高考數(shù)學(xué)圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和例題詳解(已改無錯(cuò)字)
2022-12-03 04:54:59 本頁(yè)面
【正文】 ，得 2 另一方面有 ， x1x2 2 ② 將 代入 ② 式并消去 x 2 可得 2 4k 2 ，由前面知， 815 0 4k 2 365 ∴ 9 2 ，解得 15 . 或 又當(dāng)直線 m 的斜率不存在時(shí)，不難驗(yàn)證： 所以 15 為所求。 方法二 :同上得 設(shè)點(diǎn) M (3cosα， 2sinα)， N (3cosβ,2sinβ) 則有 13 由上式消去 α并整理得 222 , 由于 ∴ 2 ， 解得 15 為所求 . 方法三：設(shè)法求出橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn) D 的距離的最大值為 5，最小值為 1. 進(jìn)而推得 的取值范圍為 15 。 【求圓錐曲線的方程練習(xí)】 一、選擇題 1．已知直線 x+2y－ 3=0 與圓 x2+y2+x－ 6y+m=0 相交于 P、 Q 兩點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OP⊥ OQ，則 m 等于 ( ) B.－ 3 D.－ 1 2．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)為 (0， 177。52)的橢圓被直線 3x－ y－ 2=0 截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 . 12 ，則橢圓方程為 ( ) 2 2xx 2 2525 2y 2 2 75 2xx 2 75 2 2yy 2 2 2525 75 D. 75 二、填空題 3．直線 l的方程為 y=x+3,在 l上任取一點(diǎn) P，若過點(diǎn) P 且以雙曲線 12x2－ 4y2=3 的焦點(diǎn)作橢圓的焦點(diǎn)，那么具有最短長(zhǎng)軸的橢圓方程為 _________. 4．已知圓過點(diǎn) P(4，－ 2)、 Q(－ 1， 3)兩點(diǎn)，且在 y 軸上截得的線段長(zhǎng)為 43，則該圓的方程為 _________. 三、解答題 5．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，它的一個(gè)焦點(diǎn)為 F， M 是橢圓上的任意點(diǎn)， |MF|的最大值和最小值的幾 何平均數(shù)為 2，橢圓上存在著以 y=x 為軸的對(duì)稱點(diǎn) M1 和M2，且 |M1M2|= 43 ，試求橢圓的方程 . 6．某拋物線形拱橋跨度是 20 米，拱高 4 米，在建橋時(shí)每隔 4 米需用一支柱支撐，求其中最長(zhǎng)的支柱的長(zhǎng) . 14 7．已知圓 C1 的方程為 (x－ 2)+(y－ 1)= x a2222203,橢圓 C2 的方程為 ＞ b＞ 0)， C2 的離心率為 2 2，如果 C1 與 C2 相交于 A、 B兩點(diǎn)，且線段 AB 恰為圓 C1 的直徑，求直線 AB 的方程和橢圓 C2 的方程 . 參考答案 一、 ：將直線方程變?yōu)?x=3－ 2y,代入圓的方程 x+y+x－ 6y+m=0, 得 (3－ 2y)2+y2+(3－ 2y)+m=0. 整理得 5y－ 20y+12+m=0,設(shè) P(x1,y1)、 Q(x2,y2) 則 5222,y1+y2=4. 又 ∵ P、 Q 在直線 x=3－ 2y 上， ∴ x1x2=(3－ 2y1)(3－ 2y2)=4y1y2－ 6(y1+y2)+9 故 y1y2+x1x2=5y1y2－ 6(y1+y2)+9=m－ 3=0，故 m=3. 答案： A ：由題意，可設(shè)橢圓方程為 ： 即方程為 y2 且 將直線 3x－ y－ 2=0 代入，整理成關(guān)于 x 的二次方程 . 由 x1+x2=1 可求得 b=25,a=75. 答案： C 二、 ：所求橢圓的焦點(diǎn)為 F1(－ 1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|. 欲使 2a 最小，只需在直線 l上找一點(diǎn) |PF1|+|PF2|最小，利用對(duì)稱性可解 答案： x2222 4 =1 ：設(shè)所求圓的方程為 (x－ a)+(y－ 則有 或 15 由此可寫所求圓的方程 . 答案： x2+y2－ 2x－ 12=0 或 x2+y2－ 10x－ 8y+4=0 三、 ： |MF|max=a+c,|MF|min=a－ c,則 (a+c)(a－ c)=a－ c=b, ∴ b=4,設(shè)橢圓方程為 2 2 2 2 22 2 xa y 4 ① ② ③ 設(shè)過 M1 和 M2 的直線方程為 y=－ x+m 將 ② 代入 ① 得： (4+a2)x2－ 2a2mx+a2m2－ 4a2=0 設(shè) M1(x1,y1)、 M2(x2,y2),M1M2 的中點(diǎn)為 (x0,y0), 則 x0= 12 2 (x1+x2)= 22 2 ,y0=－ x0+m=, 2 . 代入 y=x,得 2 2 由于 a＞ 4,∴ m=0,∴ 由 ③ 知 x1+x2=0,x1x2=－又 |M1M2|= 2 2 2 4a 22 , 43 , x 2 代入 x1+x2,x1x2 可解 a=5,故所求橢圓方程為： 5 y 2 4 =1. ：以拱頂為原點(diǎn)，水平線為 x 軸，建立坐標(biāo)系， 如圖，由題意知， |AB|=20， |OM|=4， A、 B坐標(biāo)分別為 (－ 10，－ 4）、 (10，－ 4） 設(shè)拋物線方程為 x=－ 2py,將 A點(diǎn)坐標(biāo)代入，得 100=－ 2p(－ 4),解得 p=, 于是拋物線方程為 x2=－ 25y . 2 由題意知 E點(diǎn)坐標(biāo)為 (2，－ 4)， E′點(diǎn)橫坐標(biāo)也為 2，將 2 代入得 y=－ ,從而 |EE′|= (－ )－ (－ 4)= 米 . ：由 e= 22 22 22 ,可設(shè)橢圓方程為 x yb 2b =1, 又設(shè) A(x1,y1)、 B(x2,y2),則 x1+x2=4,y1+y2=2, 又 x12b 22 y1b 2 2 x22b 22 y2b 2 2 =1,兩式相減，得 2b 2 22 b 2 22 =0, 即 (x1+x2)(x1－ x2)+2(y1+y2)(y1－ y2)=0.
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