全國各地高考數(shù)學(xué)試題精析(圓錐曲線部分)整理(參考版)
2025-01-17 01:07本頁面
【正文】 [], 求實數(shù)m的取值范圍；⑵當(dāng)m=+1時,△APQ的內(nèi)心恰好是點M,求此雙曲線的方程.【解析】解: (Ⅰ)由條件得直線AP的方程即因為點M到直線AP的距離為1, ∴即.∵∴解得+1≤m≤3或1≤m≤1.∴m的取值范圍是(Ⅱ),M到AP的距離為1,所以∠MAP=45186。.又由方程③有兩個相異實根，得△=4(k2+b)24b2=4k2(k2+2b)0,于是k2+2b0，即k22b,所以＞=2.∵當(dāng)b0時,可取一切正數(shù)，∴的取值范圍是(2,+∞).方法3：由P、Q、T三點共線得kTQ=kTP,即 ,則 x1y2bx1=x2y1bx2,即 b(x2x1)=(x2y1x1y2).于是 b=,∴==≥2.∵可取一切不等于1的正數(shù)，∴的取值范圍是(2,+∞).43.(2004福建,文21)如圖，P是拋物線C：y=x2上一點,直線l過點P并與拋物線C在點P的切線垂直,l與拋物線C相交于另一點Q．(I)當(dāng)點P的橫坐標為2時，求直線l的方程；xyOPlMQ(II)當(dāng)點P在拋物線C上移動時,求線段PQ中點M的軌跡方程,并求點M到x軸的最短距離．【解析】本題主要考查直線、拋物線、不等式等基礎(chǔ)知識，求軌跡方程的方法，解析幾何的基本思想和綜合解題能力.解：(I)把x=2代入y=x2,得y=2,∴點P坐標為(2,2).由y=x2, ①得y180。.則.由消去x,得y22(k2+b)y+b2=0 ?、蹌t,方法1:∴=|b|()≥2|b| =2|b|=2.∵y1,y2可取一切不相等的正數(shù)，∴的取值范圍是(2,+∞).方法2:∴=|b|.當(dāng)b0時,=b⊥y軸，垂足分別為P180?！郟Q中點M的軌跡方程為y=x2++1(x≠0).(II)設(shè)直線l:y=kx+b,依題意k≠0,b≠0,則T(0,b).分別過P、Q作PP180。=x.∴過點P的切線的斜率k切=x1,∴直線l的斜率kl=,直線l的方程為yx12=(xx1). ②方法1：聯(lián)立①②消去y,得 x2+xx122=0.∵M為PQ的中點，∴,消去x1,得y0=x02++1(x0≠0),∴PQ中點M的軌跡方程為y=x2++1(x≠0).方法2：由y1=x12, y2=x22,x0=,得y1y2=x12x22=(x1+x2)(x1x2)=x0(x1x2),則x0==kl=,∴x1=,將上式代入②并整理,得y0=x02++1(x0≠0),xyOPlSTMQP180。x和x=177。.綜上所述,故l的方程為y=177。c=177。,由||=3||222。x.再討論l與x軸垂直的情況.設(shè)直線l的方程為x=c,分別代入橢圓和雙曲線方程可解得，y1,2=177。k=177。,由222。.(ii)當(dāng)b=0時,由①得x1,2=177。b=177。,由222。k=0或b=0.(i)當(dāng)k=0時,由①得x1,2=177。=222。x3x1=x2x4222。1,則與雙曲線最多只有一個交點,不合題意,故k≠177。 （II）當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時,求y1+y2的值及直線AB的斜率.【解析】本題主要考查直線、拋物線等基本知識,考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力. 解:(I)由已知條件,可設(shè)拋物線的方程為y2=2px.∵點P(1,2)在拋物線上,∴22=2p1,得p=2.故所求拋物線的方程是y2=4x,準線方程是x=－1.(II)設(shè)直線PA的斜率為kPA,直線PB的斜率為kPB,則,∵PA與PB的斜率存在且傾斜角互補,∴kPA=－kPB.由A(x1,y1),B(x2,y2)均在拋物線上,得 （1）， （2） 由(1)－(2)得直線AB的斜率: .39.(2004天津,理22文22)橢圓的中心是原點O,它的短軸長為,相應(yīng)于焦點F(c,0)(c0)的準線與x軸相交于點A,|OF|=2|FA|,過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點.(1)求橢圓的方程及離心率；(2)若,求直線PQ的方程；(3)(理科做,文科不做)設(shè) (),過點P且平行于準線的直線與橢圓相交于另一點M，證明.【解析】本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)，直線方程，平面向量的計算，曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.(1)解:由題意,可設(shè)橢圓的方程為.由已知得,解得.所以橢圓的方程為,離心率.(2)解:由(1)可得A(3,0).設(shè)直線PQ的方程為y=k(x3).由方程組得,依題意,得.設(shè),則 ① ②由直線PQ的方程得,于是. ③∵,∴. ④由①②③④得5k2=1,從而.所以直線PQ的方程為或.(3)(理科)證明:.由已知得方程組注意l1,解得.因,故.而,所以.xyOCPAABN40.(2004廣東,20)某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響,試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當(dāng)時聲音傳播的速度為340m/s,相關(guān)各點均在同一平面上)【解析】本題主要考查雙曲線的概念與方程，考查考生分析問題和解決實際問題的能力.解：如圖,以接報中心為原點O,正東、正北方向為x軸、y軸正向,、B、C分別是西、東、北觀測點,則A(－1020,0),B(1020,0),C(0,1020).設(shè)P(x,y)為巨響發(fā)生點,由A、C同時聽到巨響聲,得|PA|=|PB|,故P在AC的垂直平分線PO上,PO的方程為y=－x,因B點比A點晚4s聽到爆炸聲,故|PB|－|PA|=3404=1360.由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線上,依題意得a=680,c=1020,∴b2=c2a2=102026802=53402,故雙曲線方程為.用y=－x代入上式,得x=177。2.37.(2004北京,理17)如圖,過拋物線y2=2px(p0)上一定點P(x0,y0)(y00),作兩條直線分別交拋物線于A(),B(x2,y2).(I)求該拋物線上縱坐標為的點到其焦點F的距離。[4,9]時,直線l在y軸上的截距為或.由 =,可知在[4,9]上是遞減的,∴直線l在y軸上截距的變化范圍為34.(2004全國III、廣西,理21文22)設(shè)橢圓的兩個焦點是F1(c,0)與F2(c,0)(c0),且橢圓上存在點P,使得直線PF2與直線PF2垂直.(I)求實數(shù)m的取值范圍；(II)設(shè)L是相應(yīng)于焦點F2的準線,求直線PF2的
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