【正文】 2AB ， E 為 1AA 重點，則異面直線 BE 與 1CD 所形成角的余弦值為 （ A） 1010 (B) 15 (C) 31010 (D) 35 答案： C 解析：本題考查異面直線夾角求法，方法一：利用平移， CD’∥ BA39。 ,因此求△ EBA39。B= 5 ,故由余弦定理求 cos∠ A39。在 PADRt? 中， PA＝ AD＝ 2AB， ∴∠ PDA＝ 45176。 OC? ＝2 23)2 23(3 22 ??， AC＝ 3 2 ， ∴ BC＝ 3，即 BC＝ OB＝ OC。AC D DB B AC BE??平 面 ， 從 而故 A 正確， 由 11DB ∥ 平面 ABCD，可知//EF ABCD平 面 ， B 也 正確； 連結(jié) BD 交 AC 于 O，則 AO 為 三棱錐 A BEF? 的高，4112121 ?????BEFS，三棱錐 A BEF? 的體積為 242224131 ??? 為定值， C 正確； D錯誤。角的平面截球 O 的表面得到圓 C。 【解析】設(shè) (0, ,0)My由 2 2 21 4 1 ( 3 ) 1yy? ? ? ? ? ? ?可得 1y?? 故 (0, 1,0)M ? 【答案】 (0,1， 0) w. w. . 5. （ 2020 安徽卷 文 ） 對 于四面體 ABCD，下列命題正確的是 _________（寫出所有正確命題的編號）。 【解析】 作 BC 的 中點 N，連接 AN，則 AN⊥ 平面 BCC1B1， 連接B1N，則 B1N 是 AB1在平面 BCC1B1的射影， ∵ B1N⊥ BM， ∴ AB1⊥ 異面直線 1AB BM和 所成的角的大小是90176。則該集合體的俯視圖可以是 解析 解法 1 由題意可知當(dāng)俯視圖是 A 時，即每個視圖是變邊長為 1 的正方形，那么此幾何體是立方體，顯然體積是 1，注意到題目體積是 12 ，知其是立方體的一半，可知選 C. 解法 2 當(dāng)俯視圖是 A 時，正方體的體積是 1；當(dāng)俯視圖是 B 時，該幾何體是圓柱，底面積是 214 2 4S??? ??? ? ?????，高為 1，則體積是 4? ；當(dāng)俯視是 C 時，該幾何是直三棱柱，故體積是 1111122V ? ? ? ? ?，當(dāng)俯視圖是 D 時，該幾何是圓柱切割而成，其體積是21 1144V ??? ? ? ?.故選 C. 10. 11. 三、解答題 1. (2020年廣東卷 文 )（本小題滿分 13 分） 某高速公路收費站入口處的安全標識墩如圖 4 所示 ,墩的上半部分 是正四棱錐 P－ EFGH,下半部分是長方體 ABCD－ 圖 6 分別是該標識墩的正 (主 )視圖和俯視圖 . （ 1）請畫出該安全標識墩的側(cè) (左 )視圖 。 解法一：（Ⅰ）取 BC 中點 F，連接 EF，則 EF 12 1BB，從而 EF DA。由三垂線定理知 CG⊥ BD，故∠ AGC為二面角 ABDC的平面角。 故 AD=AF。 連接 CH，則∠ ECH為 1BC與平面 BCD所成的角。 知， ACAN， =60176。 5. （ 2020 江蘇卷） （本小 題滿分 14 分） 如圖，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， E 、 F 分別是 1AB 、1AC 的中點，點 D 在 11BC 上， 11AD BC? 。 EF=2，求多面 體 ABCDEF的體積。 39。 F39。 中 ,由于 ME39。 2 23 3 2 3ABCS E E? ? ? ? ? ? ? ?多面體 ABCDEF 的體積為 VE— ABCD＋ VE— BCF=22 7. （ 2020 江西卷文） （本 小題滿分 12 分） 如圖，在四棱錐 P ABCD? 中，底面 ABCD 是矩形， PA?平面 ABCD ， 4PA AD??， 2AB? ． 以 BD 的中點 O為球心、 BD 為直徑的球面交 PD 于點 M ． （ 1）求證：平面 ABM ⊥平面 PCD ； （ 2）求直線 PC 與平面 ABM 所成的角； （ 3）求點 O 到平面 ABM 的距離 ． 解： 方法（一）： OAPBCMD（ 1）證：依題設(shè)，Ｍ在以ＢＤ為直徑的球面上，則ＢＭ⊥ＰＤ . 因為ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，則ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ， 所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，則ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ . （２）設(shè)平面ＡＢＭ與ＰＣ交于點Ｎ，因為ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，則Ａ Ｂ∥ＭＮ∥ＣＤ， 由（ 1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，則 MN 是 PN 在平面 ABM上的射影， 所以 PNM? 就是 PC 與平面 ABM 所成的角， 且 PNM PCD? ? ? ta n ta n 2 2PDP N M P C D DC? ? ? ? ? 所求角為 arctan2 2 （ 3）因為 O 是 BD的中點，則 O 點到平面 ABM 的距離等于 D點到平面 ABM 距離的一半，由（ 1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于 M，則 |DM|就是 D 點到平面 ABM 距離 . 因為在 Rt△ PAD 中， 4PA AD??， PD AM? ，所以 M 為 PD 中點， 22DM? ，則O 點到平面 ABM 的距離等于 2 。即 EF⊥ BE. 因為 BC? 平面 ABCD, BE? 平面 BCE, BC∩ BE=B 所以 EF BCE? 平 面 ???????????????? 6分 （ II） 取 BE的中點 N,連結(jié) CN,MN,則 MN 12AB PC ∴ PMNC為平行四邊形 ,所以 PM∥ CN. ∵ CN在平面 BCE內(nèi) ,PM不在平面 BCE內(nèi) , ∴ PM∥平面 BCE. ??????????? ????? 8分 （ III） 由 EA⊥ AB,平面 ABEF⊥平面 ABCD,易知 EA⊥平面 ABCD. 作 FG⊥ AB,交 BA的延長線于 G,則 FG∥ FG⊥平面 ABCD, 作 GH⊥ BD于 H,連結(jié) FH,則由三垂線定理知 BD⊥ FH. ∴ ∠ FHG為二面角 FBDA的平面角 . ∵ FA=FE,∠ AEF=45176。 ,BG=AB+AG=1+12 =32 , 3 2 3 2G H B G s i n G B H 2 2 4? ? ? ? ?, 在 Rt⊿ FGH中 , FG 2tan FHG GH 3??, ∴ 二面角 F BD A??的大小 為 2arctan 3 ???????????????? 12分 解法二 : 因 ABE? 等腰直角三角形， AEAB? ，所以 ABAE? 又因為平面 ABAB C DAB E F ?? 平面 ，所以 AE ⊥平面 ABCD ， 所以 ADAE? 即 AEABAD 、 兩兩垂直；如圖建立空間直角坐標系 , (I) 設(shè) 1?AB ，則 1?AE ， )0,1,1(),1,0,0(),0,0,1(),0,1,0( CEDB ∵ ???? 45, AEFFEFA ，∴ 090＝AFE? ， 從而 ），－（21210F )21,21,0( ???EF ， )0,0,1(),1,1,0( ??? BCBE 于是 021210 ????? BEEF ， 0??BCEF ∴ EF ⊥ BE ,EF ⊥ BC ∵ BE ? 平面 BCE ， BC ? 平面 BCE ， BBEBC ?? ∴ EF BCE? 平 面 （ II） )0,21,1(),21,0,0( PM ，從而 )21,21,1( ???PM 于是 041410)21,21,0()21,21,1( ??????????? EFPM ∴ PM ⊥ EF ，又 EF ⊥平面 BCE ，直線 PM 不在平面 BCE 內(nèi)， 故 PM ∥平面 BCE （ III）設(shè)平面 BDF 的一個法向量為 1n ，并設(shè) 1n ＝（ ), zyx )21,23,0(),0,1,1( ???? BFBD ?????????0011BFnBDn 即??????????021230zyyx 取 1?y ，則 1?x ， 3?z ，從而 1n ＝（ 1， 1， 3） 取平面 ABD D的一個法向量為 )1,0,0(2 ?n 11 1131113c o s 21 2121 ????????nnnnnn 、 故 二面角 F BD A??的大小 為 11113arccos 9.（ 2020 湖北卷文） （本小題滿分 12 分） 如圖，四棱錐 S＝ ABCD的底面是正方形， SD⊥平面 ABCD,SD＝ AD＝ a,點 E是 SD上的點，且 DE＝ ? a(0? ≦ 1). (Ⅰ )求證：對任意的 ? ?（ 0、 1），都有 AC⊥ BE: (Ⅱ )若二面角 CAED的大小為 600C，求 ? 的值。 過點 D 在平面 SAD 內(nèi)做 DF? AE 于 F，連接 CF，則 CF? AE， 故 ? CFD 是二面角 CAED 的平面角，即 ? CFD=60176。 （Ⅱ）求直線 AD 和平面 1ADE 所成角的正弦值。 （ 19）解 （Ⅰ）取 CD的中點 G連結(jié) MG， NG. 因為 ABCD， DCEF為正方形，且邊長為 2， 所以 MG⊥ CD， MG＝ 2， 2NG? . 因為平面 ABCD⊥平面 DCEF， 所以 MG⊥平面 DCEF，可得 MG⊥ NG. 所以 22 6M N M G NG? ? ? ?? 6分 （Ⅱ）假設(shè)直線 ME與 BN 共面， ? ..8分 則 AB? 平面 MBEN，且平面 MBEN與平面 DCEF交于 EN， 由已知，兩正方形不共面，故 AB? 平面 DCEF. 又 AB∥ CD，所以 AB∥平面 EN為平面 MBEN與平面 DCEF的交線， 所以 AB∥ EN. 又 AB∥ CD∥ EF, 所以 EN∥ EF，這與 EN EF=E? 矛盾，故假設(shè)不成立。（同理 18） 【解析】本小題考查空間里的線線關(guān)系、二面角，綜合題。這兩年高考中求二面角也基本上不用三垂線定理的方法求作二面角。 法 2：設(shè) MCSM ?? ，則 )1 2,1 2,2(),1 2,1 2,0( ????? ?????? MBM S A B C D M z x y 又 oABMBAB 60,),0,2,0( ???? 故 oABMBABMB 60c o s|||| ??? ，即 22 )1 2()1 2(21 4 ??? ?????? ，解得 1?? ， 所以 M 是側(cè)棱 SC 的中點。 又因為∠ AEF=45, 所以∠ FEB=90176。 . 設(shè) AB=1,則 AE=1,AF= 22 ,則 1FG AF sin FAG 2? ? ? 在 Rt⊿ BGH中 , ∠ GBH=45176。 （ 18）解： （ Ⅰ）因為 PAB? 是等邊三角形， 90PA C PB C? ? ? ? ?, 所以 Rt PB C Rt PA C? ? ?,可得 AC BC? 。 （ I）證明