高考數(shù)學(xué)圓錐曲線知識點(diǎn)總結(jié)和例題詳解(參考版)
2024-10-25 04:54本頁面
【正文】 2,結(jié)合圖形知直線 AB與 C 無交點(diǎn)，所以假設(shè)不正確，即以 Q 為中點(diǎn)的弦不存在 . 【例 4】 如圖，已知某橢圓的焦點(diǎn)是 F1(－ 4， 0)、 F2(4， 0)，過點(diǎn) F2 并垂直于 x 軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為 B，且 |F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點(diǎn) A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件：|F2A|、 |F2B|、 |F2C|成等差數(shù)列 . (1)求該弦橢圓的方程； (2)求弦 AC 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)； (3)設(shè)弦 AC 的垂直平分線的方程為 y=kx+m， 求 m 的取值范圍 . 解： (1)由橢圓定義及條件知， 2a=|F1B|+|F2B|=10, 又 c=4,所以 y2 故橢圓方程為 x2 19 95 254 254 (2)由點(diǎn) B(4,yB)在橢圓上，得 |F2B|=|yB|=據(jù)橢圓定義，有 |F2A|= 45 .因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線方程為 x=－ x2)， ,離心率為 45 ，根 ( 254 － x1),|F2C|= 45 ( 由 |F2A|、 |F2B|、 |F2C|成等差數(shù)列，得 45 ( 254 － x1)+ 45 ( 254 － x2,由此得出： x1+x2=8. 5 2 9 設(shè)弦 AC 的中點(diǎn)為 P(x0,y0),則 x0==4. (3)解法一：由 A(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓上 . 22 得 22 ① ② ① － ② 得 9(x12－ x22)+25(y12－ 。2時(shí) Δ=［ 2(k2－ 2k)］ 2－ 4(2－ k2)(－ k2+4k－ 6)=16(3－ 2k) ① 當(dāng) Δ=0,即 3－ 2k=0,k= ② 當(dāng) Δ＞ 0,即 k＜ 3 232 時(shí)，方程 ()有一個(gè)實(shí)根， l與 C有一個(gè)交點(diǎn) . 32*,又 k≠177。 (1)求過 P(1， 2)點(diǎn)的直線 l的斜率取值范圍，使 l與 C 分別有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒有交點(diǎn)。n= 由 ① 、 ② 式得 m= 故橢圓方程為 x2 32 ,n=2 12 2 ② 12,n=32322 或 m=322+y=1 或 x+12y=1. 【例 2】 如圖所示，拋物線 y2=4x 的頂點(diǎn)為 O，點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (5， 0)，傾斜角為 4 的 直線 l與線段 OA相交 (不經(jīng)過點(diǎn) O 或點(diǎn) A)且交拋物線于 M、 N 兩點(diǎn)，求 △ AMN 面積最大時(shí)直線 l的方程，并求 △ AMN 的最大面積 . 解：由題意，可設(shè) l的方程為 y=x+m,－ 5＜ m＜ 0. 由方程組 消去 y,得 x2+(2m－ 4)x+m2=0…………… ① ∵ 直線 l與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn) M、 N， ∴ 方程 ① 的判別式 Δ=(2m－ 4)－ 4m=16(1－ m)＞ 0, 解得 m＜ 1,又－ 5＜ m＜ 0,∴ m 的范圍為 (－ 5， 0) 設(shè) M(x1,y1),N(x2,y2)則 x1+x2=4－ 2m， x1 【求圓錐曲線的方程練習(xí)】 一、選擇題 1．已知直線 x+2y－ 3=0 與圓 x2+y2+x－ 6y+m=0 相交于 P、 Q 兩點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OP⊥ OQ，則 m 等于 ( ) B.－ 3 D.－ 1 2．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)為 (0， 177。 12 時(shí)，方程 ① 有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根 或 故直線 l方程為 y y 2 【例 9】 已知?jiǎng)狱c(diǎn) P 與雙曲線 x 2 2 3 的兩個(gè)焦點(diǎn) F F2 的距離之和為定值， 12 19 且 的最小值為 ． （ 1）求動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程； （ 2）若已知 D(0,3)， M、 N 在動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡上且 DM 解：（ 1）由已知可得： ∴ , b 2 ，求實(shí) 數(shù) 的取值范圍． 5 ， y 2 a 2 2 2 2 19 2a 2 2 2 ∴ 所求的橢圓方程為 (2)方法一： x 9 4 由題知點(diǎn) D、 M、 N 共線，設(shè)為直線 m，當(dāng)直線 m 的斜率存在時(shí)，設(shè)為 k，則直線 m 的方程為 y = k x +3 代入前面的橢圓方程得 (4+9k ) x +54 k +45 = 0 ① 由判別式 ，得 k2 再設(shè) M (x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2)，則一方面有 2 2 59 . ，得 2 另一方面有 ， x1x2 2 ② 將 代入 ② 式并消去 x 2 可得 2 4k 2 ，由前面知， 815 0 4k 2 365 ∴ 9 2 ，解得 15 . 或 又當(dāng)直線 m 的斜率不存在時(shí)，不難驗(yàn)證： 所以 15 為所求。k2=：直線 DE過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn) . 解：（ 1）設(shè) P(x,y)代入 (2)將 A(m,2)代入 得 化簡得 得 點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (1,2). 2 設(shè)直線 AD 的方程為 代入 y 由 可得 同理可設(shè)直線 得 代入 y 4 得 則直線 DE方程為 化簡得 即 過定點(diǎn) 2(3)將 A(m,2)代入 得 設(shè)直線 DE的方程為 由 得 11 且 2 k 2 2 將 bk 22 代入化簡得 b 2 2 將 代入 得 過定點(diǎn) 將 代入 得 過定點(diǎn) (1,2),不合 ,舍去 定點(diǎn)為 【例 8】 已知曲線 xa 22 yb 22 的離心率 32. 233 ，直線 l過 A（ a， 0）、 B（ 0，－ b）兩點(diǎn)，原點(diǎn) O 到 l的距離是 （ Ⅰ ）求雙曲線的方程； （ Ⅱ ）過點(diǎn) B作直線 m 交雙曲線于 M、 N 兩點(diǎn)，若 OM 解：（ Ⅰ ）依題意， l方程為 32 ，求直線 m 的方程 . xa 32 即 ca 233 由原點(diǎn) O 到 l的距離 3 ，得 2 2 abc 2 又 e
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