【正文】 “ a,b,c 三數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是 b2=ac”；“ a,b,c 三數(shù)成等差數(shù)列的充要條件是2b=a+c”，以上四個(gè)命題中，正確的有（ ） A． 1 個(gè) B． 2 個(gè) C． 3 個(gè) D． 4 個(gè) 解析：四個(gè)命題中只有最后一個(gè)是真命題。 4． 等比數(shù)列 前 n 項(xiàng)和公式 一般地，設(shè)等比數(shù)列 1 2 3, , , , ,na a a a 的前 n 項(xiàng)和是 ?nS 1 2 3 na a a a? ? ? ?，當(dāng) 1?q 時(shí)，qqaSnn ??? 1 )1(1 或 11 nn a a qS q?? ?；當(dāng) q=1 時(shí)， 1naSn ? （錯(cuò)位相減法）。 說明：（ 1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以知道：當(dāng)公比 1d? 時(shí)該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；（ 2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知：若 {}na 為等比數(shù)列，則 mnmna qa ?? 。 三．要點(diǎn)精講 1． 等比數(shù)列定義 一般地，如果一個(gè)數(shù)列從 第二項(xiàng)起 ． ． ． ． ，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè) 常數(shù) ． ． ，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母 q 表示( 0)q? ，即： 1na? ： ( 0)na q q??數(shù)列對(duì)于數(shù)列（ 1）（ 2）（ 3）都是等比數(shù)列，它們 的公比依次是 2， 5，21??？陀^性的試題考察等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)第 13 頁 共 23 頁 用，對(duì)基本的運(yùn)算要求比較高，解答題大多以數(shù)列知識(shí)為工具。體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān) 系。 2． 常用結(jié)論 （ 1）1nk k? ?? 1+2+3+...+n = 2 )1( ?nn （ 2）1(2 1)nk k? ???1+3+5+...+(2n1) = 2n （ 3） 31nk k? ??2333 )1(2121 ?????? ????? nnn? （ 4） 21nk k? ?? )12)(1(61321 2222 ??????? nnnn? （ 5）111)1( 1 ???? nnnn )211(21)2( 1 ???? nnnn （ 6） )()11(11 qpqppqpq ???? 3．?dāng)?shù)學(xué)思想 （ 1）迭加累加（等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法）若 1 ( ), ( 2 )nna a f n n?? ? ?，則??； （ 2）迭乘累乘（等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法）若1 ( )( 2)nna g n na? ??，則??； （ 3）逆序相加（等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法）； （ 4）錯(cuò)位相減（等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法）。 五．思維總結(jié) 1． 數(shù)列求和的常用方法 （ 1）公式法 ： 適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列 ； （ 2） 裂項(xiàng)相消法 ： 適用于???????1nnaac 其中 { na }是各項(xiàng)不為 0 的等差數(shù)列， c 為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等 ； （ 3） 錯(cuò)位相減法 ： 適用于 ? ?nnba 其中 { na }是等差數(shù)列， ??nb 是各項(xiàng)不為 0 的等比數(shù)列。 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知， an=1+5(n1)=5n4. 要證了 ,15 ?? nmmn aaa 只要證 5amn 1+aman+2 nmaa 因?yàn)? amn =5mn 4,aman=(5m4)(5n4)=25mn 20(m+n)+16, 故只要證 5（ 5mn 4） 1+25mn 20(m+n)+16+2 ,nmaa 因?yàn)?)291515(8558552 ??????????? nmnmnmaaaa nmnm =20m+20n37, 所以命題得證。 方法 2. 由已知， S1=a1=1, 又 (5n8)Sn+1(5n+2)Sn=20n8,且 5n8 0? , 所以數(shù)列 }{}{ nn a，s 因而數(shù)列是惟一確定的 是惟一確定的。 解得 A=－ 20， B=－ 8。 解答：（ 1）由已知，得 S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18。 例 14． （ 20xx 江蘇 23） 設(shè)數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn，已知 a1＝ 1， a2＝ 6， a3＝ 11，且 1( 5 8 ) ( 5 2) , 1 , 2 , 3 ,nnn S n S A n B n?? ? ? ? ? ? ? ，其中 A,B 為常數(shù)。 若第一次出現(xiàn)的零項(xiàng)為第 n 項(xiàng)，記 an1=A（ A≠ 0） ，則自第 n 項(xiàng)開始 ，沒三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值 O， A， A，即 331320, 0 , 1 , 2 , 3 ,nknknkaa A kaA??????????????… … 所以絕對(duì) 等差數(shù)列 {an}中有無窮多個(gè)為零的項(xiàng)。 （ Ⅰ ）舉出一個(gè)前五項(xiàng)不為零的 “絕對(duì)差數(shù)列 ”（只要求寫出前十項(xiàng)）； （ Ⅱ ）證明：任何 “絕對(duì)差數(shù)列 ”中總含有無窮多個(gè)為零的項(xiàng) 。 點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法在猜想證明數(shù)列通項(xiàng)和性質(zhì)上有很大的用處，同時(shí)該題又結(jié)合了實(shí)際應(yīng)用題解決問題。 ②假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí)結(jié)論成立，即 xk∈ (0, 2)，則當(dāng) n=k+1 時(shí)， xk+1=xk(2－ xk)0。 而 x1∈ (0, 2)，所以 ]1,0(?b 。 猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng) ab，且cbax ??1時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變。 （Ⅰ）求 xn+1 與 xn 的關(guān)系式； （Ⅱ）猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng) x1， a， b， c 滿足什么條件時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明） （Ⅱ）設(shè) a＝ 2， b＝ 1，為保證對(duì)任意 x1∈（ 0,2），都有 xn＞ 0， n∈ N*，則捕撈強(qiáng)度 b的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論。 點(diǎn)評(píng)：這是一道比較簡(jiǎn)單的數(shù)列應(yīng)用問題，由于本息金與利潤是熟悉的概念，因此只建立通項(xiàng)公式并運(yùn)用所學(xué)過的公式求解。 點(diǎn)評(píng)：數(shù)列與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)結(jié)合在一塊，考察數(shù)列是一種特殊的函數(shù)的性質(zhì)，其中還要用到數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)來解釋問題。 因 為 函數(shù) ()Fx為偶函數(shù)所以 ()Fx在 [－ 1,0]上為減函數(shù) 。 因函數(shù) ()Fx為偶函數(shù)所以 ()Fx在 [1,0]上為減函數(shù) 所以對(duì) 任意的 ? ?12, 1,1xx?? 12( ) ( ) (1 ) ( 0 )F x F x F F? ? ? 0 1 2 1( 1 ) ( 0) ( 1 ) .. . ( 1 ) .. . 2knn n n n nF F C nC n C n k C C ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 又因 1 2 1 1 0( 1 ) ( 0 ) 2 3 .. . .. .knn n n n nF F C C k C n C C??? ? ? ? ? ? ? ? 所以 1 2 1 1 02 [ ( 1 ) ( 0 ) ] ( 2 ) [ .. . .. . ] 2knn n n n nF F n C C C C C??? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 1 012( 1 ) ( 0) [ .. . .. . ]22 ( 2 2) 1 2 ( 2) 12knn n n n nnnnF F C C C C Cn nn????? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? 因此結(jié)論成立 。 因函數(shù) ()Fx為偶函數(shù)所以 ()Fx在 [－ 1,0]上為減函數(shù) ， 所以對(duì) 任意的 ? ?12, 1,1xx?? 12( ) ( ) (1 ) ( 0 )F x F x F F? ? ?， 0 1 2 11 2 1 0( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) . . . ( 1 ) . . . 2( 1 ) . . . ( 1 ) . . . 2 knn n n n nn n n kn n n n nF F C n C n C n k C Cn C n C n k C C C ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 1( 1 ) ( )( 1 , 2 , 3 1 )n k n k n kn n nkknnn k C n k C Cn C C k n? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? 1 2 1 1 2 1 01 1 111( 1 ) ( 0 ) ( . . . ) ( . . . )( 2 1 ) 2 1 2 ( 2 ) 1knn n n n n n nn n nF F n C C C C C C Cn n n??? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 第 7 頁 共 23 頁 因此結(jié)論成立 。 (I) 寫出 (1)kf ； (II) 證明 : 對(duì)任意的 ? ?12, 1,1xx?? , 恒有112( ) ( ) 2 ( 2) 1nF x F x n n?? ? ? ? ?。 例 10． （ 20xx 年遼寧卷） 已知 0( ) ,nf x x? 39。 解析：（ I）因?yàn)?39。 題型 5：數(shù)列綜合問題 例 9． （ 20xx 年 浙江卷） 已知函數(shù) ()fx＝ x3+x2，數(shù)列 | xn | （ xn 0）的第一項(xiàng) x1＝ 1，以后各項(xiàng)按如下方式取定：曲線 y＝ ()fx在 11( ( ))nnx f x??? 處的切線與經(jīng)過（ 0， 0）和（ xn， f（ xn））兩點(diǎn)的直線平行（如圖）。 例 8． 求數(shù)列 1， 3＋ 13， 32＋ 132， …… ， 3n＋ 13n的各項(xiàng)的和 。 解析：本題實(shí)質(zhì)是求一個(gè)奇數(shù)列的和。 第 5 頁 共 23 頁 點(diǎn)評(píng)：此類問題還可變換為探索題形：已知數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和 nS 12)1( ??? nn ，是否存在等差數(shù)列 ??nb 使得 nnnnnn CbCbCba ???? ?2211 對(duì)一切自然數(shù) n 都成立 。 點(diǎn)評(píng)： Sn 表示從第一項(xiàng)依次到第 n 項(xiàng)的和，然后又將 Sn 表示成第 n 項(xiàng)依次反序到第一項(xiàng)的和，將所得兩式相加，由此得到 Sn 的一種求和方法。 ② 所以 S nn n? ?3 2 1178。 ?。 題型 3：倒序相加 例 5． 求 S C C nCn n n nn? ? ? ?3 6 31 2 ?。 例 4． 已知 1,0 ?? aa ，數(shù)列 ??na 是首項(xiàng)為 a，公比也為 a 的等比數(shù)列，令)(lg Nnaab nnn ??? ，求數(shù)列 ??nb 的前 n 項(xiàng)和 nS 。 題型 2：錯(cuò)位相減法 例 3． 設(shè) a 為常數(shù)，求數(shù)列 a， 2a2， 3a3，?， nan，?的前 n 項(xiàng)和 。 例 2． 求 )(,321 14321 1321 121 11 *Nnn ???????????????? ??。 解 析 ：首先考慮 ??? ?ni iiaa1 11 ?? ??ni ii aad1 1 )11(1 ， 則?? ?ni iiaa1 11 = 1111 )11(1 ?? ?? nn aa naad 。最常見的是作成等差數(shù)列或等比數(shù)列來解決問題。包括 代數(shù)代換，對(duì)數(shù)代