20xx高考數(shù)學(xué)均值不等式專題(已修改)
2025-10-22 07:47 本頁面
【正文】 第一篇：2013高考數(shù)學(xué)均值不等式專題均值不等式歸納總結(jié)ab163。(a+b2)163。2a+b222(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立）(1)當(dāng)兩個正數(shù)的積為定值時，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個正數(shù)的和為定值時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”.(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、：求最值例：求下列函數(shù)的值域1（1）y＝3x 2（2）y＝x2xx211解：(1)y＝3x 2 ≥2x 213x 2＝6∴值域為6，+∞）2x 21(2)當(dāng)x＞0時，y＝x＋ ≥x1x＝2； x1x－2 x11當(dāng)x＜0時，y＝x＋ = －（－ x－）≤－2xx∴值域為（－∞，－2]∪[2，+∞）解題技巧技巧一：湊項例:已知x，求函數(shù)y=4x2+4514x5的最大值。4x5解：因4x50，所以首先要“調(diào)整”符號，又(4x2)對4x2要進(jìn)行拆、湊項，Qx54,\54x0不是常數(shù)，所以，\y=4x2+11230。=231。54x+4x554x232。1246。163。2+3=1247。+3248。 =1。當(dāng)且僅當(dāng)54x=54x，即x=1時，上式等號成立，故當(dāng)x=1時，ymax評注：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)，求y=x(82x)的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x+(82x)=8為定值，故只需將y=x(82x)湊上一個系數(shù)即可。當(dāng)，即x＝2時取等號當(dāng)x＝2時，y=x(82x)的最大值為8。評注：本題無法直接運(yùn)用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：設(shè)0x32，求函數(shù)y=4x(32x)的最大值。2x+32x246。9解：∵0x∴32x0∴y=4x(32x)=22x(32x)163。2230。231。247。=222232。248。當(dāng)且僅當(dāng)2x=32x,即x=技巧三： 分離常數(shù) =x+7x+10x+1230。3246。206。231。0,247。時等號成立。4232。2248。(x1)的值域。解析一：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項，再將其分離。當(dāng),即時,y179。5=9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取“＝”號）。技巧四：換元法解析二：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。y=(t1)+7(t1）+10t=t+5t+4t=t+4t+55=9（當(dāng)t=2當(dāng),即t=時,y179。即x＝1時取“＝”號）。Ag(x)評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為y=mg(x)+或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用均值不等式來求最值。+B(A0,B0)，g(x)恒正技巧五：在應(yīng)用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，結(jié)合函數(shù)f(x)=的單調(diào)性。例：求函數(shù)y=因t0,tx+axx+52的值域。=t(t179。2)，則y=1t==t+1t(t179。2)=1，但t=1t1t解得t=177。1不在區(qū)間[2,+165。)，故等號不成立，考慮單調(diào)性。因為y=t+在區(qū)間[1,+165。)單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間[2,+165。)為單調(diào)遞增函數(shù)，故y179。52。5246。所以，所求函數(shù)的值域為233。,+165。247。234。235。2248。技巧六：整體代換 例：已知x0,y0，且解：Qx0,y0,1+9x1x+9y=1，求x+y的最小值。=16。230。19246。y9x+10179。6+10=16=1，\x+y=(x+y)231。+247。=+xyxyy232。248。當(dāng)且僅當(dāng)yx=9xy時，上式等號成立，又1x+9y=1，可得x=4,y=12時，(x+y)min變式：（1）若x,y206。R+且2x+y=1，求1+1的最小值xy(2)已知a,b,x,y206。R+且a+bxy=1，求x+y的最小值技巧七：消元法已知a，b為正實數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)y 分析：這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進(jìn)行。30－2b30－2b－2 b 2＋30b法一：a，ab b＝b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15－2t 2＋34t－311616令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t ≥tttt＝8t∴ ab≤18∴ y≥當(dāng)且僅當(dāng)t＝4，即b＝3
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