【正文】 E 是等腰直角三角形， , , 45A B A E F A F E A E F ?? ? ? ? ONAPBCMDzxy（ I）求證： EF BCE? 平 面 ； （ II）設(shè)線段 CD 、 AE 的中點(diǎn)分別為 P 、 M ，求證： PM ∥ BCE平 面 （ III）求二面角 F BD A??的大小。 又因?yàn)椤?AEF=45, 所以∠ FEB=90176。 , ∠ AEF=90176。 . 設(shè) AB=1,則 AE=1,AF= 22 ,則 1FG AF sin FAG 2? ? ? 在 Rt⊿ BGH中 , ∠ GBH=45176。 本小題主要考察空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系和二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力。 ?SD? 平面ＡＢＣＤ， ?BD 是 BE在平面 ABCD 上的射影， 由三垂線定理得 AC? BE. (II)解法 1： ?SD? 平面 ABCD，ＣＤ ? 平面ＡＢＣＤ， ? SD? CD. 又底面ＡＢＣＤ是正方形， ? Ｃ D? Ａ D，又ＳＤ ? AD=D， ?CD? 平面 SAD。 在 Rt△ ADE中， ?AD=a , DE= a? ， AE=a 12?? 。 =12 ?? ??CDDF 得3312 ????， 即 33 2 ?? =3? (0,1]?? ， 解得 ? = 22 10. （ 2020 湖南卷文） （本小題滿分 12 分） 如圖 3，在正三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， AB=4, 1 7AA? ,點(diǎn) D 是 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) E在 AC上，且 DE? 1A E. （Ⅰ）證明：平面 1ADE ? 平面 11ACCA 。 解 :（Ⅰ）如圖所示，由正三棱柱 1 1 1ABC ABC? 的性質(zhì)知1AA ? 平面 ABC . 又 DE? 平面 ABC，所以 DE 1AA? .而 DE? 1A E，1 1 1AA AE A? , 所以 DE⊥平面 11ACCA .又 DE ? 平面 1ADE ， 故平面 1ADE ⊥平面 11ACCA . （Ⅱ） 解法 1: 過點(diǎn) A 作 AF 垂直 1AE 于點(diǎn) F , 連接 （Ⅰ）知，平面 1ADE ⊥平面 11ACCA ， 所以 AF? 平面 1ADE ,故 ADF? 是直線 AD 和 平面 1ADE 所成的角。 （ I）若 CD＝ 2，平面 ABCD ⊥平面 DCEF，求直線 MN的長； （ II）用反證法證明：直線 ME 與 BN 是兩條異面直線。 所以 ME與 BN不共面，它們是異面直線。 （ I） 證明： M 是側(cè)棱 SC 的中點(diǎn)； ???? 求二面角 S AM B??的大小。 （ I） 解法一：作 MN ∥ SD 交 CD 于 N，作 NE AB? 交 AB 于 E， 連 ME、 NB，則 MN? 面 ABCD ， ME AB? , 2NE AD?? 設(shè) MN x? ，則 NC EB x??, 在 RT MEB? 中， 60MBE? ? ? 3ME x??。在新教材中弱化了三垂線定理。 過 M 作 MJ ∥ CD 交 SD 于 J ,作 SH AJ? 交 AJ 于 H ,作 HK AM? 交 AM 于 K ,則 JM ∥ CD , JM? 面 SAD ,面 SAD ? 面 MBA ,SH? 面 AMB ? SKH? 即為所求二面角的補(bǔ)角 . 法 二 ：利用二面角的定義。 （Ⅰ）設(shè) )0,0)(,0( ?? babaM ，則 )2,0(),2,2(),0,2,0( ??????? baSMbaBMBA ， )2,2,0( ??SC ，由題得 ????? ???SCSMBMBA//21,c o s ，即 ????????????? ??)2(22212)2(2)2(222babaa解之個(gè)方程組得 1,1 ?? ba 即 )1,1,0(M 所以 M 是側(cè)棱 SC 的中點(diǎn)。 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 )1,1,2(),1,1,0( ???MAM ，又 )2,0,2( ??AS ， )0,2,0(?AB ， 設(shè) ),(),( 22221111 zyxnzyxn ?? 分別是平面 SAM 、 MAB 的法向量，則 ?????????0011ASnMAn 且?????????0012ABnMAn ，即???????????0220211111 zx zyx 且 ????? ? ???02 022222y zyx 分別令 221 ?? xx 得 2,0,1,1 2211 ???? zyyz ，即 )2,0,2(),1,1,2( 21 ?? nn ， ∴3662 202,c os 21 ?? ????? nn 二面角 S AM B??的大小 36arccos?? 。 【解析】 解法一： 因?yàn)槠矫?ABEF⊥平面 ABCD， BC? 平面 ABCD， BC⊥ AB，平面 ABEF∩平面 ABCD=AB， 所以 BC⊥平面 ABEF. 所以 BC⊥ EF. 因?yàn)楱S ABE為等腰直角三角形， AB=AE， 所以∠ AEB=45176。即 EF⊥ BE. 因?yàn)?BC? 平面 ABCD, BE? 平面 BCE, BC∩ BE=B 所以 EF BCE? 平 面 ???????????????? 6分 （ II） 取 BE的中點(diǎn) N,連結(jié) CN,MN,則 MN 12ABPC ∴ PMNC為平行四邊形 ,所以 PM∥ CN. ∵ CN在平面 BCE內(nèi) ,PM不在平面 BCE內(nèi) , ∴ PM∥平面 BCE. ??????????????? ? 8分 （ III） 由 EA⊥ AB,平面 ABEF⊥平面 ABCD,易知 EA⊥平面 ABCD. 作 FG⊥ AB,交 BA的延長線于 G,則 FG∥ FG⊥平面 ABCD, 作 GH⊥ BD于 H,連結(jié) FH,則由三垂線定理知 BD⊥ FH. ∴ ∠ FHG為二面角 FBDA的平面角 . ∵ FA=FE,∠ AEF=45176。 , ∠ FAG=45176。 ,BG=AB+AG=1+12 =32 , 3 2 3 2G H B G s i n G B H 2 2 4? ? ? ? ?, 在 Rt⊿ FGH中 , FG 2tan FHG GH 3??, ∴ 二面角 F BD A??的大小 為 2arctan 3 ? 12分 解法二 : 因 ABE? 等腰直角三角形， AEAB? ，所以ABAE? 又因?yàn)槠矫?ABAB C DAB E F ?? 平面 ，所以 AE ⊥平面 ABCD ，所以 ADAE? 即 AEABAD 、 兩兩垂直；如圖建立空間直角坐標(biāo)系 , (I) 設(shè) 1?AB ，則 1?AE ，)0,1,1(),1,0,0(),0,0,1(),0,1,0( CEDB ∵ ???? 45, AEFFEFA ，∴ 090＝AFE? ， 從而 ），－（21210F )21,21,0( ???EF ， )0,0,1(),1,1,0( ??? BCBE 于是 021210 ????? BEEF， 0??BCEF ∴ EF ⊥ BE ,EF ⊥ BC ∵ BE ? 平 面 BCE ， BC ? 平面 BCE ， BBEBC ?? ∴ EF BCE? 平 面 （ II） )0,21,1(),21,0,0( PM ，從而 )21,21,1( ???PM 于是 041410)21,21,0()21,21,1( ??????????? EFPM ∴ PM ⊥ EF ，又 EF ⊥平面 BCE ，直線 PM 不在平面 BCE 內(nèi)， 故 PM ∥平面 BCE （ III）設(shè)平面 BDF 的一個(gè)法向量為 1n ，并設(shè) 1n ＝（ ), zyx )21,23,0(),0,1,1( ???? BFBD ?????????0011BFnBDn 即??????????021230zyyx 取 1?y ，則 1?x ， 3?z ，從而 1n ＝（ 1， 1， 3） 取平面 ABD D的一個(gè)法向量為 )1,0,0(2 ?n 11 1131113c o s 21 2121 ????????nnnnnn 、 故 二面角 F BD A??的大小 為 11113arccos 14. （ 2020 陜西卷文） (本小題滿分 12 分 ) 如圖，直 三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， AB=1， 1 3AC AA??，∠ ABC=600 . (Ⅰ )證明： 1AB AC? ； （Ⅱ）求二面角 A— 1AC — B 的大小。 （ Ⅰ ）證明： AB⊥ PC （ Ⅱ ）若 4PC? ， 且平面 PAC ⊥ 平面 PBC ， 求三棱錐 P ABC? 體積。 如圖，取 AB 中點(diǎn) D ，連結(jié) PD ,CD , 則 PD AB? ,CD AB? , 所以 AB? 平面 PDC , 所以 AB PC? 。 由已知 4PC? ，得 2AE BE??， AEB? 的面積 2S? ． 因?yàn)?PC ? 平面 AEB ， 所以三角錐 P ABC? 的體積 1833V S PC? ? ? ? ． ．．．．．． 12分 16. （ 2020福建卷文） （本小題滿分 12 分） 如圖，平行四邊形 ABCD 中， 60DAB ???， 2, 4AB AD??將 CBD? 沿 BD 折起到 EBD? 的位置，使平面 EDB? 平面 ABD （ I）求證： AB DE? （Ⅱ）求三棱錐 E ABD? 的側(cè)面積。 在 Rt ABC△ 中， 22 9 4 5F D F C CD? ? ? ? ? 由 FA? 平面 ABCD，得 FA? AD ，從而在 Rt△ FAD 中，22 5 4 1F A F D A D? ? ? ? ? ? 2 2 555F A A DAG FD?? ? ?。 （ Ⅱ ）由己知， FA? 平面 ABCD ，得 FA? AD，又由 2BAD ???，知 AD AB? ，故 AD? 平面 ABFE ?DA AE? ，所以， FAE? 為二面角 F AD E??的平面角，記為 ? . 在 Rt AED△ 中 , 22 7 4 3A E E D A D? ? ? ? ?,由 ABCD 得 , FE BA ,從而2AFE ??? 在 Rt AEF△ 中 , 22 3 1 2F E A E A F? ? ? ? ? ,故 tan 2FEFA? ?? 所以二面角 F AD E??的平面角的正切值為 2 . 解法二 : （ Ⅰ ）如圖以 A 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) , ,AB AD AF 的方向?yàn)?xyz 的正方向建立空間直角坐標(biāo)系數(shù) ,則 A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 設(shè) 00(0, 0, ) ( 0)F z z ?可得 0(2, 2, )FC z??,由| | 3FC? .即 2 2 202 2 3z? ? ?,解得 (0,0,1)F AB ∥ DC ， DC? 面 EFCD ,所以直線 AB 到面 EFCD 的距離等于點(diǎn) A 到面 EFCD 的距