【正文】 () ||nnn nafafa a?? ? 1nna qa???,是常數(shù) ,故 ③ 符合條件 。 36．（ 2020 安徽理 ） 數(shù)列 {}nx 滿足 : 2*110 , ( )n n nx x x x c n N?? ? ? ? ? ? (I)證明 :數(shù)列 {}nx 是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是 0c? (II)求 c 的取值范圍 ,使數(shù)列 {}nx 是單調(diào)遞增數(shù)列 . 參考答案 一、選擇題 1. 【 答案】 B 【解析】 4 8 1 1 1( 3 ) ( 7 ) 2 10 ,a a a d a d a d? ? ? ? ? ? ? 2 1 0 1 1 1 2 1 0 4 8( ) ( 9 ) 2 1 0 , 1 6a a a d a d a d a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,故選 B 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、同時(shí)考查運(yùn)算求解能力 ,屬于容易題 . 【答案】 B 【解析】在等差數(shù)列中 , 1 1 11 1 1 4 8 1 1 1 1 ( )1 6 , 8 82aaa a a a s ??? ? ? ? ? ? ?,答案為 B 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)及其前 n 項(xiàng)和公式 ,同時(shí)考查運(yùn)算求解能力 ,屬于中檔題 .解答時(shí)利用等差數(shù)列的性質(zhì)快速又準(zhǔn)確 . 3. [答案 ]D [解析 ]∵ {}na 是公差不為 0 的等差數(shù)列 ,且 1 2 7( ) ( ) ( ) 14f a f a f a? ? ???? ? ∴ 14]1)3[(]1)3[(]1)3[( 737232131 ????????????? aaaaaa ? ∴ 147)( 721 ???? aaa ? ∴ 21721 ??? aaa ? [點(diǎn)評(píng) ]本小題考查的知識(shí)點(diǎn)較為綜合 ,既考查了高次函數(shù)的性質(zhì)又考查了等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 ,解決此類問題必須要敢于嘗 試 ,并需要認(rèn)真觀察其特點(diǎn) . [答案 ]D [解析 ]∵ 數(shù)列 {an}是公差為 8? 的等差數(shù)列 ,且 1 2 5( ) ( ) ( ) 5f a f a f a ?? ? ???? ? ∴ ?5)c o sc o s( c o s2 521521 ???????? aaaaaa ?? ）（ ∴ ,0)c o sc o s( c o s 521 ???? aaa ? 即 ?5522 3521 ?????? aaaa ）（ ? 得 43,4,2 513 ??? ??? aaa ∴ 23 1 3[ ( )]f a a a?? 1613163)co s2(22251233 ??? ????? aaaa [點(diǎn)評(píng) ]本題難度較大 ,綜合性很強(qiáng) .突出考查了等差數(shù)列性質(zhì)和三角函數(shù)性質(zhì)的綜合使用 ,需考生加強(qiáng)知識(shí)系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)化學(xué)習(xí) . 另外 , ,0)c o sc o s( c o s 521 ???? aaa ?隱蔽性較強(qiáng) ,需要考生具備一定的觀察能力 . 5. [解析 ] 令 ???7 ,則 ?? nn ?7 ,當(dāng) 1≤n≤14 時(shí) ,畫出角序列 n?終邊如圖 , 其終邊兩兩關(guān)于 x 軸對(duì)稱 ,故有 1221 , SSS ? 均為正數(shù) , 而 01413 ??SS ,由周期性可知 ,當(dāng) 14k13≤n≤14k時(shí) ,Sn0, 而 014114 ??? kk SS ,其中 k=1,2,7,所以在 10021 , SSS ? 中有 14 個(gè)為 0,其余 都是正數(shù) ,即正數(shù)共有 10014=86 個(gè) ,選 C. [解析 ] 對(duì)于 1≤k≤25,ak≥0(唯 a25=0),所以 Sk(1≤k≤25)都為正數(shù) . 當(dāng) 26≤k≤49 時(shí) ,令 ???25 ,則 ?? kk ?25 ,畫出 k?終邊如右 , 其終邊兩兩關(guān)于 x 軸對(duì)稱 ,即有 )50s in(s in ?? kk ??? , 所以 ?sin11?kS + ?2sin21 ++ ?23sin231 + ?24sin241 +0 + ?26sin261 + ?27sin271 + ?kksin1 = ?sin11 + ?2sin21 ++ ?24sin)( 261241 ? + ?23sin)( 271231 ? + + ?)50s in ()( 150 1 kkk ??? ,其中 k=26,27,49,此時(shí) kk ???500 , 所以 01501 ??? kk ,又 ??? ???? 24)50(0 k ,所以 0)50sin( ?? ?k , 從而當(dāng) k=26,27,49 時(shí) ,Sk 都是正數(shù) ,S50=S49+a50=S49+0=S490. 對(duì)于 k 從 51 到 100 的情況同上可知 Sk 都是正數(shù) . 綜上 ,可選 D. x y ? 2? 3? 4? 6? 5? 8? 9? 13? 12? 11? 10? 7? 14? x y ? 2? 12? 13? ? 24? 23? 26? 27? 49? 48? 38? 37? ? ? ? [評(píng)注 ] 本題中數(shù)列難于求和 ,可通過數(shù)列中項(xiàng)的正、負(fù)匹配來分析 Sk 的符號(hào) ,為此 ,需借助分類討論、數(shù)形結(jié)合、先局部再整體等數(shù)學(xué)思想 .而重中之重 ,是看清楚角序列的終邊的對(duì)稱性 ,此為攻題之關(guān)鍵 . 7. 【命題意圖】本題主要考查靈活運(yùn)用數(shù)列知識(shí)求數(shù)列問題能力 ,是難題 . 【解析】【法 1】有題設(shè)知 21aa? =1,① 32aa? =3 ② 43aa? =5 ③ 54aa? =7, 65aa? =9, 76aa? =11, 87aa? =13, 98aa? =15, 10 9aa? =17, 11 10aa? =19, 12 11 21aa??, ∴② ① 得 13aa? =2, ③ + ② 得 42aa? =8, 同理可得57aa? =2, 68aa? =24, 9 11aa? =2, 10 12aa? =40, ∴ 13aa? , 57aa? , 9 11aa? ,是各項(xiàng)均為 2 的常數(shù)列 , 24aa? , 68aa? , 10 12aa? ,是首項(xiàng)為8,公差為 16 的等差數(shù)列 , ∴ { na }的前 60 項(xiàng)和為 11 5 2 1 5 8 1 6 1 5 1 42? ? ? ? ? ? ?=1830. 【法 2】可證明 : 1 4 1 4 2 4 3 4 4 4 3 4 2 4 2 4 1 6 1 6n n n n n n n n n nb a a a a a a a a b? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 2 3 4 1 5 1 5 1 41 0 1 0 1 5 1 6 1 8 3 02b a a a a S ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8. 【答案】 B 【解析】本題主要為數(shù)列的應(yīng)用題 ,觀察可得不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)可以構(gòu)成一個(gè)首先為 4,公差為 4 的等差數(shù)列 ,則所求為第 20 項(xiàng) ,可計(jì)算得結(jié)果 . 9. C 【解析】設(shè)數(shù)列 ??na 的公比為 q .對(duì)于 ① ,2 2112()()nnf a a qf a a????,是常數(shù) ,故 ① 符合條件 。 (Ⅲ )證明 :對(duì)一切正整數(shù) n ,有 121 1 1 32na a a? ? ? ?. 34．（ 2020 大綱理 ） (注意 :在試卷上作答無效 ) 函數(shù) 2( ) 2 3f x x x? ? ?.定義數(shù)列 ??nx 如下 : 112, nxx?? 是過兩點(diǎn) ( 4 , 5 ), ( , ( ))n n nP Q x f x的直線 nPQ 與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) . (1)證明 : 123nnxx?? ? ? 。 (Ⅱ )若 2a , 3a , 1a 成等比數(shù)列 ,求數(shù)列 {| |}na 的前 n 項(xiàng)和 . 23．（ 2020 廣東理 ） 設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ,滿足 112 2 1nnnSa ??? ? ?,n? *N ,且 1a 、2 5a? 、 3a 成等差數(shù)列 . (Ⅰ )求 1a 的值 。 (2)設(shè) nnn abb ??? 21, *Nn? ,且 {}na 是等比數(shù)列 ,求 1a 和 1b 的值 . 31 ．（ 2020 湖南理 ） 已 知 數(shù) 列 {an} 的 各 項(xiàng) 均 為 正 數(shù) , 記A(n)=a1+a2++an,B(n)=a2+a3++an+1,C(n)=a3+a4++an+2,n=1,2。③ 若 ACx np? ,則 ACx np?2 . (1)求 (4)f 。 (2)求數(shù)列 92{}2 nna? 的前 n 項(xiàng)和 Tn. 29．（ 2020 江蘇 ） 設(shè)集合 {1 2 }nPn? ， ， ，… , *Nn? .記 ()fn 為同時(shí)滿足下列條件的集合 A 的個(gè)數(shù) : ① nAP? 。 (2)證明 :對(duì)任意 kN?? , 21,k k kS S S??成等差數(shù)列 . 27．（ 2020 山東理 ） 在等差數(shù)列 ??na 中 , 3 4 5 984 , 73a a a a? ? ? ?. (Ⅰ )求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式 。 (2)設(shè) 32, 8 .nnc n a n n? ? ?求正整數(shù) ,k 使得一切 *,nN? 均有 。 (2)若 X 具有性質(zhì) P,求證 :1?X,且當(dāng) xn1 時(shí) ,x1=1。 (Ⅲ )當(dāng) 01a??時(shí) ,比較 1 1( ) (2 )nk f k f k? ?? 與27 (1) ( )4 (0) (1)f f nff?? 的大小 ,并說明理由 . 23．（ 2020 四川理 ） 已知數(shù)列 {}na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ,且 22nna a S S??對(duì)一切正整數(shù) n都成立 . (Ⅰ )求 1a , 2a 的值 。 (II)若 2 1a?? ,求證 : 1()2nnnS a a??,并給出等號(hào)成立的充要條件 . 22．（ 2020 四川理 ） 已知 a 為正實(shí)數(shù) ,n 為自然數(shù) ,拋物線 2 2nayx?? ?與 x 軸正半軸相交于點(diǎn) A ,設(shè) ()fn為該拋物線在點(diǎn) A 處的切線在 y 軸上的截距 . (Ⅰ )用 a 和 n 表示 ()fn。 (Ⅱ )記 1 1 2 1= + + +n n n nT a b a b a b? , +nN? ,證明 +12 = 2 +10n n nT a b? +()nN? . 20 ．（ 2020 新 課 標(biāo) 理 ） 已知 ,abc分別為 ABC? 三 個(gè) 內(nèi) 角 ,ABC 的對(duì)邊 , c os 3 sin 0a C a C b c? ? ? ? (1)求 A (2)若 2a? , ABC? 的面積為 3 。 (Ⅱ )若 1, 2ac??,求 △ABC 的面積 S. 18．（ 2020 遼寧文 ） 在 ABC? 中 ,角 A、 B、 C 的對(duì)邊分別為 a,b, A,B,C 成等差數(shù)列 . (Ⅰ )求 cosB 的值 。 (Ⅱ )設(shè) {}nx 的前 n 項(xiàng)和為 nS ,求 nSsin . 16．（ 2020 遼寧理 ） 在 ABC? 中 ,角 A、 B、 C 的對(duì)邊分別為 a,b, A,B,C 成等差數(shù)列 . (Ⅰ )求 cosB 的值 。 (Ⅱ )現(xiàn)分別從 ??na 和 ??nb 的前 3 項(xiàng)中各隨機(jī)抽取一項(xiàng) ,寫出相應(yīng)的基本事件 ,并求這兩項(xiàng)的值相等的概率 . 14．（ 2020 大綱文 ） 已知數(shù)列 ??na 中 , 1 1a? ,前 n 項(xiàng)和 23nnnSa?? . (Ⅰ )求 23,aa。 (2)若 2 3 1,a a a 成等比數(shù)列 ,求數(shù)列 ? ?na 的前 n 項(xiàng)和 . 12．（ 2020 廣東文 ） (數(shù)列 )設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ,數(shù)列 ??nS 的前 n 項(xiàng)和為 nT ,滿足 22nnT S n??,n? *N . (Ⅰ )求 1a 的值 。 (2)求數(shù)列 {nan}的前 n 項(xiàng)和 Tn. 10．（ 2020 湖南文 ） 某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn) .該企業(yè)第一年年初有資金 2020 萬元 ,將其投入生產(chǎn) ,到當(dāng)年年底資金增長了 50%.預(yù)計(jì)以后每年資金年增長率與第一年的相同 .公司要求企業(yè)從第一年開始 ,每年年底上繳資金 d 萬元 ,并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn) .設(shè)第 n 年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為 an萬元 . (Ⅰ )用 d 表示 a1,a2,并寫出 1na? 與 an 的關(guān)系式 。 (Ⅱ )證明 :對(duì)任意 kN?? , ka , 2ka? , 1ka? 成等差數(shù)列 . 8．（ 2020 山東文 ） 已知等差數(shù)列 {}na 的前 5 項(xiàng)和為 105,且 20 52aa? . (Ⅰ )求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式 。 (2)設(shè) }{nb 是 }{na 的控制數(shù)列 ,滿足 Cba kmk ?? ?? 1 (C 為常數(shù) ,k=1,2,m). 求證 : kk ab? (k=1,2,m)。 (Ⅲ )當(dāng) 01a??時(shí) ,比較 1 1 1( 1 ) ( 2) ( 2) ( 4) ( ) ( 2 )f f f f f n f n?