10a D． 11a 二、填空題 1．已知數(shù)列 ??an 的前 n 項(xiàng)和的公式為 132 2 ??? nnS n ，則通項(xiàng)公式為 。試比較 a a an nn? ? ?2 12 與 的大小，證明你的結(jié)論。 5．某人年初向建設(shè)銀行貸款 10 萬(wàn)元用于 買(mǎi)房。 （ 2）求nn nnn a233lim2????。 （ 1）寫(xiě)出數(shù)列 {}an 的通項(xiàng)公式及前 n項(xiàng)和 Sn的公式；（ 2）設(shè)nnn Sab ? ，寫(xiě)出 bn關(guān)于 x 和 n 的表達(dá)式；（ 3）判斷數(shù)列 {bn}的增減性； （ 4）求 limbnn??。lim nn nnn aa SS ????的值等于： ( C ) （Ａ） 21 （Ｂ） 32 （Ｃ） 23 （Ｄ） 2 7． 已知數(shù)列 }{na 中， ),3,2,1(2,1 11 ????? ? naaa nn ，則這個(gè)數(shù)列前 n 項(xiàng)和的極限是（ A） （ A） 2 （ B） 21 （ C） 3 （ D）31 8．等差數(shù)列 ??an 的通項(xiàng) 12 ?? nan ，則由 )(21 Nnn aaab nn ????? …所確定的數(shù)列 ??bn 的前 n 項(xiàng)和是 20 （ C ） A． )1( ?nn B．2 )1( ?nn C．2 )5( ?nn D．2 )7( ?nn 9．已知等比數(shù)列 {an}中，公比 q?R，且 9321 ??? aaa , 3554 ???? aaa ，記 nn aaaS ???? ??21 則 ??nlim Sn等于（ D ） A．17536 B．17548 C． 6 D．427 解 ：由已知可得313)1( 9)1( 323121 ???????????? ??? qqqqa qqa 所以得： )1(427)1(9)1()1(9)1)(1( 13121 ????????????? qaqqaqqqqa 所以4271lim 1 ????? qaS nn 10．已知數(shù)列 ? ? ? ? ?，?，：2 1c o s312c o s310c o s31 2 ?? ?na nn此數(shù)列所有項(xiàng)的和等于（ C ） A． B． C． D． 二、填空題 1． 設(shè)等差數(shù)列 ??na 共有 3n 項(xiàng)，它的前 2n 項(xiàng)之和是 100，后 2n 項(xiàng)之和是 200，則該等差數(shù)列的中間 n 項(xiàng)之和等于 . 75 2．在數(shù)列 ? ? ? ?Nnaaaa nnn ???? ? ?? co s0s in 11 ，中， 該數(shù)列所有項(xiàng)的和為 3 ，則 θ 的值等于 ? ?zkk ?? 32 ?? 3．某工廠原來(lái)年總產(chǎn)值為 a，以后連續(xù)兩年平均以 10%遞增，若連續(xù)兩年中第二年產(chǎn)值為 b，則 a 占 b 的百分?jǐn)?shù)是 。,1,0(111,2)0(10 nknafakkn ???????? ?????? （ 2）nnnnknafnkfa ?????? ???????????? 11111)1(,1? ， 欲證31)1(41 ?? nf， 只需證明 41113 ??????? ???nn， 只需證明 ,3112 ??????? ??nn ?????? ?? 2221 111)11( nCnCn nn nnnnC 1 ,211 ???? ? nnnnnn nCnCnCn 1111)11( 221 ?????? ? ?????? 22 )1(11 nnn nnnnn ! 12)1( ??? ?? 2112112122 12 12111!1!2111 2????????? ????????????????????nnn ?? .3213 ????????? n 【例 2】 已知函數(shù) f(x)= )1(12 ≥xx ? 24 （ 1）求 f(x)的反函數(shù) f－ 1 (x)的表達(dá)式； （ 2）數(shù)列 ??na 中， a1 =1； an =f－ 1 (an－ 1)(n?N， n≥ 2)，如果 bn = 2na (n?N)，求數(shù)列 ??nb 的通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和 Sn； （ 3）如果 g(n)=2Sn－ 17n，求函數(shù) g(x) (x?R)在區(qū)間 [t,t+2] (t?R)上的最小值 h(t)的表達(dá)式。 ∴ )321(221 naaaS nn ????????? ?? nnnn ????? 22 )1(2。 由以上 ?1 、 ?2 可知，當(dāng) 5?n 時(shí)，有 nn ST? ；當(dāng) 1?n 時(shí)， 11 ST? ； 當(dāng) 52 ??n 時(shí)， nn ST?