高考圓錐曲線典型例題必考(編輯修改稿)
2025-05-14 12:54 本頁面
【文章內容簡介】 考湖北理 14】如圖，雙曲線2 ,0)xyab???的兩頂點為 1A， 2，虛軸兩端點為 1B， 2，兩焦點為 1F， 2. 若以 12A為直徑的圓內切于菱形 12FB，切點分別為 ,BCD. 則（Ⅰ）雙曲線的離心率 e? ；（Ⅱ）菱形 的面積 1S與矩形 的面積 2S的比值 12? 8.【答案】 。215??e25S【例 3】由題意知|x 1|＞ ，A 1(－ ，0)，A 2( ，0) ，則有直線 A1P 的方程為 y＝ (x＋ )，①直線 A2Q 的方程為 y＝ (x－ ).②方法2 2 2y1x1＋ 2 2 － y1x1－ 2 2一：聯(lián)立①②解得交點坐標為 x＝ ，y＝ ，即 x1＝ ，y 1＝ ，③則 x≠0， |x|＜ .2x1 2y1x1 2x 2yx 2而點 P(x1，y 1)在雙曲線 －y 2＝1 上，所以 －y ＝1.x22 x212 21將③代入上式，整理得所求軌跡 E 的方程為 ＋y 2＝1，x≠0 且 x≠177。 .x22 2方法二：設點 M(x，y)是 A1P 與 A2Q 的交點，①②得 y2＝ (x2－2).③－ y21x21－ 2又點 P(x1，y 1)在雙曲線上，因此 －y ＝1，即 y ＝ －1.x212 21 21 x212代入③式整理得 ＋ y2＝1.x22因為點 P，Q 是雙曲線上的不同兩點，所以它們與點 A1，A 2 A1 和 A2 均不在軌跡 E (0,1)及 A2( ，0)的直線 l 的方程為2x＋ y－ ＝ 2解方程組 ???????12,0yx得 x＝ ，y＝ l 與雙曲線只有唯一交點 故軌跡 E 不過點(0,1). 同理軌跡 E 也不過點(0，－1).綜上分析，軌跡 E 的方程為 ＋y 2＝1，x≠0 且 x≠177。 .x22 2(2)設過點 H(0，h)的直線為 y＝kx＋h(h＞1)，聯(lián)立 ＋y 2＝1 得(1 ＋2k 2)x2＋4khx ＋2h 2－2＝0.x22令 Δ＝16k 2h2－4(1＋ 2k2)(2h2－2)＝0，得 h2－1－2k 2＝0，解得 k1＝ ，k 2＝－ .由于 l1⊥l 2，則 k1k2＝－ ＝－1，故 h＝ .h2－ 12 h2－ 12 h2－ 12 3過點 A1，A 2 分別引直線 l1，l 2 通過 y 軸上的點 H(0，h)，且使 l1⊥l 2，因此 A1H⊥A 2H，由 (－ )＝－1，得 h＝ .h2 h2 2此時，l 1，l 2 的方程分別為 y＝x ＋ 與 y＝－x ＋ ，2 2它們與軌跡 E 分別僅有一個交點(－ ， )與( ， ).23 223 23 223所以，符合條件的 h 的值為 或 .3 2【變式訓練 3】據(jù)題意設|AF 1|＝x，則| AB|＝x ，| BF1|＝ 由雙曲線定義有|AF 1|－|AF 2|＝2a，|BF 1|－|BF 2|＝2a?(| AF1|＋ |BF1|)－(|AF 2|＋|BF 2|)＝( ＋1) x－x＝4a，即 x＝2 a＝| AF1|.2 29故在 Rt△AF1F2 中可求得|AF 2|＝ ＝ .|F1F2|2－ |AF1|2 4c2－ 8a2又由定義可得|AF 2|＝|AF 1|－2a＝2 a－2a，即 ＝2 －2a，兩邊平方整理得 c2＝a 2(5－2 )? ＝e 2＝5－2 ，.2 4c2－ 8a2 2 2c2a2 2 拋物線典例精析題型一 拋物線定義的運用【例 1】根據(jù)下列條件，求拋物線的標準方程.(1)拋物線過點 P(2，－4)；(2)拋物線焦點 F 在 x 軸上，直線 y＝－3 與拋物線交于點 A，| AF|＝5.【解析】(1)y 2＝8x 或 x2＝－y.(2) 方程為 y2＝177。2x 或 y2＝177。18 x.【變式訓練 1】已知 P 是拋物線 y2＝2x 上的一點，另一點 A(a,0) (a＞0) 滿足| PA|＝d，試求 d 的最小值.【解析】d min＝ .2a－ 1題型二 直線與拋物線位置討論 【例 2】(2022 湖北)已知一條曲線 C 在 y 軸右側，C 上每一點到點 F(1,0)的距離減去它到 y 軸距離的差都是 1.(1)求曲線 C 的方程；(2)是否存在正數(shù) m，對 于過點 M(m,0)且與曲線 C 有兩個交點 A，B 的任一直線，都有 FBA?＜0？若存在，求出 m 的取值范圍；若不存在，請說明理由 .【解析】(1)y 2＝4x( x＞0).(2)3－2 ＜m＜ 3＋2 .2 2由此可知，存在正數(shù) m，對于過點 M(m,0)且與曲線 C 有兩個交點 A，B 的任一直線，都有 FA B＜ 0，且 m 的取值范圍是(3 －2 ，3＋2 ).2 2【變式訓練 2】已知拋物線 y2＝4x 的一條弦 AB，A( x1，y 1)，B( x2，y 2)，AB 所在直線與 y 軸的交點坐標為(0,2)，則 ＋ ＝ .【解析】 . 1y1 1y2 12題型三 有關拋物線的綜合問題【例 3】已知拋物線 C：y ＝2x 2，直線 y＝kx＋2 交 C 于 A，B 兩點，M 是線段AB 的中點，過 M 作 x 軸的垂線交 C 于點 N.(1)求證：拋物線 C 在點 N 處的切線與 AB 平行； 10(2)是否存在實數(shù) k 使 NA B＝0？若存在，求 k 的值；若不存在，說明理由.【解析】【點撥】直線與拋 物線的位置關系，一般要用到根與系數(shù)的關系；有關拋物線的弦長問題，要注意弦是否過焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p，若不過焦點，則必須使用弦長公式.【變式訓練 3】已知 P 是拋物線 y2＝2x 上的一個動點，過點 P 作圓( x－3) 2＋y 2＝1 的切線，切點分別為 M、 N，則|MN |的最小值是 .【解析】 .455總結提高，焦點 F 不在準線 l 上，這是一個重要的隱含條件，若 F 在 l 上，則拋物線退化為一條直線.：(1)頂點、焦點在對稱軸上； (2)準線垂直于對稱軸；(3)焦點到準線的距離為 p；(4) 過焦點垂直于對稱軸的弦( 通徑)長為 2p
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