【正文】 3lim233lim22???????????????????????? ??????????? nnnnnnnnnnnnna （ 3）1212 273 231 1 12????????? ? nnnnS ? ? ?11221212222372131122????????? ???????????nnnnn? 【例 3】 已知 a0， a≠ 1，數(shù)列 {an}是首項(xiàng)為 a，公比也為 a 的等比數(shù)列，令 bn=anlgan （ n∈ N） 。 y 其中 = (1 + )10 = 1 + 10 + 45 + 120 + 210 + ? ? y ? ? ? ?10 1 4802 0 040 4802 123305 . ..(元 ) 答 : 若向建設(shè)銀行貸款 , 每年需還 12245 元 。 (2)當(dāng) n?9且 n 是自然數(shù)時(shí)，試比較 an 與 2的大小， 并說明理由。則 …設(shè) ,2)1(2)2(232221 , 1232 2211 ?? ???????? ???? nnn nnn nnQ bababaQ 10 ② 3 三、解答題 1． ,l o g}{),(2}{ 2 nnnnnn abbRPPSna ??? 滿足數(shù)列∈項(xiàng)和的前數(shù)列 .}{ 是等比數(shù)列若 na （ 1） 。 (1)若 ??na的公差等于首項(xiàng) a1，證明對(duì)于任意自然數(shù) n 都有dabS nnn 4 3??； (2)若 ??an 中滿足 3 8 05 12a a? ? ，試問 n 多大時(shí)， Sn取得 最大值？證明你的結(jié)論。求該數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 Sn； 解： (1)記數(shù)列 1， 1， 2??為 {An}，其中等比數(shù)列為 {an}，公比為 q； 等差數(shù)列為 {bn}，公差為 d，則 An =an +bn (n∈ N） 依題意， b1 =0，∴ A1 =a1 +b1 =a1 =1 ① A2 =a2 +b2 =a1 q+b1 +d=1 ② A3 =a3 +b3 =a1 q2 +b1 +2d=2 ③ 由①②③得 d=1, q=2, ∴ nba nnn ??? ? 1,2 1 ∴ 2)1(12)]1()21()11[()221( 1212121nnnbbbaaaAAASnnnnnn???????????????????????????? …………… 【例 7】 已知數(shù)列 ??na 滿足 an+Sn=n,(1)求 a1,a2,a3,由此猜想通項(xiàng) an,并加以證明。 解：設(shè)公差為 d，則??? ?? ?? 30122 30211 da da或??? ?? ??? 30122 30211 da da或??? ??? ?? 30122 30211 da da或??? ??? ??? 30122 30211 da da 解得：??? ??0301da? a33 = 30 與已知矛盾 或????? ???21311da ? a33 = 15 與已知矛盾 3 或????? ???21311da ?a33 = 15 或??? ???0301da ? a33 = 30 與已知矛盾 ∴ an = 31+(n 1) (21?) ? 31 ???21n0 ? n≥ 63 ∴滿足條件的最小自然數(shù)為 63。 1 絕密☆啟用前 高三數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí) 數(shù)列 一、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)： 二、高考要求 1． 理解數(shù)列的有關(guān)概念，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前 n 項(xiàng) . 2． 理解等差（比）數(shù)列的概念，掌握等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和的公式 . 并能運(yùn)用這些知識(shí)來解決一些實(shí)際問題 . 3． 了解數(shù)學(xué)歸納法原理，掌握數(shù)學(xué)歸納法這一證題方法，掌握“歸納 — 猜想 — 證明”這一思想方法 . 三、熱點(diǎn)分析 ，一般情況下都是一個(gè)客觀性試題加一個(gè)解答題，分值占整個(gè)試 卷的 10%左右 .客觀性試題主要考查等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前 n 項(xiàng)和公式、極限的四則運(yùn)算法則、無窮遞縮等比數(shù)列所有項(xiàng)和等內(nèi)容，對(duì)基本的計(jì)算技能要求比較高，解答題大多以考查數(shù)列內(nèi)容為主，并涉及到函數(shù)、方程、不等式知識(shí)的綜合性試題，在解題過程中通常用到等價(jià)轉(zhuǎn)化，分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，是屬于中高檔難度的題目 . （ 1）數(shù)列是特殊的函數(shù)，而不等式則是深刻認(rèn)識(shí)函數(shù)和數(shù)列的重要工具，三者的綜合求解題是對(duì)基礎(chǔ)和能力的雙重檢驗(yàn)，而三者的求證題所顯現(xiàn)出的代數(shù)推理是近年來高考命題的新 熱點(diǎn) （ 2）數(shù)列推理題是新出現(xiàn)的命題熱點(diǎn) .以往高考常使用主體幾何題來考查邏輯推理能力，近兩年在數(shù)列題中也加強(qiáng)了推理能力的考查 。 【例 3】 設(shè)等差數(shù)列 {an }的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，已知 S4=44,S7=35 （ 1）求數(shù)列 {an }的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式； （ 2）求數(shù)列 |}{|na 的前 n 項(xiàng)和 Tn。 解法 1：由 an+Sn=n, 當(dāng) n=1 時(shí)， a1=S1， ?a1+a1=1，得 a1=12 當(dāng) n=2 時(shí)， a1+a2=S2，由 a2+S2=2，得 a1+2a2=2， ?a2=34 當(dāng) n=3 時(shí)， a1+a2+a3=S3，由 a3+S3=3，得 a1+a2+2a3=3?a3=87 猜想，nna 211??(1)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立。 解： (1)當(dāng)1114111 4 )3(4,1 bd dabdabbSn ????? 時(shí)， ∴原命題成立 假設(shè)當(dāng)dabSkn kkk 4 3??? 時(shí)，成立 則d dbaaaad dbabbSS kkkkkkkkkkk 4 44 4 13211311 ????????? ???????? dabd dabd dbba kkkkkkk 44 )4(4 4 41111 ????? ????? dabSNnkn nnn 41 3?????? 有意時(shí)命題也成立，故對(duì)任當(dāng) (2)由 dadaaaa 556)7(8383555125 ?????? ，有 05111516 ????? ddaa 0541255612517 ??????? ddddaa ?? 18171421 0 bbbbb ????? 00 1817161617161515 ???? aaabaaab ， 1615151411314 SSSSSSS ?????? ，? ddaaddaa 59135610 518515 ??????? ，又 1416161516151815 0,|||,| SSbbbbaa ???????? 故 nS 中 16S 最大 【例 10】 已知數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，滿足條件 )2lg (lg)1(lg 1 ????? ? nbbnS nn ，其中 b0 且b? 1。naP的值及通項(xiàng)求 （ 2） 。 解：（ 1） 12316743163743778 ?????? ?? aaa ； 348 109 ???? aa ，同理： （ 2） ? ?1111 72527 432???? ????? ???nnnnn aaaaa 29 ?? nan 時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) 289 9 ???? an 時(shí)當(dāng) 命題成立? 2)9( ??? kakkn 時(shí)假設(shè) 時(shí)那么當(dāng) 1?? kn )07022(07 )2(521 ???????? ???? kkkkkk aaaaaa ，? 1??kn 時(shí)命題成立 成立。 若向工商銀行貸款 , 每年需還 12330 元。 （ 1）求數(shù)列 {bn}的前 n 項(xiàng)和 Sn； （ 2）當(dāng)數(shù)列 {bn}中的每一項(xiàng)總小于它后面的項(xiàng)時(shí)，求 a 的取值范圍 . 解：（ 1）由題意知 an=an， bn=nanlga. ∴ Sn=（ 1 ? a+2 ? a2+3 ? a3+?? +n ? an） lga. a Sn=（ 1 ? a2+2 ? a3+3 ? a4+?? +n ? an+1） lga. 以上兩式相減得 （ 1– a） Sn=（ a+a2+a3+?? +an–n ? an+1） lga aanaaa nn lg1 )1( 1 ???????? ????? ?. ∵ a≠ 1，∴ ? ?nn anana aaS )1(1)1( lg 2 ?????. （ 2）由 bk+1–bk=(k+1)ak+1lga–kaklga=aklga[k(a–1)+a]. 由題意知 bk+1–bk0，而 ak0， ∴ lga[k(a–1)+a]0. ① （ 1）若 a1，則 lga0， k(a–1)+a0，故 a1 時(shí)，不等式①成立； （ 2）若 0a1，則 lga0， 不等式①成立 0)1( ???? aak 10 ???? k ka 恒成立 2110 mi n ??????? ???? k ka. 綜合（ 1）、（ 2）得 a 的取值范圍為 ),1()21,0( ??? 【例 4】 已知數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn，又有數(shù)列 {bn}，它們滿足關(guān)系 11 ab? ，對(duì) Nn? 有 16 nnnnn aabnSa ???? ?? 11, 。 n }的前 n 項(xiàng)和為 S39。 21 6．已知數(shù)列 ??an 是等比數(shù)列，若 918 432321 ??????? aaaaaa ， 且 ??????? nnnn SaaaS lim21 ，則? . 16 21 三、解答題 1．?dāng)?shù)列 }{na 中，前 n 項(xiàng)和 bnanSn ?? 2 其中 a,b 是常數(shù)，且 a0,a+b1,n∈ N. （ 1）求 }{na 的通項(xiàng)公式 na ，并證明 )(11 Nnaa nn ???? ； （ 2）令 1log ?? nan acn，試判斷數(shù)列 }{nc 中任意相鄰兩項(xiàng)的大小 . 解：（ 1） 111 ???? baSa )]1()1([)( 221 ???????? ? nbnabnanSSa nnn )4,3,2(2 ?????? nbaan 當(dāng) n=1 時(shí)也能滿足上式，∴ ),3,2,1(2 ?????? nbaana n .02)2()1(21 ??????????? abaanbanaaa nn ∴ )3,2,1.(11 ?????? naa nn （ 2）由（ 1）及對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得數(shù)列 }{nc 中各項(xiàng)皆為正值 nanana nann aaaacc nnnn 111 lo glo glo glo g 2121??? ??? ???? 222 lo glo g 11 ???????? ?? ?? ? nana aa nn ? ?22 )(lo g41 1 nna aan ?? ?? )(2lo g41 2221 nnnna aaaan ????????? ???????? ?? ??? ? ? 1)(lo g41 2211 ?? ?? na an 又∵ 1?na ，∴ 0log 1 ?? ?nan acn. ∴ ).3,2,1(1 ????? ncc nn 2．已知數(shù)列 ? ? 1, 1?aan 中 ，前 n 項(xiàng)和為 nS ，對(duì)于任意232,43,2 1???? nnn SaSn總成等差數(shù)列 。 假設(shè) ? ?Nkkkn ??? ，1 時(shí)，命題成立，即 ak ?2 則 ? ? ? ? ?????? ???????? 2111211221kkkkk aaa aa 25 由歸納假設(shè) 2?ka ，則11101 ????? kkk aaa ，且，由平均值定理得 ? ? 221112211 ????????? ????? kkk aaa (1)求數(shù)列 {an}的通項(xiàng) an以及它的前 n 項(xiàng)和 Sn； (2)求數(shù)列 {bn}的前 n 項(xiàng)和Tn； (3)猜想 Sn和 Tn的大小關(guān)系，并說明理由 . 解： ⑴∵ 0)1(),(0 2 112 ?????? ?? nnnnn naaaanNna ∴ 0)())(1(121 ???? ?? naaaann nn n。 猜想：當(dāng) 5?n 時(shí)， nn ST? 。 1 5．?dāng)?shù)列 ??an 的通項(xiàng)公式)12)(12( 1 ??? nna n前 n 項(xiàng)和為 1lim ??? nnn aSS ，(a 為實(shí)常數(shù) )，則 a 的值等于 。 4 三、解答題 若 nn TS和 分別表 示數(shù)列 }{}{ nn ba 和 的前 n 項(xiàng)的和，對(duì)任意正整數(shù) n， ),1(2 ??? nan .43 nST nn ?? 。亦即 12 2??nn 。即nnaa nn 11 ???。??na （ 3）計(jì)算 nn S??lim . 解：（ 1）∵當(dāng) n≥ 2 時(shí)， 232,43 1??? nnn