全國各地高考數(shù)學(xué)試題精析(圓錐曲線部分)整理-資料下載頁
2025-01-14 01:07本頁面
【正文】 .(II)設(shè)P(x0,y0),則y0=x02.∵過點(diǎn)P的切線斜率k切=x0,當(dāng)x0時不合意，∴x0≠0,∴直線l的斜率kl=,直線l的方程為yx02=(xx0). ②方法1：聯(lián)立①②消去y,得 x2+xx022=0.設(shè)Q(x1,y1),M(x,y),∵M(jìn)為PQ的中點(diǎn)，∴,消去x0,得y=x2++1(x≠0),就是所求軌跡方程.由x≠0知x20,∴y=x2++1≥2+1≥+1.上式等號僅當(dāng)x2=,即x=時成立，所以點(diǎn)M到x軸的最短距離是+1.方法2：設(shè)Q(x1,y1),M(x,y),則y0=x02, y1=x12,x=,得y0y1=x02x12=(x0+x1)(x0x1)=x(x0x1),∴x==kl=,∴x0=,將上式代入②并整理,得y=x2++1(x≠0),就是所求軌跡方程.由x≠0知x20,∴y=x2++1≥2+1≥+1.上式等號僅當(dāng)x2=,即x=時成立，所以點(diǎn)M到x軸的最短距離是+1.44.(2004湖北,理20文20)直線l:y=kx+1與雙曲線C:2x2y2=1的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B.（I）求實數(shù)k的取值范圍；（II）是否存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.【解析】本題主要考查直線、雙曲線的方程和性質(zhì),曲線與方程的關(guān)系,及其綜合應(yīng)用能力.解：（Ⅰ）將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x2y2=1后，整理得： ……①依題意,直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn),故（Ⅱ）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1), (x2,y2),則由①式得……②假設(shè)存在實數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F(c,0).則由FA⊥FB得：整理得③把②式及c=代入③式化簡得解得可知使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn).45.(2004浙江,文22理21)已知雙曲線的中心在原點(diǎn),右頂點(diǎn)為A(1,0),點(diǎn)P、Q在雙曲線的右支上,點(diǎn)M(m,0)到直線AP的距離為1,⑴若直線AP的斜率為k,且|k|206。[], 求實數(shù)m的取值范圍；⑵當(dāng)m=+1時,△APQ的內(nèi)心恰好是點(diǎn)M,求此雙曲線的方程.【解析】解: (Ⅰ)由條件得直線AP的方程即因為點(diǎn)M到直線AP的距離為1, ∴即.∵∴解得+1≤m≤3或1≤m≤1.∴m的取值范圍是(Ⅱ),M到AP的距離為1,所以∠MAP=45186。,直線AM是∠PAQ的角平分線,且M到AQ、,(不妨設(shè)P在第一象限)=x1,∴解得P的坐標(biāo)是(2+,1+),將P點(diǎn)坐標(biāo)代入得,所以所求雙曲線方程為即46.(2004上海,文20) 如圖, 直線y=x與拋物線y=x24交于A、B兩點(diǎn), 線段AB的垂直平分線與直線y=5交于Q點(diǎn). (1) 求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(2) 當(dāng)P為拋物線上位于線段AB下方(含A、B) 的動點(diǎn)時, 求ΔOPQ面積的最大值.【解析】解:⑴解方程組,得或,即A(－4,－2),B(8,4), 從而AB的中點(diǎn)為M(2,1).由kAB==,直線AB的垂直平分線方程y－1=(x－2).令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5) (2) 直線OQ的方程為x+y=0, 設(shè)P(x, x2－4).∵點(diǎn)P到直線OQ的距離d==, ,∴SΔOPQ＝＝.∵P為拋物線上位于線段AB下方的點(diǎn), 且P不在直線OQ上, ∴－4≤x4－4或4－4x≤8. ∵函數(shù)y=x2+8x－32在區(qū)間[－4,8] 上單調(diào)遞增, ∴當(dāng)x=8時, ΔOPQ的面積取到最大值30.47.(2004湖南文22,理21) 如圖,過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點(diǎn)P(0,m)(m0)作直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn). (I)設(shè)點(diǎn)P分有向線段所成的比為,證明:；(II)設(shè)直線AB的方程是x2y+12=0,過A、B兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線,求圓C的方程．【解析】解：(Ⅰ)依題意,可設(shè)直線AB的方程為 代入拋物線方程得 ①設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 、x2是方程①的兩根.所以 由點(diǎn)P(0,m)分有向線段所成的比為,得又點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn),故點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(0,－m),從而.= 所以 (Ⅱ)由 得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(6,9)、(－4,4).由 得 所以拋物線 在點(diǎn)A處切線的斜率為 設(shè)圓C的方程是則解之得 ,所以圓C的方程是即48.(2004重慶,文理21) 設(shè)是一常數(shù),過點(diǎn)的直線與拋物線交于相異兩點(diǎn)A、B,以線段AB為直經(jīng)作圓H(H為圓心).試證拋物線頂點(diǎn)在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時直線AB的方程.【解析】解法一：由題意,直線AB不能是水平線,故可設(shè)直線方程為：.又設(shè),則其坐標(biāo)滿足 消去x得 ,由此得,因此.即OA⊥OB．()是AB的中點(diǎn),故,由前已證,OH應(yīng)是圓H的半徑,且.從而當(dāng)k=0時,圓H的半徑最小,亦使圓H的面積最小.此時,直線AB的方程為：x=2p.解法二：由題意,直線AB不能是水平線,故可設(shè)直線方程為：ky=x－2p,則其坐標(biāo)滿足,分別消去x,y得故得A、B所在圓的方程明顯地,O(0,0)滿足上面方程所表示的圓上,又知A、B中點(diǎn)H的坐標(biāo)為故 ,而前面圓的方程可表示為＝,故|OH|為上面圓的半徑R,從而以AB為直徑的圓必過點(diǎn)O(0,0).又,故當(dāng)k=0時,R2最小,從而圓的面積最小,此時直線AB的方程為：x=2p.解法三：同解法一得O必在圓H的圓周上,又直徑|AB|=＝＝上式當(dāng)時,等號成立,直徑|AB|最小,=2p.49.(2004遼寧,19) 設(shè)橢圓方程為,過點(diǎn)M(0,1)的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B,O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P滿足,點(diǎn)N的坐標(biāo)為,當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時,求： (1)動點(diǎn)P的軌跡方程； (2)的最小值與最大值.【解析】考查平面向量的概念、直線方程的求法、橢圓的方程和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,以及軌跡的求法與應(yīng)用、曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力．(1)解法一：直線l過點(diǎn)M(0,1)設(shè)其斜率為k,則l的方程為記、由題設(shè)可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)、是方程組 的解. 將①代入②并化簡得,所以于是＝＝．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為則消去參數(shù)k得 ③當(dāng)k不存在時,A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0),也滿足方程③,所以點(diǎn)P的軌跡方程為解法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,因、在橢圓上,所以 ④ ⑤④—⑤得,所以當(dāng)時,有 ⑥,并且 ⑦ 將⑦代入⑥并整理得 ⑧當(dāng)時,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為(0,2)、(0,－2),這時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0)也滿足⑧,所以點(diǎn)P的軌跡方程為 (2)解：由點(diǎn)P的軌跡方程知所以＝＝＝,故當(dāng),取得最小值,最小值為時,取得最大值,最大值為29
試題試卷相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1