高考數(shù)學(xué)圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和例題詳解(編輯修改稿)
2024-11-26 04:54 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 9 ∵ P 點(diǎn)在切線 PA、 PB 上， ∴ ∴ 直線 AB 的方程為 (2)在直線 AB 方程中，令 y=0，則 M( b 2 x0 ， 0)；令 x=0，則 N(0， b 2 y0 ) ∴ a 2 2 b 22 ab 22 ( y0a 2 |OM||ON| 2 x0 2 b2 2 ab 22 2516 ① ∵ 2b=8 ∴ b=4 代入 ① 得 a=25, b =16 ∴ 橢圓 C方程： y 2 2 25 x 2 16 （注：不剔除 xy≠0，可不扣分） (3) 假設(shè)存在點(diǎn) P(x0， y0)滿足 PA⊥ PB，連接 OA、 OB由 |PA|=|PB|知， 222 四邊形 PAOB為正方形， |OP|=2|OA| ∴ ① 22222 又 ∵ P 點(diǎn)在橢圓 C 上 ∴ ② 由 ①② 知 x 2 b(aa 2 22 2 2 2 2 , 2y0 ab 2 222 ∵ ab0 ∴ a － b0 (1)當(dāng) a2－ 2b20，即 a 2b 時(shí)，橢圓 C 上存在點(diǎn)，由 P 點(diǎn)向圓所引兩切線互相垂直； (2)當(dāng) a2－ 2b2，即 bb 時(shí)，橢圓 C 上不存在滿足條件的 P 點(diǎn) 【例 6】 已知橢圓 C的焦點(diǎn)是 F1（－ 3， 0）、 F2（ 3， 0），點(diǎn) F1 到相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離為 33 ，過 F2 點(diǎn)且傾斜角為銳角的直線 l與橢圓 C 交于 A、 B兩點(diǎn)，使得 |F2B|=3|F2A|. （ 1）求橢圓 C 的 方程；（ 2）求直線 l的方程 . 解：（ 1）依題意，橢圓中心為 O（ 0， 0）， 點(diǎn) F1 到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為 a2=b2+c2=1+3=4 ∴ 所求橢圓方程為 x 2 b 2 c 2 33 ， 4 2 （ 2）設(shè)橢圓的右準(zhǔn)線 與 l交于點(diǎn) P，作 AM⊥ ， AN⊥ ，垂足 分別為 M、 N. 由橢圓第二定義， x 10 得 |AM| 同理 |BF2|=e|BN| 由 Rt△ PAM～ Rt△ PBN，得 分 3 的斜率 ∴ 直線 l的方程 即 【例 7】 已知點(diǎn) B（－ 1， 0）， C（ 1， 0）， P 是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足|PC （ 1）求點(diǎn) P 的軌跡 C對(duì)應(yīng)的方程； （ 2）已知點(diǎn) A（ m,2）在曲線 C 上，過點(diǎn) A作曲線 C 的兩條弦 AD 和 AE，且 AD⊥ AE，判斷：直線 DE是否過定點(diǎn)？試證明你的結(jié)論 . （ 3）已知點(diǎn) A（ m,2）在曲線 C 上，過點(diǎn) A作曲線 C 的兩條弦 AD， AE，且 AD， AE 的斜率 k k2 滿足 k1k2=：直線 DE過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn) . 解：（ 1）設(shè) P(x,y)代入 (2)將 A(m,2)代入 得 化簡得 得 點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (1,2). 2 設(shè)直線 AD 的方程為 代入 y 由 可得 同理可設(shè)直線 得 代入 y 4 得 則直線 DE方程為 化簡得 即 過定點(diǎn) 2(3)將 A(m,2)代入 得 設(shè)直線 DE的方程為 由 得 11 且 2 k 2 2 將 bk 22 代入化簡得 b 2 2 將 代入 得 過定點(diǎn) 將 代入 得 過定點(diǎn) (1,2),不合 ,舍去 定點(diǎn)為 【例 8】 已知曲線 xa 22 yb 22 的離心率 32. 233 ，直線 l過 A（ a， 0）、 B（ 0，－ b）兩點(diǎn)，原點(diǎn) O 到 l的距離是 （ Ⅰ ）求雙曲線的方程； （ Ⅱ ）過點(diǎn) B作直線 m 交雙曲線于 M、 N 兩點(diǎn)，若 OM 解：（ Ⅰ ）依題意， l方程為 32 ，求直線 m 的方程 . xa 32 即 ca 233 由原點(diǎn) O 到 l的距離 3 ，得 2 2 abc 2 又 e 故所求雙曲線方程為 x 3 2 （ Ⅱ ）顯然直線 m 不與 x 軸垂直，設(shè) m 方程為 y=kx－ 1，則點(diǎn) M、 N 坐標(biāo)（ x1,y1）、 （ x2,y2）是方程組 的解 消去 y，得 ① 依設(shè)， 由根與系數(shù)關(guān)系，知 x1 2 6k3k 2 63k 2 3k 2 2 ) 6k3k 2 2 = 63k 2 63k 2 ∴ － 23， k=177。 12 當(dāng) k=177。 12 時(shí)，方程 ① 有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根 或 故直線 l方程為 y y 2 【例 9】 已知?jiǎng)狱c(diǎn) P 與雙曲線 x 2 2 3 的兩個(gè)焦點(diǎn) F F2 的距離之和為定值， 12 19 且 的最小值為 ． （ 1）求動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程； （ 2）若已知 D(0,3)， M、 N 在動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡上且 DM 解：（ 1）由已知可得： ∴ , b 2 ，求實(shí) 數(shù) 的取值范圍． 5 ， y 2 a 2 2 2 2 19 2a 2 2 2 ∴ 所求的橢圓方程為 (2)方法一： x 9 4 由題知點(diǎn) D、 M、 N 共線，設(shè)為直線 m，當(dāng)直線 m 的斜率存在時(shí)，設(shè)為 k，則直線 m 的方程為 y = k x +3 代入前面的橢圓方程得 (4+9k ) x +54 k +45 = 0 ① 由判別式 ，得 k2 再設(shè) M (x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2)，則一方面有 2 2 59 .
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