【正文】 求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式 . 解：∵ q=1 時(shí) 12 2naS n ? ， 1naS ?偶數(shù)項(xiàng) 又 01?a 顯然 11 112 nana ? ， q≠ 1 ∴221212 1 )1(1 )1( q qqaSqqaSnnn ? ?????? 偶數(shù)項(xiàng) 依題意221211 )1(111 )1( q qqaqqann??????；解之101?q 又 421422143 ),1( qaaaqqaaa ???? ， 依題意 42121 11)1( qaqqa ?? ，將101?q代入得 101?a nnna ?? ??? 21 10)101(10 【例 2】 等差數(shù)列 {an }中， 1233 aa ? =30， 33a =15，求使 an≤ 0 的最小自然數(shù) n。 等差、等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)在解決數(shù)列問題時(shí)應(yīng)用非常廣泛，且十分靈活，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)題目中隱含的相關(guān)性質(zhì)，往往使運(yùn)算簡(jiǎn)潔優(yōu)美 .如 a2a4+2a3a5+a4a6=25，可以利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化： a2a4=a32， a4a6=a52，從而有 a32+2aa53+a52=25，即（ a3+a5） 2=25. 觀題，應(yīng)注意尋求簡(jiǎn)捷方法 解答歷年有關(guān)數(shù)列的客觀題，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，除了常規(guī)方法外，還可以用更簡(jiǎn)捷的方法求解 .現(xiàn)介紹如下： ① 借助特殊數(shù)列 . ② 靈活運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，可更加準(zhǔn)確、快速地解題，這種思路在解客觀題時(shí)表現(xiàn)得更為突出，很多數(shù)列客觀題都有靈活、簡(jiǎn)捷的解法 數(shù)列問題對(duì)能力要求較高，特別是運(yùn)算能力、歸納猜想能力、轉(zhuǎn)化能力、邏輯推理能力更為突出 .一般來說，考題中選擇、填空題解法靈活多變，而解答題更是考查能力的集中體現(xiàn)，尤其近幾年高考加強(qiáng)了數(shù)列推理能力的考查 ，應(yīng)引起我們足夠的重視 .因此，在平時(shí)要加強(qiáng)對(duì)能力的培養(yǎng) 。 （ 3）加強(qiáng)了數(shù)列與極限的綜合考查題 、靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì) 。近幾年的高考數(shù)列試題不僅考查數(shù)列的概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了學(xué)生的各種能力。 解：（ 1）設(shè)數(shù)列的公差為 d，由已知 S4=44,S7=35可得 a1=17,d=4 ∴ an =4n+21 (n∈ N),Sn =2n2 +19 (n∈ N). （ 2）由 an =4n+21≥ 0 得 n≤421, 故當(dāng) n≤ 5時(shí)， an ≥ 0, 當(dāng) n≥ 6時(shí)， 0?na 當(dāng) n≤ 5時(shí) ,Tn =Sn =2n2 +19n 當(dāng) n≥ 6時(shí) ,Tn =2S5Sn =2n2 19n+90. 【例 4】 已知等差數(shù)列 ??an 的第 2 項(xiàng)是 8，前 10 項(xiàng)和是 185，從數(shù)列 ??na 中依次取出第 2項(xiàng)，第4 項(xiàng)，第 8 項(xiàng)，??，第 2n 項(xiàng)，依次排列一個(gè)新數(shù)列 ??nb ，求數(shù)列 ??nb 的通項(xiàng)公式 bn 及前 n 項(xiàng)和公式 Sn 。 解：①由條件， ? ? 2 12122121 ???????????? nn nnnnnnna n ?? ∴ 221 ??? nan； ∴ ? ?1212 12 21 ???????? nnnaa nn 故 ??an 為等差數(shù)列，公差 21?d 4 ②? ?? ? ? ?? ?21 44 21 12 22 1 1 ????????? nnnnnnb n 當(dāng) n=1 時(shí) ,a1=1 2121? ,(1)式成立 假設(shè) ,當(dāng) n=k 時(shí) ,(1)式成立 ,即 ak=1k21成立， 5 則當(dāng) n=k+1 時(shí) ,ak+1+Sk+1=k+1,Sk+1=Sk+ak+1 ?2ak+1=k+1Sk 又 ak=k+Sk ?2ak+1=1+ak ?ak+1=12 11)2111(21)1(21 ??????? kkka 即當(dāng) n=k+1 時(shí) ,猜想（ 1）也成立。 解： (1)設(shè)數(shù)列 ? ? ? ?nn bda ，的公差為 的公比為 q 11 )1(1)1( ????????? nnn qbdndnaa ， )(])1(1[ 1 Nnqdnbac nnnn ??????? ? 由條件得????????????????????????????????547313421922161132qdqdqdqd )()34()1(21)34()]1(211[ 11 Nnnnc nnn ????????? ?? ])34()34()34[()]1()12()11[(21 10 ???????????? nn nS ?? )(33 4)3(411341)34(]2 )1([21 1 Nnnnnnn nnn??????????? ? (2) 050)34(270)34(3 5645 ???????? ncc ，猜想?， 證明：①當(dāng) n=5， c50 命題成立 6 ②假設(shè)當(dāng) 0)34()1(210)5( 1 ?????? ?kk kckkn ，即時(shí)， 03421])34(3121[])34()1(21[)34()2(21 54111 ??????????? ??? kkkk kkc 當(dāng) 01 1 ??? ?kckn 時(shí) 也成立 由① ，②對(duì)一切 n? 5，都有 0。 (1)求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng) an； (2)若對(duì) 4 nn aaNn ??? ?1時(shí)，恒有 ，試求 b 的取值范圍。若從中抽去一項(xiàng)，余下 10 項(xiàng)的算術(shù)平均值為 4，則抽去的是（ D ） A． 8a B． 9a C． 10a D． 11a 二、填空題 1．已知數(shù)列 ??an 的前 n 項(xiàng)和的公式為 132 2 ??? nnS n ，則通項(xiàng)公式為 。2)1(lim 2211 n nnn n bababa …… .12)1( 22)2(lim2)1(lim 2211 ?? ???? ??? ???? nnnn nnn nnn bababa 試比較 a a an nn? ? ?2 12 與 的大小，證明你的結(jié)論。自然數(shù)綜上所述，對(duì)一切 29 ?? nan 12 4． 已知 )(131211 NnnS n ?????? ?， 112)( ?? ?? nn SSnf ⑴比較 )1( ?nf 與 )(nf 的大小。 5．某人年初向建設(shè)銀行貸款 10 萬元用于 買房。 數(shù)列的綜合應(yīng)用 (1) 【例 1】 已知無窮數(shù)列 {an},Sn 是其前 n項(xiàng)和 ,對(duì)不小于 2的正整數(shù) n,滿足關(guān)系 nnn aaS ??? ?11 。 （ 2）求nn nnn a233lim2????。 （ 1）求證 {bn}是等比數(shù)列，并寫出它的通項(xiàng)公式 （ 2）求nn a??lim 解：⑴證法一：當(dāng) n=1 時(shí)，211,1 111111 ???????? baaasa。 （ 1）寫出數(shù)列 {}an 的通項(xiàng)公式及前 n項(xiàng)和 Sn的公式；（ 2）設(shè)nnn Sab ? ，寫出 bn關(guān)于 x 和 n 的表達(dá)式；（ 3）判斷數(shù)列 {bn}的增減性； （ 4）求 limbnn??。n ，則nn nnn aaSS 39。lim nn nnn aa SS ????的值等于： ( C ) （Ａ） 21 （Ｂ） 32 （Ｃ） 23 （Ｄ） 2 7． 已知數(shù)列 }{na 中， ),3,2,1(2,1 11 ????? ? naaa nn ，則這個(gè)數(shù)列前 n 項(xiàng)和的極限是（ A） （ A） 2 （ B） 21 （ C） 3 （ D）31 8．等差數(shù)列 ??an 的通項(xiàng) 12 ?? nan ，則由 )(21 Nnn aaab nn ????? …所確定的數(shù)列 ??bn 的前 n 項(xiàng)和是 20 （ C ） A． )1( ?nn B．2 )1( ?nn C．2 )5( ?nn D．2 )7( ?nn 9．已知等比數(shù)列 {an}中，公比 q?R，且 9321 ??? aaa , 3554 ???? aaa ，記 nn aaaS ???? ??21 則 ??nlim Sn等于（ D ） A．17536 B．17548 C． 6 D．427 解 ：由已知可得313)1( 9)1( 323121 ???????????? ??? qqqqa qqa 所以得： )1(427)1(9)1()1(9)1)(1( 13121 ????????????? qaqqaqqqqa 所以4271lim 1 ????? qaS nn 10．已知數(shù)列 ? ? ? ? ?，?，：2 1c o s312c o s310c o s31 2 ?? ?na nn此數(shù)列所有項(xiàng)的和等于（ C ） A． B． C． D． 二、填空題 1． 設(shè)等差數(shù)列 ??na 共有 3n 項(xiàng)，它的前 2n 項(xiàng)之和是 100，后 2n 項(xiàng)之和是 200，則該等差數(shù)列的中間 n 項(xiàng)之和等于 . 75 2．在數(shù)列 ? ? ? ?Nnaaaa nnn ???? ? ?? co s0s in 11 ，中， 該數(shù)列所有項(xiàng)的和為 3 ，則 θ 的值等于 ? ?zkk ?? 32 ?? 3．某工廠原來年總產(chǎn)值為 a，以后連續(xù)兩年平均以 10%遞增，若連續(xù)兩年中第二年產(chǎn)值為 b，則 a 占 b 的百分?jǐn)?shù)是 。 （ 1）求432 , aaa 的值；（ 2）求通項(xiàng) 。,1,0(111,2)0(10 nknafakkn ???????? ?????? （ 2）nnnnknafnkfa ?????? ???????????? 11111)1(,1? ， 欲證31)1(41 ?? nf， 只需證明 41113 ??????? ???nn， 只需證明 ,3112 ??????? ??nn ?????? ?? 2221 111)11( nCnCn nn nnnnC 1 ,211 ???? ? nnnnnn nCnCnCn 1111)11( 221 ?????? ? ?????? 22 )1(11 nnn nnnnn ! 12)1( ??? ?? 2112112122 12 12111!1!2111 2????????? ????????????????????nnn ?? .3213 ????????? n 【例 2】 已知函數(shù) f(x)= )1(12 ≥xx ? 24 （ 1）求 f(x)的反函數(shù) f－ 1 (x)的表達(dá)式； （ 2）數(shù)列 ??na 中， a1 =1； an =f－ 1 (an－ 1)(n?N， n≥ 2)，如果 bn = 2na (n?N)，求數(shù)列 ??nb 的通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和 Sn； （ 3）如果 g(n)=2Sn－ 17n，求函數(shù) g(x) (x?R)在區(qū)間 [t,t+2] (t?R)上的最小值 h(t)的表達(dá)式。 所以 1??kn 時(shí) 21??ka 也成立 因此，對(duì)任意自然數(shù) n，都有 2?na （ 2）證明： ? ????????? ?????? 11121121 nn nnn aaaaa；由（ 1） an?2 ， 112 11211 ??????? ???? ?nnaa 又 nnn aaa ???? ?102 ， （ 3）證明：由 nn aa ??1 及 3?ka 得 31321 ????? ? kk aaaaa ?? ? ?11123121111143434343431311211112112?????????????????????? ????????????????kkkkkkkkkaaa aaaaaaaaaaaa ∴ ????????? ????? ?????? .1,1)1(2 )12(1)1(2 )1(4111 n nn nn nna an n ∴ 0?na ， ∴11 ??? nnaann。 ∴ )321(221 naaaS nn ????????? ?? nnnn ????? 22 )1(2。 即 012 2 ??? nn 。 由以上 ?1 、 ?2 可知，當(dāng) 5?n 時(shí)，有 nn ST? ；當(dāng) 1?n 時(shí)， 11 ST? ； 當(dāng) 52 ??n 時(shí)， nn ST? 。 2 6．已知等比數(shù)列 ??an 的各項(xiàng)都是正數(shù)， 656080 2 ?? nn SS ， ，且前 n 項(xiàng)中最大的一項(xiàng)為 54， 則 n=