【正文】 前 n 項和。 (1)若 ??na的公差等于首項 a1，證明對于任意自然數(shù) n 都有dabS nnn 4 3??； (2)若 ??an 中滿足 3 8 05 12a a? ? ，試問 n 多大時， Sn取得 最大值？證明你的結(jié)論。 解： (1)當(dāng)1114111 4 )3(4,1 bd dabdabbSn ????? 時， ∴原命題成立 假設(shè)當(dāng)dabSkn kkk 4 3??? 時，成立 則d dbaaaad dbabbSS kkkkkkkkkkk 4 44 4 13211311 ????????? ???????? dabd dabd dbba kkkkkkk 44 )4(4 4 41111 ????? ????? dabSNnkn nnn 41 3?????? 有意時命題也成立，故對任當(dāng) (2)由 dadaaaa 556)7(8383555125 ?????? ，有 05111516 ????? ddaa 0541255612517 ??????? ddddaa ?? 18171421 0 bbbbb ????? 00 1817161617161515 ???? aaabaaab ， 1615151411314 SSSSSSS ?????? ，? ddaaddaa 59135610 518515 ??????? ，又 1416161516151815 0,|||,| SSbbbbaa ???????? 故 nS 中 16S 最大 【例 10】 已知數(shù)列 ??na 的前 n 項和為 Sn，滿足條件 )2lg (lg)1(lg 1 ????? ? nbbnS nn ，其中 b0 且b? 1。 (1)求數(shù)列 ??na 的通項 an； (2)若對 4 nn aaNn ??? ?1時，恒有 ，試求 b 的取值范圍。 7 解： (1)由已知條件得12 2???? nn bnbS 當(dāng) n=1 時，11211 23)1(21 ?? ?????????? nnnn b bnbSSanbSa 時，；當(dāng) 故???????????? )2(23)1()1(112nb bnbnbann (2)由 )4(0)31)(1(1 ???????? nnnbbaa nn ，化簡得 為所求或故或解得，3103321321321311?????????????????bbbnnnnbb? 【例 11】 兩個數(shù)列 ??an 、 ??bn 中， 1200 ??? nnnnn ababa ，，且， 成等差數(shù)列，且 b a bn n n2 1 12, ,? ? 成等比數(shù)列。 (1)證明 ??bn 是等差數(shù)列； (2)若n nn abbbaa ????? ?? ?，求 2112 lim33 的值。 解： (1) )00(2211122122 112 ??????? ? ???????? ?? ???????? nnnnnnnnnnnnnn babba aabbba aab ， ? ?nnnnnnnnn bbbbbbbbb ??????? ???? 11112 22 是等差數(shù)列 (2)又 23133 12112 ??????? baaaa ， 又 2 232221 ??? babb 22)1(21)1(422limlim)1(21222222)1(2,22211???????????????????????????nnnnnabbbnnbbannbdnnnnnnnn?公差 數(shù)列的概念與性質(zhì) 練習(xí) 一、選擇題 1．設(shè) ? ? 則?? ,13121111 2nnnnnns ????????（ D ） 8 A． ? ? ? ?312122 ??? snnns 時，項，當(dāng)共有 B． ? ? ? ?413121221 ????? snnns 時，項，當(dāng)共有 C． ? ? ? ?3121222 ???? snnnns 時，項，當(dāng)共有 D． ? ? ? ?4131212212 ?????? snnnns 時，項，當(dāng)共有 2．等比數(shù)列 ??an 中， 568 10987654321 ?????????? aaaaaaaaaa ，那么 1514131211 aaaaa ???? 的值為（ C ） A． 756 B． 256 C． 392 D． 448 3． 11． 等比數(shù)列 {an } 中， a3 =7，前三項之和 S3 =21，則公比 q的值是 ( C ) （Ａ） 1 （Ｂ） 21 （Ｃ） 1或 21 （Ｄ） 1或21 4．首項為 1，公差不為零的等差數(shù)列中的 a a a3 4 6， ， 是一個等比數(shù)列的前 3 項，則這一等 比數(shù)列的第四項為（ B ） A． 8 B．－ 8 C．－ 6 D．不確定 5．已知數(shù)列 ??an 的前 n 項和 s n nn ? ?2 32 ，那么這個數(shù)列中的奇數(shù)項依照原來的順序構(gòu) 成的數(shù)列的通項公式是（ B ） A． ? ?Nnnbn ??? 98 B． ? ?Nnnbn ??? 18 C． ? ?Nnnbn ??? 54 D． ? ?Nnnbn ??? 34 6．?dāng)?shù)列 {an}的前 n 項和 Sn=3n2n2 (n∈ N)，當(dāng) n2 時，就有（ D ） A． Snna1nan B． Sn nanna1 C． na1Snnan D． nanSnna1 7． 有下列命題： ① x= )0( ?xab 是 a, x, b 成等比數(shù)列的充分但不必要條件 ②某數(shù)列 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則這個數(shù)列一定是常數(shù)列 ③已知 Sn表示數(shù)列 {an}的前 n 項和，且 S n n nS a n N? ? ??1 ( )，那么 {an}一定是等比數(shù)列 ④設(shè) 2 5 2 15 2 45a b c? ? ?， ，則這三個數(shù) a, b, c 成等差數(shù)列 其中正確的命題序號是：（ D ） A．②④ B．①②③ C．①③ D．①②④ 9 8．若兩個等差數(shù)列 ?? ??nn ba 、 的前 n 項和274 17 ??? nnBABA nnnn 滿足和(n?N)，則1111ba 的值等于（ C ） A．47 B．23 C．34 D．7178 9．在等差數(shù)列 ??an 中， 3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24，則此數(shù)列前 13 項之和為（ A ） A． 26 B． 13 C． 52 D． 156 10．等差數(shù) 列 ??na ， 1a =－ 5，它的前 11 項的算術(shù)平均值為 5。若從中抽去一項，余下 10 項的算術(shù)平均值為 4，則抽去的是（ D ） A． 8a B． 9a C． 10a D． 11a 二、填空題 1．已知數(shù)列 ??an 的前 n 項和的公式為 132 2 ??? nnS n ，則通項公式為 。 ? ?? ???? ?? ??? 254 12 nn nan 2． 數(shù)列 {an }的通項公式為 )32)(12( 1 ??? nna n前 n 項和為 Sn ，若 1lim ??? nn aS (a 為實常數(shù) )，則 a 的值 等于 。 3 三、解答題 1． ,l o g}{),(2}{ 2 nnnnnn abbRPPSna ??? 滿足數(shù)列∈項和的前數(shù)列 .}{ 是等比數(shù)列若 na （ 1） 。naP的值及通項求 （ 2） 。2)1(lim 2211 n nnn n bababa …求 ? ????? （ 3） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2221224232221 nnn bbbbbbT ??????? ?…求和 解：（ 1） )2(222 111 ≥nSSa nnnnnn ??? ????? 22,}{ 1 ??? qaaa nnn 得公比由∴是等比數(shù)列∵ 1),(2.1,21,2,1,2111111112??????????????? PNnaPPPSaSaaqaann ∈∴∴∴又∴∵ （ 2） 12lo g,lo g 122 ???? ? nbab nnnn ∴? ①…則 …設(shè) ,2)1(2)2(232221 , 1232 2211 ?? ???????? ???? nnn nnn nnQ bababaQ 10 ②… nnn nnQ 2)1(2)2(2322212 1432 ???????? ? ②－①得 22)2(2)1(222)1(21 2222)1(22221132???????????????????????nnnnnnnnnnnnQ… .12)1( 22)2(lim2)1(lim 2211 ?? ???? ??? ???? nnnn nnn nnn bababa …∴ (3)當(dāng) n=2k（ k∈ N）時， ))(())(())(( ])()[(])()[(])()[( 212212434321212221224232221kkkkkkn bbbbbbbbbbbb bbbbbbT ?????????? ??????????…… .22 )121)(12()1221()(22124321kkkkkbbbbbb kk?????????????????????? ?…… 當(dāng) n=2k1 (k∈ N)時， 212222232232221 )(])()[(])[(])()[( ??? ??????? kkkn bbbbbbT … 132 2)( 2 k+3 ) ]( 2 k++4+3+2+[1= 22??? kk … ????????? ???? ).,12(132 ),2(2 22Nkknkk NkknkkT n ∈∈∴ 2．?dāng)?shù)列 ??an 的前 n 項和為 Sn, 已知 ??Sn 是各項為正數(shù)的等比數(shù)列。試比較 a a an nn? ? ?2 12 與 的大小，證明你的結(jié)論。 解 ： 依題意 , 可設(shè) ? ?0,0111 ??? ? qSqSS nn 其中 則 ? ?2211 ?? ?? nqSS nn 從而有 ? ?????? ???? ??? ?? 時當(dāng)時當(dāng) 2110 2111 nqqSSS nSa nnnn (Ⅰ )當(dāng) q = 1 時 , a2 = a3 = ? = 0 11 ∴ ? ?a a a a a a nn nn1 3 2 2 12 2 2? ? ? ? ?? ?, (Ⅱ )當(dāng) q 0 且 q?1 時 , (1)當(dāng) n = 1 時 , ? ? ? ?12 12 111231 ??????? qSqqSSaaa 0432321 21 ????????? ??????? ?? qS ∴231 2 aaa ?? (2)當(dāng) ? ? ? ? ? ?12 112,2 1112112 ????????? ???? qqSqqSqqSaaan nnnnnn時 ? ?? ??12 11 2 3S q qn (i)若 q 1 時 , 則 a a an nn? ?? ?2 12 (ii)若 0 q 1 時 , 則 a a an nn? ?? ?2 12 3． 已知數(shù)列 ? ?117 7432316???????nnnn aaanaa 時，且中， (1)分別求出 a a a8 9 10， ， 的值 。 (2)當(dāng) n?9且 n 是自然數(shù)時，試比較 an 與 2的大小， 并說明理由。 解：（ 1） 12316743163743778 ?????? ?? aaa ； 348 109 ???? aa ，同理： （ 2） ? ?1111 72527 432???? ????? ???nnnnn aaaaa 29 ?? nan 時，用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) 289 9 ???? an 時當(dāng) 命題成立? 2)9( ??? kakkn 時假設(shè) 時那么當(dāng) 1?? kn )07022(07 )2(521 ???????? ???? kkkkkk aaaaaa ，? 1??kn 時命題成立 成