高考數(shù)學(xué)圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和例題詳解-資料下載頁(yè)
2024-10-21 04:54本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】襖蒅蕆蟻膃蒄蕿袇聿蒃螂蝕肅蒂蒁羅羈肈薄螈袇肈蚆羃膆肇莆螆肂肆蒈羈膅薀螄襖膄蚃薇膂膃莂螃膈膃薅薅肄膂蚇袁羀膁莇蚄袆膀葿衿膅腿薁螞肁羋蚃袈羇芇莃蝕袃芇蒅袆衿芆蚈蝿膇芅莇羄肅芄蒀螇罿芃薂裊節(jié)蚄螅膄莁莄薈肀莁蒆螄羆莀蠆薆荿莈袂袈莈蒁蚅膆莇薃袀肂莆蚅蚃羈蒞蒞袈襖蒅蕆蟻膃蒄蕿袇聿蒃螂蝕肅蒂蒁羅羈肈薄螈袇肈蚆羃膆肇莆螆肂肆蒈羈膅薀螄襖膄蚃薇膂膃莂螃膈膃薅薅肄膂蚇袁羀膁莇蚄袆膀葿衿膅腿薁螞肁羋蚃袈羇芇莃蝕袃芇蒅袆衿芆蚈蝿膇芅莇羄肅芄蒀螇罿芃薂裊節(jié)蚄螅膄莁莄薈肀莁蒆螄羆莀蠆薆荿莈袂袈莈蒁蚅膆莇薃袀肂莆蚅蚃羈蒞蒞袈襖蒅蕆蟻膃蒄蕿袇聿蒃螂蝕肅蒂蒁羅羈肈薄螈袇肈蚆羃膆肇莆螆肂肆蒈羈膅薀螄襖膄蚃薇膂膃莂螃膈膃薅薅肄膂蚇袁羀膁莇蚄袆膀葿衿膅腿薁螞肁羋蚃袈羇芇莃蝕袃芇蒅袆衿芆蚈蝿膇芅莇羄肅芄蒀螇罿芃薂裊節(jié)蚄螅膄莁莄薈肀莁蒆螄羆莀蠆薆荿莈袂袈莈蒁蚅膆莇薃袀肂莆蚅蚃羈蒞蒞袈襖蒅蕆蟻膃蒄蕿袇聿蒃螂蝕肅蒂蒁羅羈肈薄螈袇肈蚆羃膆
【正文】 16 化簡(jiǎn)得 － 1,故直線 AB 的方程為 y=－ x+3, 代入橢圓方程得 3x2－ 12x+18－ 2b2=0. 有 Δ=24b－ 72＞ 0,又 |AB|= 得 2203 ，解得 b=8. y22 故所求橢圓方程為 x 168=1. 直線與圓錐曲線 【復(fù)習(xí)要點(diǎn)】 直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題、對(duì)稱問(wèn)題、軌跡問(wèn)題等 .突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力、計(jì)算能力較高，起到了拉開(kāi)考生 “檔次 ”，有利于選拔的功能 . ，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程是否有實(shí)數(shù)解成實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，此時(shí)要注意用好分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法 . 線相交時(shí)：涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，常用 “韋達(dá)定理法 ”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng) (即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式 )；涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問(wèn)題，常用 “差分法 ”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，相互轉(zhuǎn)化 .同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍 . 【例題】 【例 1】 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn) O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線 y=x+1 與橢圓交于 P 和 Q，且 OP⊥ OQ， |PQ|=2，求橢圓方程 . 解：設(shè)橢圓方程為 mx2+ny2=1(m＞ 0,n＞ 0)， P(x1,y1),Q(x2,y2) 由 1 得 (m+n)x2+2nx+n－ 1=0, Δ=4n－ 4(m+n)(n－ 1)＞ 0,即 m+n－ mn＞ 0, 由 OP⊥ OQ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+(x1+x2)+1=0, ∴ ∴ m+n=2 ① 又 17 3 4 將 m+n=2,代入得 mn= 由 ① 、 ② 式得 m= 故橢圓方程為 x2 32 ,n=2 12 2 ② 12,n=32322 或 m=322+y=1 或 x+12y=1. 【例 2】 如圖所示，拋物線 y2=4x 的頂點(diǎn)為 O，點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (5， 0)，傾斜角為 4 的 直線 l與線段 OA相交 (不經(jīng)過(guò)點(diǎn) O 或點(diǎn) A)且交拋物線于 M、 N 兩點(diǎn)，求 △ AMN 面積最大時(shí)直線 l的方程，并求 △ AMN 的最大面積 . 解：由題意，可設(shè) l的方程為 y=x+m,－ 5＜ m＜ 0. 由方程組 消去 y,得 x2+(2m－ 4)x+m2=0…………… ① ∵ 直線 l與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn) M、 N， ∴ 方程 ① 的判別式 Δ=(2m－ 4)－ 4m=16(1－ m)＞ 0, 解得 m＜ 1,又－ 5＜ m＜ 0,∴ m 的范圍為 (－ 5， 0) 設(shè) M(x1,y1),N(x2,y2)則 x1+x2=4－ 2m， x1x2=m2, ∴ 點(diǎn) A到直線 l的距離為 222. ∴ S△ 從而 S△ 2=4(1－ m)(5+m)2 =2(2－ 3)3=128. ∴ S△ ≤82,當(dāng)且僅當(dāng) 2－ 2m=5+m,即 m=－ 1時(shí)取等號(hào) . 故直線 l的方程為 y=x－ 1， △ AMN 的最大面積為 82. 【例 3】 已知雙曲線 C： 2x－ y=2 與點(diǎn) P(1， 2)。 (1)求過(guò) P(1， 2)點(diǎn)的直線 l的斜率取值范圍，使 l與 C 分別有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒(méi)有交點(diǎn)。 (2)若 Q(1， 1)，試判斷以 Q 為中點(diǎn)的弦是否存在 . 解： (1)當(dāng)直線 l的斜率不存在時(shí)， l的方程為 x=1, 與曲線 C有一個(gè)交點(diǎn) . 當(dāng) l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 l的方程為 y－ 2=k(x－ 1), 代入 C 的方程，并整理得 (2－ k)x+2(k－ 2k)x－ k+4k－ 6=0………………() 2222* 22 18 2*(ⅰ )當(dāng) 2－ k=0,即 k2 時(shí)，方程 ()有一個(gè)根， l與 C 有一個(gè)交點(diǎn) (ⅱ )當(dāng) 2－ k2≠0,即 k≠177。2時(shí) Δ=［ 2(k2－ 2k)］ 2－ 4(2－ k2)(－ k2+4k－ 6)=16(3－ 2k) ① 當(dāng) Δ=0,即 3－ 2k=0,k= ② 當(dāng) Δ＞ 0,即 k＜ 3 232 時(shí)，方程 ()有一個(gè)實(shí)根， l與 C有一個(gè)交點(diǎn) . 32*,又 k≠177。2,故當(dāng) k＜－ 2 或－ 2＜ k＜ 2 或 2＜ k＜時(shí)，方程 (*) 有兩不等實(shí)根， l與 C有兩個(gè)交點(diǎn) . ③ 當(dāng) Δ＜ 0，即 k＞ 3 2 時(shí)，方程 (*)無(wú)解， l與 C無(wú)交點(diǎn) . 3 2 綜上知：當(dāng) k2,或 k= 當(dāng) 2＜ k＜ 當(dāng) k＞ 3 232，或 k 不存在時(shí)， l與 C 只有一個(gè)交點(diǎn)； ,或－ 2＜ k＜ 2,或 k＜－ 2 時(shí)， l與 C 有兩個(gè)交點(diǎn)； 時(shí)， l與 C 沒(méi)有交點(diǎn) . 2222(2)假設(shè)以 Q 為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為 AB，且 A(x1,y1),B(x2,y2)，則 2x1－ y1=2,2x2－y2=2 兩 式相減得： 2(x1－ x2)(x1+x2)=(y1－ y2)(y1+y2) 又 ∵ x1+x2=2,y1+y2=2 ∴ 2(x1－ x2)=y1－ y1 即 2 但漸近線斜率為 177。2,結(jié)合圖形知直線 AB與 C 無(wú)交點(diǎn)，所以假設(shè)不正確，即以 Q 為中點(diǎn)的弦不存在 . 【例 4】 如圖，已知某橢圓的焦點(diǎn)是 F1(－ 4， 0)、 F2(4， 0)，過(guò)點(diǎn) F2 并垂直于 x 軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為 B，且 |F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點(diǎn) A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件：|F2A|、 |F2B|、 |F2C|成等差數(shù)列 . (1)求該弦橢圓的方程； (2)求弦 AC 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)； (3)設(shè)弦 AC 的垂直平分線的方程為 y=kx+m， 求 m 的取值范圍 . 解： (1)由橢圓定義及條件知， 2a=|F1B|+|F2B|=10, 又 c=4,所以 y2 故橢圓方程為 x2 19 95 254 254 (2)由點(diǎn) B(4,yB)在橢圓上，得 |F2B|=|yB|=據(jù)橢圓定義，有 |F2A|= 45 .因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線方程為 x=－ x2)， ,離心率為 45 ，根 ( 254 － x1),|F2C|= 45 ( 由 |F2A|、 |F2B|、 |F2C|成等差數(shù)列，得 45 ( 254 － x1)+ 45 ( 254 － x2,由此得出： x1+x2=8. 5 2 9 設(shè)弦 AC 的中點(diǎn)為 P(x0,y0),則 x0==4. (3)解法一：由 A(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓上 . 22 得 22 ① ② ① － ② 得 9(x12－ x22)+25(y12
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