【正文】 2 6．已知等比數(shù)列 ??an 的各項(xiàng)都是正數(shù)， 656080 2 ?? nn SS ， ，且前 n 項(xiàng)中最大的一項(xiàng)為 54， 則 n= 。 即 012 2 ??? nn 。 ∴ ????????? ????? ?????? .1,1)1(2 )12(1)1(2 )1(4111 n nn nn nna an n ∴ 0?na ， ∴11 ??? nnaann。 所以 1??kn 時(shí) 21??ka 也成立 因此，對任意自然數(shù) n，都有 2?na （ 2）證明： ? ????????? ?????? 11121121 nn nnn aaaaa；由（ 1） an?2 ， 112 11211 ??????? ???? ?nnaa 又 nnn aaa ???? ?102 ， （ 3）證明：由 nn aa ??1 及 3?ka 得 31321 ????? ? kk aaaaa ?? ? ?11123121111143434343431311211112112?????????????????????? ????????????????kkkkkkkkkaaa aaaaaaaaaaaa （ 1）求432 , aaa 的值；（ 2）求通項(xiàng) 。n ，則nn nnn aaSS 39。 （ 1）求證 {bn}是等比數(shù)列，并寫出它的通項(xiàng)公式 （ 2）求nn a??lim 解：⑴證法一：當(dāng) n=1 時(shí)，211,1 111111 ???????? baaasa。 數(shù)列的綜合應(yīng)用 (1) 【例 1】 已知無窮數(shù)列 {an},Sn 是其前 n項(xiàng)和 ,對不小于 2的正整數(shù) n,滿足關(guān)系 nnn aaS ??? ?11 。自然數(shù)綜上所述，對一切 29 ?? nan 12 4． 已知 )(131211 NnnS n ?????? ?， 112)( ?? ?? nn SSnf ⑴比較 )1( ?nf 與 )(nf 的大小?！?.12)1( 22)2(lim2)1(lim 2211 ?? ???? ??? ???? nnnn nnn nnn bababa …2)1(lim 2211 n nnn n bababa (1)求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng) an； (2)若對 4 nn aaNn ??? ?1時(shí)，恒有 ，試求 b 的取值范圍。 當(dāng) n=1 時(shí) ,a1=1 2121? ,(1)式成立 假設(shè) ,當(dāng) n=k 時(shí) ,(1)式成立 ,即 ak=1k21成立， 5 則當(dāng) n=k+1 時(shí) ,ak+1+Sk+1=k+1,Sk+1=Sk+ak+1 ?2ak+1=k+1Sk 又 ak=k+Sk ?2ak+1=1+ak ?ak+1=12 11)2111(21)1(21 ??????? kkka 即當(dāng) n=k+1 時(shí) ,猜想（ 1）也成立。 解：（ 1）設(shè)數(shù)列的公差為 d，由已知 S4=44,S7=35可得 a1=17,d=4 ∴ an =4n+21 (n∈ N),Sn =2n2 +19 (n∈ N). （ 2）由 an =4n+21≥ 0 得 n≤421, 故當(dāng) n≤ 5時(shí)， an ≥ 0, 當(dāng) n≥ 6時(shí)， 0?na 當(dāng) n≤ 5時(shí) ,Tn =Sn =2n2 +19n 當(dāng) n≥ 6時(shí) ,Tn =2S5Sn =2n2 19n+90. 【例 4】 已知等差數(shù)列 ??an 的第 2 項(xiàng)是 8，前 10 項(xiàng)和是 185，從數(shù)列 ??na 中依次取出第 2項(xiàng)，第4 項(xiàng)，第 8 項(xiàng)，??，第 2n 項(xiàng)，依次排列一個(gè)新數(shù)列 ??nb ，求數(shù)列 ??nb 的通項(xiàng)公式 bn 及前 n 項(xiàng)和公式 Sn 。 （ 3）加強(qiáng)了數(shù)列與極限的綜合考查題 、靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì) 。 五、典型例題 數(shù)列的概念與性質(zhì) 【例 1】 已知由正數(shù)組成的等比數(shù)列 ??na ，若前 n2 項(xiàng)之和等于它前 n2 項(xiàng)中的偶數(shù)項(xiàng)之和的 11倍，第 3 項(xiàng)與第 4 項(xiàng)之和為第 2 項(xiàng)與第 4 項(xiàng)之積的 11 倍，求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式 . 解：∵ q=1 時(shí) 12 2naS n ? ， 1naS ?偶數(shù)項(xiàng) 又 01?a 顯然 11 112 nana ? ， q≠ 1 ∴221212 1 )1(1 )1( q qqaSqqaSnnn ? ?????? 偶數(shù)項(xiàng) 依題意221211 )1(111 )1( q qqaqqann??????；解之101?q 又 421422143 ),1( qaaaqqaaa ???? ， 依題意 42121 11)1( qaqqa ?? ，將101?q代入得 101?a nnna ?? ??? 21 10)101(10 【例 2】 等差數(shù)列 {an }中， 1233 aa ? =30， 33a =15，求使 an≤ 0 的最小自然數(shù) n。 又知 ? ?? ? ? ?? ?21 121 122111 ????? ??????? nnnn nnnn ∴ ?????? ???? 21114 nnbn ???????????? ?????????? ??????????? ???????? ?????2121421114413143121421nnnbbb n ∴ 221214lim21 ??????? ??????? ?? nbbb nn ?? 【例 6】 已知數(shù)列 1， 1， 2??它的各項(xiàng)由一個(gè)等比數(shù)列與一個(gè)首項(xiàng)為 0 的等差數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)相加而得到。 【例 9】 ??na 是等差數(shù)列，數(shù)列 ??nb 滿足 ? ?nnnnnn bSNnaaab 為，)(21 ???? ?? 的前 n 項(xiàng)和。 ? ?? ???? ?? ??? 254 12 nn nan 2． 數(shù)列 {an }的通項(xiàng)公式為 )32)(12( 1 ??? nna n前 n 項(xiàng)和為 Sn ，若 1lim ??? nn aS (a 為實(shí)常數(shù) )，則 a 的值 等于 。 解 ： 依題意 , 可設(shè) ? ?0,0111 ??? ? qSqSS nn 其中 則 ? ?2211 ?? ?? nqSS nn 從而有 ? ?????? ???? ??? ?? 時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng) 2110 2111 nqqSSS nSa nnnn (Ⅰ )當(dāng) q = 1 時(shí) , a2 = a3 = ? = 0 11 ∴ ? ?a a a a a a nn nn1 3 2 2 12 2 2? ? ? ? ?? ?, (Ⅱ )當(dāng) q 0 且 q?1 時(shí) , (1)當(dāng) n = 1 時(shí) , ? ? ? ?12 12 111231 ??????? qSqqSSaaa 0432321 21 ????????? ??????? ?? qS ∴231 2 aaa ?? (2)當(dāng) ? ? ? ? ? ?12 112,2 1112112 ????????? ???? qqSqqSqqSaaan nnnnnn時(shí) ? ?? ??12 11 2 3S q qn (i)若 q 1 時(shí) , 則 a a an nn? ?? ?2 12 (ii)若 0 q 1 時(shí) , 則 a a an nn? ?? ?2 12 3． 已知數(shù)列 ? ?117 7432316???????nnnn aaanaa 時(shí)，且中， (1)分別求出 a a a8 9 10， ， 的值 。 (1)如果他向建設(shè)銀行貸款 , 年利率為 5%, 且這筆借款分 10 次等額歸還 (不計(jì)復(fù)利 ), 每年一次 , 并從借后次年年初開始?xì)w還 , 問每年應(yīng)還多少元 (精確到 1 元 )？ (2)如果他向工商銀行貸款 , 年利率為 4%, 要按復(fù)利計(jì)算 (即本年的利息計(jì)入次年的本金生息 ), 仍分 10次等額歸還 , 每年一次 , 每年應(yīng)還多少元 (精確到 1 元 )？ 解 ： (1) 若向建設(shè)銀行貸款 , 設(shè)每年還款 x 元 , 則 105 (1 + 10 5%) = x(1 + 9 5%) + x(1 + 8 5%) + x(1 + 7 5%) + ? + x, 105 = 10x + 45 , 解得 x ? ? ?10 1 512 25 122455 .. (元 ) (2)若向工商銀行貸款 , 設(shè)每年還款 y 元 , 則 105 (1 + 4%)10 = y(1 + 4%)9 + y(1 + 4%)8 + y(1 + 4%)7 + ? + y 13 10 1 04 1 04 11 04 15 10 10? ? ??. . . （ 3）若 ?，?，13222211222??????? nnnn aabaabaab 求數(shù)列 ??bn 的前 n 項(xiàng)的和 Sn。 解：（ 1）??????????? ? 時(shí)時(shí)1,111,1 xxxxnSxa nnnn （ 2） ,11nSabx nnn ??? 時(shí)， ? ?nnnnn x xxSabx ? ???? ?1 11 1時(shí)， ? ?????????? ???? ?時(shí)時(shí)1,1 11,11 xxxxxnbnnn （ 3）當(dāng) 0,111 111 1 ??????? ? nnn bn nnnbbx 又時(shí)， ； ∴ b bn n? ?1 當(dāng) n? 1 時(shí)，? ?? ? nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxbb???????????? ??? ?? 1111111111111 nnnnnnbbbxxxxxxx???????????????? 1,0,111101111,1又同號，與? 綜上知 ??nb 為遞減數(shù)列。 %1217882 4． 數(shù)列 ??an 中， ??????? ? nnn anaaaaaa 則?， )2(5 13211 。 解：（ 1） 111 22222 ?????? yxxyxy ∴　∴　 101 2 ?? yxyx ∴　≥∴　≥∵ ∴ f－ 1 (x)= )0(12 ≥xx ? （ 2） )2,(1)(1 2 1111 ≥　 NNnaafaa nnn ????? ??? ∴ 11 2 1221 ??? ?nn aaa 　 ∴ 11 11 ??? ?nn bbb 　 ??∴ bn 是以 1 為首項(xiàng)，公差為 1 的等差數(shù)列 ∴ b nn? )1(21 ?? nnSn∴ （ 3） g(n)=2Sn－ 17n=n2－ 16n 64)8(16)( 22 ????? xxxxg∴ x?R ∴ g(x)函數(shù)圖像是以頂點(diǎn) M（ 8，－ 64）且開口向上的拋物線 (i)當(dāng) t8 時(shí)， g(x)在 [t,t+2]上是增函數(shù) ∴ h(t)=g(t)=t2－ 16t (ii)當(dāng) t+28 時(shí)， g(x)在 [t,t+2]是減函數(shù) ∴ h(t)=g(t+2)=t2－ 12t－ 28 (iii)當(dāng) 6≤ t≤ 8 時(shí) h(t)=g(8)=－ 64 ∴ h t t t ttt t t( )( , )[ , ]( , )?? ? ? ??? ?? ? ???????2212 28 664 6 816 8　　　　　　　　 【例 3】 在數(shù)列 {an}中，已知 ? ? ? ?? ?Nnaaaaaa n nn ????? ? 122 211 ，且 （ 1）求證： ? ?Nnan ??2 ；（ 2）求證： ? ?Nnaa nn ???1 ； （ 3）若存在 Nk? ，使得 ak?3 ，求證： 143lg3lg?? ak 。則 1433 ??????????kk aa ⑵∴ 12 1?? ?nnb ， ∴ nbbbbT nnn ??????????? ? )2222( 1210321 ?? nn ???? 12 )12(20 12 ??? nn。 【例 5】 已知等差數(shù)列 { na }中，公差為 d0，等比數(shù)列 { nb }中， 01?b 公比 q0 且 .1?q 若)1,0,1(lo glo g 11 ??????? aaNnnbbaa anan ，求 a 的取值范圍 . 27 解：由已知不等式，得 11111 lo g)(lo g)1( bqbadna ana ????? ? qndn alo g)1()1( ??? ∵ 01??n ，∴ qd alog? ①當(dāng) 10