高考數(shù)學(xué)《圓錐曲線》知識點總結(jié)和例題詳解-文庫吧
2025-09-17 04:54 本頁面
【正文】 3, ∴ b2 ＜ ，橢圓 C2 的 方程為 ， C2 的離心率為 2 2，如果 C1 與 C2 相交于 A、 B兩點，且線段 AB 恰 為圓 C1 的直徑，求直線 AB 的方程和橢圓 C2 的方程。 解：由 2 2 2,得 設(shè)橢圓方程為 設(shè) A(x1,y1).B(x2,y2).由圓心為 (2,1). 2 又 兩式相減，得 又 得 直線 AB 的方程為 即 y 將 y 代入 得 直線 AB 與橢圓 C2 相交 3 由 得 3 解得 故所有橢圓方程 x 6 【例 3】 過點 (1， 0)的直線 l與中心在原點，焦點在 x 軸上且離心率為相交于 A、 B兩點，直線 y= 12 22 的橢圓 C x 過線段 AB 的中點，同時橢圓 C上存在一點與右焦點關(guān)于 直線 l對稱，試求直線 l與橢圓 C的方程 . 解法一：由 e= 22 ,得 a 2 2 2 12 ,從而 a2=2b2,c=b. 設(shè)橢圓方程為 x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在 橢圓上 . 則 x1+2y1=2b,x2+2y2=2b,兩式相減得， (x12－ x22)+2(y12－ y22)=0, . 2 2 2 2 2 2 設(shè) AB 中點為 (x0,y0),則 kAB=－ 12 x02y0 12 , 又 (x0,y0)在直線 y=于是－ x02y0 x 上， y0=x0, =－ 1,kAB=－ 1, 設(shè) l的方程為 y=－ x+1. 右焦點 (b,0)關(guān)于 l的對稱點設(shè)為 (x′,y′), 則 解得 由點 (1,1－ b)在橢圓上，得 1+2(1－ b)2=2b2,b2=∴ 所求橢圓 C的方程為 解法二：由 e= 916 ,a 2 98 . 8x9 2 169a y 2 2 =1,l的方程為 y=－ x+1. 2 22 ,得 2 12 ,從而 a2=2b2,c=b. 設(shè)橢圓 C 的方程為 x2+2y2=2b2,l 的方程為 y=k(x－ 1), 將 l 的方程代入 C 的方程，得(1+2k2)x2－ 4k2x+2k2－ 2b2=0, 則 x1+x2= 4k 22 ,y1+y2=k(x1－ 1)+k(x2－ 1)=k(x1+x2)－ 2k=－ 2 2 2 . 22 直線 l： y= 12 x 過 AB 的中點 (),則 2 2k , 解得 k=0，或 k=－ 1. 若 k=0,則 l的方程為 y=0,焦點 F(c,0)關(guān)于直線 l的對稱點就是 F 點本身，不能在橢圓 C上，所以 k=0 舍去，從而 k=－ 1，直線 l的方程為 y=－ (x－ 1),即 y=－ x+1,以下同解法一 . 7 xa 22 解法 3：設(shè)橢圓方程為 yb 22 直線 l不平行于 y 軸，否則 AB 中點在 x 軸上與直線 故可設(shè)直線 l的方程為 12 x 過 AB 中點矛盾。 2kaka 2 22 22 (2)代入 (1)消 y 整理得： (ka 22 b)x 222222 22 設(shè) A(x1， y1)B(x2， y2) ，知： x1 又 代入上式得： 2 22 2 12 b 22 2ba 2 12 ， 2(a 2 2 2ka 2 2 ， 12 ka ，又 e 22 2 2 2 2 a ， 直線 l的方程為 ， 此時 ，方程 (3)化為 ， x 2 33 ，橢圓 C的方程可寫成： 2 2 (4)，又 c 2 2 2 2 ， 右焦點 F(b， 0)，設(shè)點 F 關(guān)于直線 l的對稱點 (x0， y0)， ， ， 則 又點 (1， 在橢圓上，代入 2 (4)得： 2 ， 34 33 ， 916 ， 98 x 2 所以所求的橢圓方程為： 98 y 2 916 【例 4】 如圖，已知 △ P1OP2 的面積為 274 ， P 為線段 P1P2 的一個三等分點，求以直 線 OP OP2 為漸近線且過點 P 的離心率為的雙曲線 x a22 設(shè)雙曲線方程為 由 ＞ 0,b＞ 0) b 3 ，得 . x 和 y=－ 3 2∴ 兩漸近線 OP OP2 方程分別為 y= 設(shè)點 P1(x1, x1),P2(x2,－ 233232x x2)(x1＞ 0,x2＞ 0), =2, ), 則由點 P 分 P1P2 所成的比 λ=得 P點坐標(biāo)為 3 x 又點 P 在雙曲線 所以 上， 即 (x1+2x2)2－ (x1－ 2x2)2=9a2,整理得 8x1x2=9a2 ① 又 3 1 即 x1x2= 9 2 ② 由 ① 、 ② 得 a2=4,b2=9 故雙曲線方程為 x2 9=1. y a22【例 5】 過橢圓 C： 上一動點 P 引圓 O： x +y =b 的兩條切線 222 PA、 PB， A、 B為切點，直線 AB與 x 軸， y 軸分別交于 M、 N 兩點。 (1) 已知 P 點坐標(biāo)為 (x0， y0 )并且 x0y0≠0，試求直線 AB 方程； (2) 若橢圓的短軸長為 8，并且 a2 ，求橢圓 C的方程； (3) 橢圓 C 上 |OM||ON| 是否存在點 P，由 P 向圓 O 所引兩條切線互相垂直？若存在，請 求出存在的條件；若不存在，請說明理由。 解： (1)設(shè) A(x1， y1)， B(x2， y2) 切線 PA： ， PB：
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