高二圓錐曲線知識點(diǎn)總結(jié)與例題-資料下載頁
2025-07-24 12:32本頁面
【正文】 所以b＝a.①再由方程組消去y得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，由|AB|＝＝＝＝2，得(x1＋x2)2－4x1x2＝4，即()2－4＝4.②由①②解得a＝，b＝，故所求的橢圓的方程為＋＝1.例給定拋物線C：y2＝4x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，記O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求的值；(2)設(shè)＝λ，當(dāng)△OAB的面積S∈[2， ]時(shí)，求λ的取值范圍．解：(1)根據(jù)拋物線的方程可得焦點(diǎn)F(1,0)，設(shè)直線l的方程為x＝my＋1，將其與C的方程聯(lián)立，消去x可得y2－4my－4＝0.設(shè)A，B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)(y10y2)，則y1y2＝－4.因?yàn)閥＝4x1，y＝4x2，所以x1x2＝y(tǒng)y＝1，故＝x1x2＋y1y2＝－3.(2)因?yàn)椋溅?，所?1－x1，－y1)＝λ(x2－1，y2)，即又y＝4x1， ③y＝4x2， ④由②③④消去y1，y2后，得到x1＝λ2x2，將其代入①，注意到λ0，解得x2＝.從而可得y2＝－，y1＝2，故△OAB的面積S＝|OF||y1－y2|＝＋，因＋≥2恒成立，所以只要解＋≤即可，解之得≤λ≤.例1已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別在x軸，y軸上運(yùn)動，且|AB|＝8，動點(diǎn)P滿足＝，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，定點(diǎn)為M(4,0)，直線PM交曲線C于另外一點(diǎn)Q.(1)求曲線C的方程；(2)求△OPQ面積的最大值．解：(1)設(shè)A(a,0)，B(0，b)，P(x，y)，則＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)，∵＝，∴∴a＝x，b＝y(tǒng).又|AB|＝＝8，∴＋＝1.∴曲線C的方程為＋＝1.(2)由(1)可知，M(4,0)為橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)，設(shè)直線PM方程為x＝my＋4，由消去x得(9m2＋25)y2＋72my－81＝0，∴|yP－yQ|＝＝.∴S△OPQ＝|OM||yP－yQ|＝2＝＝＝≤＝，當(dāng)＝，即m＝177。時(shí)，△OPQ的面積取得最大值為，此時(shí)直線方程為3x177。y－12＝0.11
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