【文章內(nèi)容簡介】 |||| ??。 故 8s i ns i n24)2c o s1(s i n 42c o s|||| 2 22 ????? a aaaaFPFP。 解法二：設 ),( AA yxA ， ),( BB yxB ，直線 AB 的斜率為 ak tan? ，則直線方程為)2( ?? xky 。 將此式代入 xy 82? ,得 04)2(4 2222 ???? kxkxk ，故22 )2( kkkxx BA ??? 。 記直線 m 與 AB 的交點為 ),( EE yxE ，則 22 )2(22 kkxxx BAE ???? ， kxky EE 4)2( ???， 故直線 m 的方程為???????? ????? 22 4214 kkxkky. 令 y=0,得 P 的橫坐標 44222 ??? kkxP 故 akkxFP P 222 s in4)1(42|| ?????。 從而 8s i ns i n24)2c o s1(s i n 42c o s|||| 2 22 ????? a aaaaFPFP為定值。 （重慶理 22) (本小題滿分 12 分 )如圖，中心在原點 O 的橢圓的右焦點為 F（ 3， 0），右準線 l的方程為： x = 12。 （ 1）求橢圓的方程； （ 2）在橢圓上任取三個不同點 321 , PPP ，使 133221 FPPFPPFPP ????? ，證明 || 1|| 1|| 1 321 FPFPFP ??為定值，并求此定值。 X O F Y 2P 1P 3P l Linsd68 整理 第 14 頁，共 52 頁 （浙江文 21)(本題 15 分 )如圖，直線 y＝ kx＋ b 與橢圓 2 2 14x y??交于 A、 B 兩點，記△AOB 的面積為 S． (I)求在 k＝ 0， 0＜ b＜ 1 的條件下， S 的最大值； （Ⅱ )當｜ AB｜＝ 2， S＝ 1 時，求直線 AB 的方程． 本題主要考查橢圓的幾何性質、橢圓與直線的位置關系等基礎知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．滿分 15 分． (I)解：設點 A的坐標為 ( 1( , )xb，點 B 的坐標為 2( , )xb， 由 2 2 14x y??，解得 21,2 21xb?? ? 所以 2 2 2121 | | 2 1 1 12S b x x b b b b? ? ? ? ? ? ? ? 當且僅當 22b? 時，． S 取到最大值 1． （Ⅱ）解：由 22 14y kx bx y????? ????得 2 2 2( 4 1 ) 8 4 4 0k x k bx b? ? ? ? ? 2216 (4 1)kb? ? ? ? ① ｜ AB｜＝ 222212 21 6 ( 4 1 )1 | | 1 241kbk x x k k ??? ? ? ? ?? ② 又因為 O 到 AB 的距離2| | 2 1||1 bSd ABk? ? ?? 所以 221bk?? ③ ③代入②并整理，得 424 4 1 0kk? ? ? 解得， 2213,22kb??，代入①式檢驗，△＞ 0 故直線 AB 的方程是 2622yx??或 2622yx??或 2622yx? ? ? 或 2622yx? ? ? ． （ 天津文 22） （本小題滿分 14 分）設橢圓 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的左、右焦點分別為yxOABLinsd68 整理 第 15 頁，共 52 頁 12F F A， ， 是橢圓上的一點， 2 1 2AF FF? ，原點 O 到直線 1AF 的距離為 113OF ． （ Ⅰ ）證明 2ab? ； （ Ⅱ ）求 (0 )tb? ， 使得下述命題成立：設圓 2 2 2xyt??上任意點 00()M x y， 處的切線交橢圓于 1Q ， 2Q 兩點，則 12OQ OQ? ． 本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程、兩條直線垂直、圓的方程等基礎知識，考查 曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法及推理、運算能力．滿分 14分． （ Ⅰ ）證法一：由題設 2 1 2AF FF? 及 1( 0)Fc?， ， 2( 0)Fc， ，不妨設點 ()Ac y， ，其中 0y? ，由于點 A 在橢圓上，有 221cyab??， 2 2 2221a b yab? ??， 解得 2by a? ，從而得到 2bAca??????， 直線 2AF 的方程為 2 ()2by x cac??，整理得 2220b x ac y b c? ? ?． 由題設，原點 O 到直線 1AF 的距離為113OF，即 24 2 23 4c b cb a c? ? ， 將 2 2 2c a b??代入原式并化簡得 222ab? ，即 2ab? ． 證法二：同證法一，得到點 A 的坐標為 2bca??????， 過點 O 作 1OB AF? ，垂足為 H ，易知 1 1 2F BC F F A△ ∽ △ ，故 211BO F AOF F A? 由橢圓定義得 122AF AF a??，又113BO OF?，所以 A O 1F 2F H x y Linsd68 整理 第 16 頁，共 52 頁 2212132F A F AF A a F A?? ?， 解得2 2aFA?，而 22 bFA a?，得 2 2baa? ，即 2ab? ． （ Ⅱ ）解法一：圓 2 2 2xyt??上的任意點 00()M x y， 處的切線方程為 200x x y y t??． 當 (0 )tb? ， 時，圓 2 2 2xyt??上的任意點都在橢圓內(nèi)，故此圓在點 A 處的切線必交橢圓于兩個不同的點 1Q 和 2Q ，因此點 1 1 1()Q x y， ， 2 2 2()Q x y， 的坐標是方程組 2002 2 222x x y y txyb? ???????? ① ②的解．當 0 0y? 時，由 ① 式得 2 00t x xy y?? 代入 ② 式，得 22220022t x xxby?????????，即 2 2 2 2 4 2 20 0 0 0(2 ) 4 2 2 0x y x t x x t b y? ? ? ? ?， 于是 2 012 220202 txxx xy?? ?， 4 2 2012 2202022t b yxx xy?? ? 2 201 1212 t x x t x xyy yy? ?? 4 2 20 1 2 0 1 2201 ()t x t x x x x xy ??? ? ? ??? 2 4 2 24 2 200002 2 2 2 20 0 0 0 04 2 21 22t x t b yt x t xy x y x y?? ?? ? ??????? 4 2 20220202t b xxy?? ?． 若 12OQ OQ? ，則 4 2 2 4 2 2 4 2 2 20 0 0 01 2 1 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 02 2 2 3 2 ( ) 02 2 2t b y t b x t b x yx x y y x y x y x y? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?． 所以， 4 2 2 2020 2 ( ) 0t b x y? ? ?．由 2 2 200xyt??，得 4 2 23 2 0t b t??．在區(qū)間 (0 )b， 內(nèi)此方Linsd68 整理 第 17 頁，共 52 頁 程的解為 63tb? ． 當 0 0y? 時，必有 0 0x? ，同理求得在區(qū)間 (0 )b， 內(nèi)的解為 63tb? ． 另一方 面，當 63tb? 時，可推出 1 2 1 2 0x x y y??，從而 12OQ OQ? ． 綜上所述， 6 (0 )3t b b??， 使得所述命題成立． （ 天津理 22） （本小題滿分 14 分）設橢圓 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的左、右焦點分別為12F F A， ， 是橢圓上的一點， 2 1 2AF FF? ，原點 O 到直線 1AF 的距離為 113OF ． （ Ⅰ ）證明 2ab? ； （ Ⅱ ）設 12， 為橢圓上的兩個動點， 12OQ OQ? ，過原點 O 作直線 12 的垂線 OD ，垂足為 D ，求點 D 的軌跡方程． 本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程、求曲線的方程等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法及推理、運算能力．滿分 14 分． （ Ⅰ ）證法一：由題設 2 1 2AF FF? 及 1( 0)Fc?， ， 2( 0)Fc， ，不妨設點 ()Ac y， ，其中0y? ．由于點 A 在橢圓上，有 221cyab??，即 2 2 2221a b yab? ??． 解得 2by a? ，從而得到 2bAca??????，． 直線 1AF 的方程為 2 ()2by x cac??，整理得 2220b x ac y b c? ? ?． 由題設，原點 O 到直線 1AF 的距離為113OF，即 24 2 23 4c b cb a c? ? ， 將 2 2 2c a b??代入上式并化簡得 222ab? ，即 2ab? ． 證法二：同證法 一，得到點 A 的坐標為 2bca??????，． Linsd68 整理 第 18 頁，共 52 頁 過點 O 作 1OB AF? ，垂足為 B ，易知 1FBO△ ∽ 12FFA△ ，故 211BO F AOF F A? ． 由橢圓定義得 122AF AF a??，又113BO OF?， 所以 2212132F A F AF A a F A?? ?， 解得2 2aFA?，而 22 bFA a?，得 2 2baa? ，即 2ab? ． （ Ⅱ ）解法一：設點 D 的坐標為 00()xy， ． 當 0 0y? 時，由 12OD ? 知，直線 12 的斜率為 00xy? ，所以直線 12 的方程為0 000 ()xy x x yy? ? ? ?，或 y kx m??，其中 00xk y?? ， 2000xmyy?? ． 點 1 1 1 2 2 2( ) ( )Q x y Q x y， ， ，的坐標滿足方程組2 2 222y kx mxyb???? ???， ． 將 ① 式代入 ② 式，得 2 2 22( ) 2x k x m b? ? ?， 整理得 2 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x k m x m b? ? ? ? ?， 于是12 2412kmxx k? ? ? ?， 212 22212mbxx k?? ?． 由 ① 式得 221 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )y y k x m k x m k x x k m x x k? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 222222 2 4 21 2 1 2 1 2m b k m m b kk k m mk k k? ? ?? ? ? ?? ? ? ． 由 12OQ OQ? 知 1 2 1 2 0x x y y??．將 ③ 式和 ④ 式代入得 2 2 2 223 2 2 012m b b kk?? ??， 2 2 23 2 (1 )m b k??． 將 2000xxk m yyy? ? ? ?，代入上式，整理得 2 2 20023x y b??． 當 0 0y? 時，直線 12 的方程為 0xx? ， 1 1 1 2 2 2( ) ( )Q x y Q x y， ， ，的坐標滿足方程組A O 1F 2F B x y Linsd68 整理 第 19 頁，共 52 頁 02 2 222xxxyb??? ??? ， ． 所以 1 2 0x x x??， 22012 2 2bxy ???，． 由 12OQ OQ? 知 1 2 1 2 0x x y y??，即 222 00 2 02bxx ???， 解得 220 23xb?． 這時，點 D 的坐標仍滿足 2 2 20023x y b??． 綜上，點 D 的軌跡方程為 2 2 223x y b?? ． 解法二：設點 D 的坐標為 00()xy， ，直線 OD 的方程為 000y x x y??，由 12OD ? ，垂足為 D ，可知直線 12 的方程為 220 0 0 0x x y y x y? ? ?． 記 2200m x y??（顯然 0m? ），點 1 1 1 2 2 2( ) ( )Q x y Q x y， ， ，的坐標