高一數(shù)學(xué)抽象函數(shù)常見(jiàn)題型解法綜述-資料下載頁(yè)
2025-07-24 12:32本頁(yè)面
【正文】 的奇偶性如何？說(shuō)明理由。（2）在（0，4a）上,f（x）的單調(diào)性如何？說(shuō)明理由。分析: 由題設(shè)知f（x）是的抽象函數(shù)，從而由及題設(shè)條件猜想：f（x）是奇函數(shù)且在（0，4a）上是增函數(shù)（這里把a(bǔ)看成進(jìn)行猜想）。解：（1）∵f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且是定義域中的數(shù)時(shí)有，∴在定義域中?！?，∴f（x）是奇函數(shù)。（2）設(shè)0＜x1＜x2＜2a，則0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0，∴f（x1），f（x2），f（x2－x1）均小于零，進(jìn)而知中的，于是f（x1）＜ f（x2），∴在（0，2a）上f（x）是增函數(shù)。又，∵f（a）＝－1，∴，∴f（2a）＝0，設(shè)2a＜x＜4a，則0＜x－2a＜2a，于是f（x）＞0，即在（2a，4a）上f（x）＞0。設(shè)2a＜x1＜x2＜4a，則0＜x2－x1＜2a，從而知f（x1），f（x2）均大于零。f（x2－x1）＜0，∵，∴，即f（x1）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函數(shù)。綜上所述，f（x）在（0，4a）上是增函數(shù)。冪函數(shù)型抽象函數(shù)冪函數(shù)型抽象函數(shù)，即由冪函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。 例已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，當(dāng)時(shí)。（1）判斷f（x）的奇偶性；（2）判斷f（x）在［0，＋∞）上的單調(diào)性，并給出證明；（3）若，求a的取值范圍。分析：由題設(shè)可知f（x）是冪函數(shù)的抽象函數(shù)，從而可猜想f（x）是偶函數(shù)，且在［0，＋∞）上是增函數(shù)。解：（1）令y＝－1，則f（－x）＝f（x）f（－1），∵f（－1）＝1，∴f（－x）＝f（x），f（x）為偶函數(shù)。（2）設(shè)，∴，∵時(shí)，∴，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在0，＋∞）上是增函數(shù)。（3）∵f（27）＝9，又，∴，∴，∵，∴，∵，∴，又，故。7
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