全國各地高考數(shù)學(xué)試題精析(圓錐曲線部分)整理(編輯修改稿)
2025-02-10 01:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 軸長為3,、軸分別只有一個(gè)交點(diǎn),即長軸的左項(xiàng)點(diǎn)在y軸上,下頂點(diǎn)在x軸上,又橢圓中心在第一象限,故中心坐標(biāo)為(3,2),此時(shí)橢圓方程為.三、解答題32.(2004全國I,理21文22)設(shè)雙曲線C：(a0)與直線l:x+y=1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B.(I)求雙曲線C的離心率e的取值范圍。(II)設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P,且求a的值.【解析】本題主要考查直線和雙曲線的概念和性質(zhì),平面向量的運(yùn)算等解析幾何的基本思想和綜合解題能力.解：(I)由C與l相交于兩個(gè)不同的點(diǎn),故知方程組 (1a2)x2+2a2x2a2=0. ①雙曲線的離心率（II）設(shè)由于x1+x2都是方程①的根，且1a2≠0,33.(2004全國II,理21文22)給定拋物線C：y2=4x,F是C的焦點(diǎn),過點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn).(I)設(shè)l的斜率為1,求與的夾角的大??；(II)設(shè),若l206。[4,9],求l在y軸上截距的變化范圍.【解析】本題主要考查拋物線的性質(zhì),直線與拋物線的關(guān)系以及解析幾何的基本方法、思想和綜合解題能力,解：(I)C的焦點(diǎn)為F(1,0),直線l的斜率為1,所以l的方程為y=x1.將y=x1代入方程y2=4x,并整理得x26x+1=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1+x2=6,x1x2=1.∴∴故與夾角的大小為parccos.(II)由題設(shè) 得(x21,y2)=l(1x1,y1),即由②得y22=l2y12,∵y12=4x1, y22=4x2,∴x2=l2x1, ③聯(lián)立①、③解得x2=l,依題意有l(wèi)0,∴B(l,2),或(l,2).故直線l的方程為(l1)y=2(x 1)或(l1)=2(x 1).當(dāng)l206。[4,9]時(shí),直線l在y軸上的截距為或.由 =,可知在[4,9]上是遞減的,∴直線l在y軸上截距的變化范圍為34.(2004全國III、廣西,理21文22)設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1(c,0)與F2(c,0)(c0),且橢圓上存在點(diǎn)P,使得直線PF2與直線PF2垂直.(I)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(II)設(shè)L是相應(yīng)于焦點(diǎn)F2的準(zhǔn)線,求直線PF2的方程.【解析】本題主要考查直線和橢圓的基本知識(shí),以及綜合分析和解題能力.解:(I)由題設(shè)有m0,c=.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),由PF1⊥PF2,得 化簡得 x02+y02=m. ①將①與聯(lián)立,解得 由 所以m的取值范圍是m≥1.(II)準(zhǔn)線L的方程為設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x1,y1),則 ∴ ②將 代入②,化簡得 由題設(shè),得 , 無解.將 代入②，化簡得 由題設(shè),得 .解得m=2. 從而,得到PF2的方程35.(2004全國IV,理21文22)雙曲線的焦點(diǎn)距為2c,直線l過點(diǎn)(a,0)和(0,b),且點(diǎn)(1,0)到直線l的距離與點(diǎn)(1,0)到直線l的距離之和s≥c,求雙曲線的離心率e的取值范圍【解析】本題主要考查點(diǎn)到直線距離公式,雙曲線的基本性質(zhì)以及綜合運(yùn)算能力.解：直線l的方程為,即 bx+ayab=0.由點(diǎn)到直線的距離公式,且a1,得到點(diǎn)(1,0)到直線l的距離,同理得到點(diǎn)(1,0)到直線l的距離∴由 即 于是得 解不等式,得 由于e1所以e的取值范圍是36.(2004江蘇,21)已知橢圓的中心在原點(diǎn),離心率為,一個(gè)焦點(diǎn)是F(m,0)(m是大于0的常數(shù)).(I)求橢圓的方程；(II)設(shè)Q是橢圓上的一點(diǎn),且過點(diǎn)F、,求直線的斜率.【解析】本題主要考查橢圓的概念、方程與性質(zhì),以及向量、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用,要充分利用條件“”實(shí)施幾何特征向數(shù)量 關(guān)系的轉(zhuǎn)化：首先向量特征可轉(zhuǎn)化為定比分點(diǎn)坐標(biāo)問題,但要注意內(nèi)、外分點(diǎn)兩種情形的討論；其次設(shè)直線斜率為k,用k、m表示出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；最后由Q點(diǎn)在橢圓上,列方程即可求解.解：(I)設(shè)所求橢圓方程為(ab0).由已知中,得c=m, ,所以a=2m, b=m,故所求橢圓方程是.(II)設(shè)Q(x0,y0),直線l:y=k(x+m),則點(diǎn)M(0,km).當(dāng)時(shí),由于F(m,0),M(0,km),由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式,得x0=, y0=.又點(diǎn)Q在橢圓上,∴,解得 k=177。2.當(dāng)時(shí),x0=, y0=.于是 ,解得 k=0.故直線l的斜率是0或177。2.37.(2004北京,理17)如圖,過拋物線y2=2px(p0)上一定點(diǎn)P(x0,y0)(y00),作兩條直線分別交拋物線于A(),B(x2,y2).(I)求該拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離。(II)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí),求的值,并證明直線AB的斜率是非零常數(shù).【解析】本題主要考查直線、拋物線等基本知識(shí),考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力.解:(I)當(dāng)y=時(shí),x=.又拋物線y2=2px的準(zhǔn)線方程為x=,由拋物線定義得,所求距離為.(II)設(shè)直線PA的斜率為kPA,直線PB的斜率為kPB.由y12=2px1,y02=2px0,相減得:,故.同理可得,由PA、PB傾斜角互補(bǔ)知即,所以,故.設(shè)直線AB的斜率為kAB,由,相減得,所以.將代入得,所以kAB是非零常數(shù).38.(2004北京,文17)如圖,拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱,它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在拋物線上. （I）寫出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程。 （II）當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí),求y1+y2的值及直線AB的斜率.【解析】本題主要考查直線、拋物線等基本知識(shí),考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力. 解:(I)由已知條件,可設(shè)拋物線的方程為y2=2px.∵點(diǎn)P(1,2)在拋物線上,∴22=2p1,得p=2.故所求拋物線的方程是y2=4x,準(zhǔn)線方程是x=－1.(II)設(shè)直線PA的斜率為kPA,直線PB的斜率為kPB,則,∵PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ),∴kPA=－kPB.由A(x1,y1),B(x2,y2)均在拋物線上,得 （1）， （2） 由(1)－(2)得直線AB的斜率: .39.(2004天津,理22文22)橢圓的中心是原點(diǎn)O,它的短軸長為,相應(yīng)于焦點(diǎn)F(c,0)(c0)的準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)A,|OF|=2|FA|,過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程及離心率；(2)若,求直線PQ的方程；(3)(理科做,文科不做)設(shè) (),過點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明.【解析】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程
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