高考數(shù)學必考直線和圓錐曲線經典題型含詳解(編輯修改稿)
2025-05-14 12:45 本頁面
【文章內容簡介】 值問題例題（07湖北理科）在平面直角坐標系xOy中，過定點C（0，p）作直線與拋物線x2=2py（p0）相交于A、B兩點。（Ⅰ）若點N是點C關于坐標原點O的對稱點，求△ANB面積的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由。（此題不要求在答題卡上畫圖）本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數(shù)學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力.解法1：（Ⅰ）依題意，點N的坐標為N（0,p）,可設A（x1,y1）,B（x2,y2），直線AB的方程為y=kx+p,與x2=2py聯(lián)立得消去y得x22pkx2p2=0.由韋達定理得x1+x2=2pk,x1x2=2p2.于是＝＝.（Ⅱ）假設滿足條件的直線l存在，其方程為y=a,AC的中點為徑的圓相交于點P、Q，PQ的中點為H，則＝. =＝=令，得為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線.解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦長公式得＝又由點到直線的距離公式得.從而，（Ⅱ）假設滿足條件的直線t存在，其方程為y=a，則以AC為直徑的圓的方程為將直線方程y=a代入得設直線l與以AC為直徑的圓的交點為P（x2,y2）,Q（x4,y4）,則有令為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為.即拋物線的通徑所在的直線。題型八：角度問題 例題（08重慶理）如圖（21）圖，M（2，0）和N（2，0）是平面上的兩點，動點P滿足：（Ⅰ）求點P的軌跡方程；（Ⅱ）若,求點P的坐標.解：(Ⅰ)由橢圓的定義，點P的軌跡是以M、N為焦點，長軸長2a=6的橢圓. 因此半焦距c=2，長半軸a=3，從而短半軸b=， 所以橢圓的方程為 (Ⅱ)由得 ① 因為不為橢圓長軸頂點，故P、M、△PMN中， ② 將①代入②，得 故點P在以M、N為焦點，實軸長為的雙曲線上. 由(Ⅰ)知，點P的坐標又滿足，所以 由方程組 解得 即P點坐標為問題九：四點共線問題例題（08安徽理）設橢圓過點，且著焦點為（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）當過點的動直線與橢圓相交與兩不同點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上22解 (1)由題意： ，解得，所求橢圓方程為 (2)方法一 設點Q、A、B的坐標分別為。由題設知均不為零，記,則且又A，P，B，Q四點共線，從而于是 ， ， 從而 ，（1） ，（2）又點A、B在橢圓C上，即 （1）+（2）2并結合（3），（4）得即點總在定直線上例題已知直線相交于A、B兩點。 （1）若橢圓的離心率為，焦距為2，求線段AB的長； （2）若向量互相垂直（其中O為坐標原點），當橢圓的離心率時，求橢圓的長軸長的最大值。（07四川理）設、分別是橢圓的左、右焦點。（Ⅰ）若是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值；（Ⅱ）設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、且∠為銳角（其中為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍。解：（Ⅰ）解法一：易知所以，設，則因為，故當，即點為橢圓短軸端點時，有最小值當，即點為橢圓長軸端點時，有最大值解法二設橢圓E: （a,b0）過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標原點，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。解:（1）因為橢圓E: （a,b0）過M（2，） ，N(,1)兩點,所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設該圓的切線方程為解方程組得,即,則△=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.因為, 所以, ①當時因為所以,所以, 所以當且僅當時取”=”.② 當時,. ③ 當AB的斜率不存在時, 兩個交點為或,所以此時,綜上, |AB |的取值范圍為即: 已知橢圓C的中心在原點，焦點在軸上，以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積為8的正方
教學教案相關推薦
鄂ICP備17016276號-1