【正文】 ???????????????? …………… 【例 7】 已知數(shù)列 ??na 滿(mǎn)足 an+Sn=n,(1)求 a1,a2,a3,由此猜想通項(xiàng) an,并加以證明。 623212 2232 1121 ???? ??????? ?? nnnn nnbbbS 解：設(shè)公差為 d，則??? ?? ?? 30122 30211 da da或??? ?? ??? 30122 30211 da da或??? ??? ?? 30122 30211 da da或??? ??? ??? 30122 30211 da da 解得：??? ??0301da? a33 = 30 與已知矛盾 或????? ???21311da ? a33 = 15 與已知矛盾 3 或????? ???21311da ?a33 = 15 或??? ???0301da ? a33 = 30 與已知矛盾 ∴ an = 31+(n 1) (21?) ? 31 ???21n0 ? n≥ 63 ∴滿(mǎn)足條件的最小自然數(shù)為 63。 6．這幾年的高考通過(guò)選擇題，填空題來(lái)著重對(duì)三基進(jìn)行考查，涉及到的知識(shí)主要有：等差（比）數(shù)等差數(shù)列的 性質(zhì) 通項(xiàng)及 前 n 項(xiàng)和 正 整 數(shù) 集 數(shù) 列 的 概 念 等 差 數(shù) 列 等 比 數(shù) 列 等比數(shù)列的 性質(zhì) 有 關(guān) 應(yīng) 用 2 列的性質(zhì) . 通過(guò)解答題著重對(duì)觀(guān)察、歸納、抽象等解決問(wèn)題的基本方法進(jìn)行考查，其中涉及到方程、不等式、函數(shù)思想方法的應(yīng)用等，綜合性比較強(qiáng)，但難度略有下降 . 四、復(fù)習(xí)建議 1． 對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)要落實(shí)到位，主要是等差（比）數(shù)列的定義、通項(xiàng)、前 n 項(xiàng)和 . 2． 注意等差（比）數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用 . 3． 掌握一些遞推問(wèn)題的解法和幾類(lèi)典型數(shù)列前 n 項(xiàng)和的求和方法 . 4． 注意滲透三種數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程的思想 、化歸轉(zhuǎn)化思想及分類(lèi)討論思想 . 5． 注意數(shù)列知識(shí)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，特別是在利率 ,分期付款等問(wèn)題中的應(yīng)用 . 6． 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是高考考查的重點(diǎn)。 1 絕密☆啟用前 高三數(shù)學(xué)第二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí) 數(shù)列 一、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)： 二、高考要求 1． 理解數(shù)列的有關(guān)概念，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前 n 項(xiàng) . 2． 理解等差（比）數(shù)列的概念，掌握等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和的公式 . 并能運(yùn)用這些知識(shí)來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題 . 3． 了解數(shù)學(xué)歸納法原理，掌握數(shù)學(xué)歸納法這一證題方法，掌握“歸納 — 猜想 — 證明”這一思想方法 . 三、熱點(diǎn)分析 ，一般情況下都是一個(gè)客觀(guān)性試題加一個(gè)解答題，分值占整個(gè)試 卷的 10%左右 .客觀(guān)性試題主要考查等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前 n 項(xiàng)和公式、極限的四則運(yùn)算法則、無(wú)窮遞縮等比數(shù)列所有項(xiàng)和等內(nèi)容，對(duì)基本的計(jì)算技能要求比較高，解答題大多以考查數(shù)列內(nèi)容為主，并涉及到函數(shù)、方程、不等式知識(shí)的綜合性試題，在解題過(guò)程中通常用到等價(jià)轉(zhuǎn)化，分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想方法，是屬于中高檔難度的題目 . （ 1）數(shù)列是特殊的函數(shù)，而不等式則是深刻認(rèn)識(shí)函數(shù)和數(shù)列的重要工具，三者的綜合求解題是對(duì)基礎(chǔ)和能力的雙重檢驗(yàn)，而三者的求證題所顯現(xiàn)出的代數(shù)推理是近年來(lái)高考命題的新 熱點(diǎn) （ 2）數(shù)列推理題是新出現(xiàn)的命題熱點(diǎn) .以往高考常使用主體幾何題來(lái)考查邏輯推理能力，近兩年在數(shù)列題中也加強(qiáng)了推理能力的考查 。而且往往還以解答題的形式出現(xiàn)，所以我們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí)應(yīng)給予重視。 【例 3】 設(shè)等差數(shù)列 {an }的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，已知 S4=44,S7=35 （ 1）求數(shù)列 {an }的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式； （ 2）求數(shù)列 |}{|na 的前 n 項(xiàng)和 Tn。?? 【例 5】 已知數(shù)列 ??an ： ?，?，?， 1001001002100133323122211 ?????? ①求證數(shù)列 ??an 為等差數(shù)列，并求它的公差 ②設(shè) ? ?Nnaab nnn ?? ?11，求 ?? ???? nbbb 21 的和。 解法 1：由 an+Sn=n, 當(dāng) n=1 時(shí)， a1=S1， ?a1+a1=1，得 a1=12 當(dāng) n=2 時(shí)， a1+a2=S2，由 a2+S2=2，得 a1+2a2=2， ?a2=34 當(dāng) n=3 時(shí)， a1+a2+a3=S3，由 a3+S3=3，得 a1+a2+2a3=3?a3=87 猜想，nna 211??(1)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立。 (1)求數(shù)列 ??nc 的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式； (2)當(dāng) n?5 時(shí)，試判斷 的符號(hào)（大于零或小于零），并給予嚴(yán)格證明。 解： (1)當(dāng)1114111 4 )3(4,1 bd dabdabbSn ????? 時(shí)， ∴原命題成立 假設(shè)當(dāng)dabSkn kkk 4 3??? 時(shí)，成立 則d dbaaaad dbabbSS kkkkkkkkkkk 4 44 4 13211311 ????????? ???????? dabd dabd dbba kkkkkkk 44 )4(4 4 41111 ????? ????? dabSNnkn nnn 41 3?????? 有意時(shí)命題也成立，故對(duì)任當(dāng) (2)由 dadaaaa 556)7(8383555125 ?????? ，有 05111516 ????? ddaa 0541255612517 ??????? ddddaa ?? 18171421 0 bbbbb ????? 00 1817161617161515 ???? aaabaaab ， 1615151411314 SSSSSSS ?????? ，? ddaaddaa 59135610 518515 ??????? ，又 1416161516151815 0,|||,| SSbbbbaa ???????? 故 nS 中 16S 最大 【例 10】 已知數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，滿(mǎn)足條件 )2lg (lg)1(lg 1 ????? ? nbbnS nn ，其中 b0 且b? 1。 解： (1) )00(2211122122 112 ??????? ? ???????? ?? ???????? nnnnnnnnnnnnnn babba aabbba aab ， ? ?nnnnnnnnn bbbbbbbbb ??????? ???? 11112 22 是等差數(shù)列 (2)又 23133 12112 ??????? baaaa ， 又 2 232221 ??? babb 22)1(21)1(422limlim)1(21222222)1(2,22211???????????????????????????nnnnnabbbnnbbannbdnnnnnnnn?公差 數(shù)列的概念與性質(zhì) 練習(xí) 一、選擇題 1．設(shè) ? ? 則?? ,13121111 2nnnnnns ????????（ D ） 8 A． ? ? ? ?312122 ??? snnns 時(shí)，項(xiàng)，當(dāng)共有 B． ? ? ? ?413121221 ????? snnns 時(shí)，項(xiàng)，當(dāng)共有 C． ? ? ? ?3121222 ???? snnnns 時(shí)，項(xiàng)，當(dāng)共有 D． ? ? ? ?4131212212 ?????? snnnns 時(shí)，項(xiàng)，當(dāng)共有 2．等比數(shù)列 ??an 中， 568 10987654321 ?????????? aaaaaaaaaa ，那么 1514131211 aaaaa ???? 的值為（ C ） A． 756 B． 256 C． 392 D． 448 3． 11． 等比數(shù)列 {an } 中， a3 =7，前三項(xiàng)之和 S3 =21，則公比 q的值是 ( C ) （Ａ） 1 （Ｂ） 21 （Ｃ） 1或 21 （Ｄ） 1或21 4．首項(xiàng)為 1，公差不為零的等差數(shù)列中的 a a a3 4 6， ， 是一個(gè)等比數(shù)列的前 3 項(xiàng)，則這一等 比數(shù)列的第四項(xiàng)為（ B ） A． 8 B．－ 8 C．－ 6 D．不確定 5．已知數(shù)列 ??an 的前 n 項(xiàng)和 s n nn ? ?2 32 ，那么這個(gè)數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)依照原來(lái)的順序構(gòu) 成的數(shù)列的通項(xiàng)公式是（ B ） A． ? ?Nnnbn ??? 98 B． ? ?Nnnbn ??? 18 C． ? ?Nnnbn ??? 54 D． ? ?Nnnbn ??? 34 6．?dāng)?shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和 Sn=3n2n2 (n∈ N)，當(dāng) n2 時(shí)，就有（ D ） A． Snna1nan B． Sn nanna1 C． na1Snnan D． nanSnna1 7． 有下列命題： ① x= )0( ?xab 是 a, x, b 成等比數(shù)列的充分但不必要條件 ②某數(shù)列 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列一定是常數(shù)列 ③已知 Sn表示數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和，且 S n n nS a n N? ? ??1 ( )，那么 {an}一定是等比數(shù)列 ④設(shè) 2 5 2 15 2 45a b c? ? ?， ，則這三個(gè)數(shù) a, b, c 成等差數(shù)列 其中正確的命題序號(hào)是：（ D ） A．②④ B．①②③ C．①③ D．①②④ 9 8．若兩個(gè)等差數(shù)列 ?? ??nn ba 、 的前 n 項(xiàng)和274 17 ??? nnBABA nnnn 滿(mǎn)足和(n?N)，則1111ba 的值等于（ C ） A．47 B．23 C．34 D．7178 9．在等差數(shù)列 ??an 中， 3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24，則此數(shù)列前 13 項(xiàng)之和為（ A ） A． 26 B． 13 C． 52 D． 156 10．等差數(shù) 列 ??na ， 1a =－ 5，它的前 11 項(xiàng)的算術(shù)平均值為 5。naP的值及通項(xiàng)求 （ 2） ?！?nnn nnQ 2)1(2)2(2322212 1432 ???????? ? ②－①得 22)2(2)1(222)1(21 2222)1(22221132???????????????????????nnnnnnnnnnnnQ …∴ (3)當(dāng) n=2k（ k∈ N）時(shí)， ))(())(())(( ])()[(])()[(])()[( 212212434321212221224232221kkkkkkn bbbbbbbbbbbb bbbbbbT ?????????? ??????????…… .22 )121)(12()1221()(22124321kkkkkbbbbbb kk?????????????????????? ?…… 當(dāng) n=2k1 (k∈ N)時(shí)， 212222232232221 )(])()[(])[(])()[( ??? ??????? kkkn bbbbbbT … 132 2)( 2 k+3 ) ]( 2 k++4+3+2+[1= 22??? kk … ????????? ???? ).,12(132 ),2(2 22Nkknkk NkknkkT n ∈∈∴ 2．?dāng)?shù)列 ??an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn, 已知 ??Sn 是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列。 解：（ 1） 12316743163743778 ?????? ?? aaa ； 348 109 ???? aa ，同理： （ 2） ? ?1111 72527 432???? ????? ???nnnnn aaaaa 29 ?? nan 時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) 289 9 ???? an 時(shí)當(dāng) 命題成立? 2)9( ??? kakkn 時(shí)假設(shè) 時(shí)那么當(dāng) 1?? kn )07022(07 )2(521 ???????? ???? kkkkkk aaaaaa ，? 1??kn 時(shí)命題成立 成立。 （ 2） ∵ f(n+1)f(n)， ∴ 當(dāng) n1 時(shí)， f(n)的最小值為 f(2)=S5S3=209 ∴ 必需且只須 2)1(2 ][lo g2020)]1([lo g mm mm ???