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正文內(nèi)容

高考圓錐曲線壓軸題型總結(jié)(編輯修改稿)

2025-06-26 22:41 本頁(yè)面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 即a2a10,解得a或a(舍去),即a,綜合(i)(ii),a的取值范圍為(,+).解法二:(Ⅰ)同解法一,(Ⅱ)解:(i)當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),x=1代入=1.因?yàn)楹阌衸OA|2+|OB|2|AB|2,2(1+yA2)4 yA2, yA21,即1,解得a或a(舍去),即a.(ii)當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí),設(shè)A(x1,y1), B(x2,y2).設(shè)直線AB的方程為y=k(x1)代入得(b2+a2k2)x22a2k2x+ a2 k2 a2 b2=0,故x1+x2=因?yàn)楹阌衸OA|2+|OB|2|AB|2,所以x21+y21+ x22+ y22( x2x1)2+(y2y1)2,得x1x2+ y1y20恒成立.x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x11) (x21)=(1+k2) x1x2k2(x1+x2)+ k2=(1+k2).由題意得(a2 a2 b2+b2)k2 a2 b20對(duì)kR恒成立.①當(dāng)a2 a2 b2+b20時(shí),不合題意;②當(dāng)a2 a2 b2+b2=0時(shí),a=。③當(dāng)a2 a2 b2+b20時(shí),a2 a2(a21)+ (a21)0,a4 3a2 +10,解得a2或a2(舍去),a,因此a.綜合(i)(ii),a的取值范圍為(,+)解法1中的轉(zhuǎn)化才是亮點(diǎn)。4. 2010浙江理數(shù))(21) (本題滿分15分)已知m>1,直線,橢圓,分別為橢圓的左、右焦點(diǎn). (Ⅰ)當(dāng)直線過(guò)右焦點(diǎn)時(shí),求直線的方程;(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn),,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解析:本題主要考察橢圓的幾何性質(zhì),直線與橢圓,點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。 (Ⅰ)解:因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò),所以,得,又因?yàn)?,所以,故直線的方程為。(Ⅱ)解:設(shè)。 由,消去得 則由,知,且有。由于,故為的中點(diǎn),由,可知設(shè)是的中點(diǎn),則,由題意可知即即而所以即又因?yàn)榍宜?。所以的取值范圍是。原點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi),也可以像第3題一樣處理,利用且不反向。5. (2010浙江文數(shù))(22)、(本題滿分15分)已知m是非零實(shí)數(shù),拋物線(p0)的焦點(diǎn)F在直線上。(I)若m=2,求拋物線C的方程(II)設(shè)直線與拋物線C交于A、B,△A,△的重心分別為G,H求證:對(duì)任意非零實(shí)數(shù)m,拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的焦點(diǎn)在以線段GH為直徑的圓外。也可以用第3題的思路6.(2009全國(guó)卷Ⅰ)(本小題滿分12分)(注意:在試題卷上作答無(wú)效) 如圖,已知拋物線與圓相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)。(Ⅰ)求r的取值范圍(Ⅱ)當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時(shí),求對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)P的坐標(biāo)。解:(Ⅰ)將拋物線代入圓的方程,消去,整理得.............(1)拋物線與圓相交于、四個(gè)點(diǎn)的充要條件是:方程(1)有兩個(gè)不相等的正根∴即。解這個(gè)方程組得.(II) 設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、。則由(I)根據(jù)韋達(dá)定理有,則 令,則 下面求的最大值。方法1:由三次均值有: 當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取最大值。經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)滿足題意。法2:設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、則直線AC、BD的方程分別為解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為。設(shè),由及(Ⅰ)得 由于四邊形ABCD為等腰梯形,因而其面積則將,代入上式,并令,等,∴,令得,或(舍去)當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí),故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),有最大值,即四邊形ABCD的面積最大,故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為7. (2009湖北卷理)(本小題滿分14分)(注意:在試題卷上作答無(wú)效)過(guò)拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)的直線與拋物線相交于M、N兩點(diǎn),自M、N向直線作垂線,垂足分別為、。 (Ⅰ)當(dāng)時(shí),求證:⊥;(Ⅱ)記、 、的面積分別為、是否存在,使得對(duì)任意的,都有成立。若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由。解:依題意,可設(shè)直線MN的方程為,則有21世紀(jì)教育網(wǎng) 由消去x可得 從而有 ①于是 ②又由,可得 ③(Ⅰ)如圖1,當(dāng)時(shí),點(diǎn)即為拋物線的焦點(diǎn),為其準(zhǔn)線此時(shí) ①可得證法1: 21世紀(jì)教育網(wǎng) 證法2: (Ⅱ)存在,使得對(duì)任意的,都有成立,證明如下:證法1:記直線與x軸的交點(diǎn)為,則。于是有 將①、②、③代入上式化簡(jiǎn)可得上式恒成立,即對(duì)任意成立 證法2:如圖2,連接,則由可得,所以直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,同理可證直線也經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O又設(shè)則8. (2010全國(guó)卷1理數(shù))(21)(本小題滿分12分) 已知拋物線的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為D.(Ⅰ)證明:點(diǎn)F在直線BD上;(Ⅱ)設(shè),求的內(nèi)切圓M的方程 .9. (2010全國(guó)卷2理數(shù))(21)(本小題滿分12分) 己知斜率為1的直線l與雙曲線C:相交于B、D兩點(diǎn),且BD的中點(diǎn)為. (Ⅰ)求C的離心率; (Ⅱ)設(shè)C的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,證明:過(guò)A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切.【點(diǎn)評(píng)】高考中的解析幾何問(wèn)題一般為綜合性較強(qiáng)的題目,命題者將好多考點(diǎn)以圓錐曲線為背景來(lái)考查,如向量問(wèn)題、三角形問(wèn)題、函數(shù)問(wèn)題等等,試題的難度相對(duì)比較穩(wěn)定.用焦半徑不行嗎?10.(2010山東文數(shù))(22)(本小題滿分14分) 如圖,已知橢圓過(guò)點(diǎn). ,離心率為,左、右焦點(diǎn)分別為、 .點(diǎn)為直線上且不在軸上的任意 一點(diǎn),直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為、 和、為坐標(biāo)原點(diǎn). (I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (II)設(shè)直線、的斜線分別為、. (i)證明:; (ii)問(wèn)直線上是否存在點(diǎn),使得直線、的斜率、滿足?若存在,求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.題型二:出現(xiàn)情形,兩根的關(guān)系不能直接使用使用韋達(dá)定理,可將兩根的關(guān)系帶入韋達(dá)定理。聯(lián)考中葉是經(jīng)常出現(xiàn)的。(2010遼寧文數(shù))(20)(本小題滿分12分) 設(shè),分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),過(guò)的直線與橢圓 相交于,兩點(diǎn),直線的傾斜角為,到直線的距離為.(Ⅰ)求橢圓的焦距;(Ⅱ)如果,求橢圓的方程.解:(Ⅰ)設(shè)焦距為,由已知可得到直線l的距離所以橢圓的焦距為4. (Ⅱ)設(shè)直線的方程為 聯(lián)立 解得 因?yàn)?即 得故橢圓的方程為題型三。直線與圓錐曲線,已知其中一個(gè)交點(diǎn)時(shí),可迅速求出另外一個(gè)交點(diǎn)。OABEFM1. (05江西卷)如圖,M是拋物線上y2=x上的一點(diǎn),動(dòng)弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點(diǎn),且MA
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