【導讀】袂肅艿薆螈肂莁荿蚄膁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薃裊螆肅莆螁螅膇蟻蚇螄芀蒄薃螄莂芇袂螃肂蒂螈袂膄芅蚄袁芆蒀薀袀羆芃薆衿膈蕿襖衿芁莁螀袈莃薇蚆袇肅莀薂袆膅薅蒈羅芇莈螇羄羇薄蚃羃聿莆蠆羃芁螞薅莄蒅袃羈肅芇蝿羀膆蒃蚅罿羋芆薁肈羈蒁蕆肇肀芄螆肇膂蒀螂肆蒞節(jié)蚈肅肄薈薄肄膇莁袂肅艿薆螈肂莁荿蚄膁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薃裊螆肅莆螁螅膇蟻蚇螄芀蒄薃螄莂芇袂螃肂蒂螈袂膄芅蚄袁芆蒀薀袀羆芃薆衿膈蕿襖衿芁莁螀袈莃薇蚆袇肅莀薂袆膅薅蒈羅芇莈螇羄羇薄蚃羃聿莆蠆羃芁螞薅莄蒅袃羈肅芇蝿羀膆蒃蚅罿羋芆薁肈羈蒁蕆肇肀芄螆肇膂蒀螂肆蒞節(jié)蚈肅肄薈薄肄膇莁袂肅艿薆螈肂莁荿蚄膁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薃裊螆肅莆螁螅膇蟻蚇螄芀蒄薃螄莂芇袂螃肂蒂螈袂膄芅蚄袁芆蒀薀袀羆芃薆衿膈蕿襖衿芁莁螀袈莃薇蚆袇肅莀薂袆膅薅蒈羅芇莈螇羄羇薄蚃羃聿莆蠆羃芁螞薅莄蒅袃羈肅芇蝿羀膆蒃蚅罿羋芆薁肈羈蒁蕆肇肀芄螆肇膂蒀螂肆蒞節(jié)蚈肅肄薈薄肄膇莁袂肅艿薆螈肂莁荿蚄膁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅

　　

【正文】 ．有無數條 D．不存在 解： B 例 3. 若 A(3， 2)， F為拋物線 的焦點， P為拋物線上任意一點，求 的最小值及取得最小值時的 P的坐標． 解：拋物線 的準線方程為 13 1 2 11 ＋ m＝－＋ b 164 5519＋ m＞－＝ 32321616 9 ，＋ 即 l在 y軸上截距的取值范圍是 ( 變式訓練 4：正方形 ABCD中，一條邊 AB 在直線 y＝ x＋ 4上，另外兩頂點 C、 D在拋物線 y＝ x上，求正方形的面積． 設 C、 D的坐標分別為 (y12， y1)， (y22， y2)( y1 y2)，則直線 CD 的斜率為 1． ∴ 2 2 2 ＝ 1 ＝ 1，即 y1＋ y2＝ 1 ① B(x2 ， y2), 直線 AB 的斜率為 k ，則：｜ AB ｜ =———————— 或：—————————． 利用這個公式求弦長時，要注意結合韋達定理． 當弦過圓錐曲線的焦點時，可用焦半徑進行運算． 3．中點弦問題： 設 A(x1， y1)， B(x2， y2)是橢圓 x2y2 上不同的兩點，且 x1≠x2， x1＋ x2≠0， M(x0， y0)為 a2b2 又 | CD |＝ ＝ ＝ 2(y1－ y2) | BC |＝ 2 21 2 21 (y12－ y1＋ 4恒正 ) 2 AB 的中點，則 兩式相減可得 b2a 2 由 | CD |＝ | BC |， 有 2(y1－ y2)＝解 ① 、 ② 得 y1＝ 2或 y1＝ 3 2 ② 當 y1＝ 2時，有 | BC |＝ 32，此時 SABCD＝ 18 當 y1＝ 3時，有 | BC |＝ 52，此時 SABCD＝ 50 ∴ 正方形的面積為 18 或 50． 要注意頂點位置和開口方向，以便準確設出方程，然后用待定系數法． 2．利用好拋物線定義，進行求線段和的最小值問題的轉化． 3．涉及拋物線的弦的中點和弦長等問題要注意利用韋達定理，能避免求交點坐標的復雜運算． 解決焦點弦問題時，拋物 線的定義有廣泛的應用，應注意焦點弦的幾何性質． 即 ． 對于雙曲線、拋物線，可得類似的結論． 22 ＋ 1與雙曲線 3x－ y＝ 1相交于 A、 B兩點． (1) 當 a為何值時， A、 B兩點在雙曲線的同一支上？當 a為何值時， A、 B兩點分別在雙曲線的兩支上？ (2) 當 a為何值時，以 AB 為直徑的圓過原點？ 解： (1) 聯立 － a)x－ 2ax－ 2＝ 0 ① 消去 y 顯然 a≠3，否則方程 ① 只有一解，于是直線與雙曲線至多一個交點． 若 交點 A、 B在雙曲線同支上，則方程 ① 滿足： 或 2 第 4課時 直線與圓錐曲線的位置關系 1．直線與圓錐曲線的位置關系，常用研究方法是將曲線方程與直線方程聯立，由所得方程組的解的個數來決定，一般地，消元后所得一元二次方程的判別式記為 △ ， △ 0時，有兩個公共點， △ ＝ 0 時，有一個公共點， △ 0 時，沒有公共點．但當直線方程與曲線方程聯立的方程組只有一組解（即直線與曲線只有一個交點）時，直線與曲線未必相 切，在判定此類情形時，應注意數形結合．（對于雙曲線，重點注意與漸近線平行的直線，對于拋物線，重點注意與對稱軸平行的直線） 2．直線與圓錐曲線的交點間的線段叫做圓錐曲線的弦．設弦 AB 端點的坐標為 A(x1， y1)， 14 ∈ (－ 6，－ 3)∪ (3， 6) 若 A、 B分別在雙曲線的兩支上，則有： ∈ (－ 3， (2) 若以 AB 為直徑的圓過點 O，則 OA⊥ OB，設 A(x1， y1)， B(x2， y2)由于 x1＋ x2＝ x1x2＝ 2a ． 2 2a ， 據對稱性知 ，所以 是中點弦 P1P2所在直線的斜率，由 P P2在雙曲線上，則 2222 有關系 ．兩式相減是： ∴ y1y2＝ (ax1＋ 1)(ax2＋ 1)＝ a(x1＋ x2)＋ a2x1x2＋ 1 22a ＝ a2＋ a2＋ 1＝ 1 2 ∵ OA⊥ OB ∴ x1x2＋ y1y2＝ 0 ∴ 2 ＋ ＝ 2 ∴ ∴ 此時 △ ＞ 0，符合要求． 變式訓練 1：已知直線 y＝ (a＋ 1)x－ 1與曲線 y2＝ ax恰有一個公共點，求實數 a的值 . 解：聯立方程為 2 所求中點弦所在直線為 ，即 ． (2)可假定直線 l存在，而求出 l的方程為 ，即 方法同 (1)，聯立方程 ，消去 y,得 (1) 當 a＝ 0時，此時方程組恰有一組解 當 a≠0時，消去 x得 ① 若 ② 若得 1＋ 然而方程的判別式 ，無實根，因此直線 l與雙曲線無交點，這一矛盾說明了滿足條件的直線 l不存在． x2y2 變式訓練 2：若橢圓 的弦被點（ 4， 2）平分，則此弦所在直線的斜率為 369 ＝ 0，即 a＝ － 1方程變?yōu)橐淮畏匠?，?y－ 1＝ 0，方程組恰有一組解 ≠0，即 a≠－ 1，令 △ ＝ 0 a ，解得 a＝－ a5 （ ） A． 2 B．－ 2 C． D．－ 4 5 13 12 此時直線與曲線相切，恰有一個公共點，綜上所述知，當 a＝ 0，－ 1，－時，直線與曲線只有一個公共點． 例 2. 已知雙曲線方程 2x2－ y2＝ 2. (1) 求以 A(2,1)為中點的雙曲線的弦所在直線方程； (2) 過點 B(1,1)能否作直線 l，使 l與所給雙曲線交于 Q Q2兩點，且點 B是弦 Q1Q2的中點？這樣的直線 l如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由． 解： (1) 即設 A(2,1) 的中點弦兩 端點 為 P1(x1,y1),P2(x2,y2) ，則有關 系．又 解： D 2 例 3. 在拋物線 y＝ 4x上恒有兩點關于直線 y＝ kx＋ 3對稱，求 k的取值范圍． 解法一：設 B、 C 關于直線 對稱，直線 BC 方程為 ，代入得， ， C(x2,y2)，設 B(x1,y1)、則 中點 M(x0,y0)， ∵ 點 M(x0,y0)在直線 l上， ∴ ，即 ∴ ，代入，得 kkk 解得 15 解法二：設 B(x1,y1)， C(x2,y2)關于 l對稱，中點 M(x0,y0)，則 ∴ y＝ 0或 y＝ 2at a2t 2at 22 ∴ 點 B