圓錐曲線與方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(文件)
【正文】 又 ∵ ∴ y2x2 故所求的雙曲線方程為 3645 b 0， ． (2) 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一形式： 3．雙曲線的幾何性質(zhì) (對(duì) 進(jìn)行討論 ) (2) 令與雙曲線 x－ 2y＝ 2有公共漸近線的雙曲線為 x－ 2y＝ k ∵ 雙曲線過 M（ 2，－ 2） ∴ 4－ 24＝ k 得 k＝－ 4 y2x2 ∴ x－ 2y＝－ 4即 24 2 2 2222 (1) 范圍： ， ． (2) 對(duì)稱性：對(duì)稱軸方程為 ；對(duì)稱中心為 ． (3) 焦 點(diǎn)坐實(shí)軸長為虛軸長為，準(zhǔn)線方程為 ，漸近線方程為 ． (4) 離心率 e，且 ， e越大，雙曲線 e越小，雙曲線開口越 ，焦準(zhǔn)距 P＝ ． (5) 焦半徑公式，設(shè) F1， F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若 P(x0,y0)是雙曲線右支上任意一點(diǎn)， 是雙曲線左支上任意一點(diǎn)， ． 變式訓(xùn)練 1：根據(jù)下列條件，求雙曲線方程。1．掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單的幾何性質(zhì)、了解橢圓的參數(shù)方程． 2．掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單的幾何性質(zhì)． 3．掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單的幾何性質(zhì)． 的初步應(yīng)用． 3．有關(guān)直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題，是高考的重?zé)狳c(diǎn)問題，這類問題常涉及圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識(shí)以及線段中點(diǎn)、弦長等，分析這類問題時(shí)，往往要利用數(shù)形結(jié)合思想和 “設(shè)而不求 ”的方法、對(duì)稱的方法及韋達(dá)定理，多以解答題的形式出現(xiàn)． 4．求與圓錐曲線有關(guān)的參數(shù)或參數(shù)范圍問題，是高考命題的一大熱點(diǎn)，這類問題綜合性較大，運(yùn)算技巧要求較高；尤其是與平面向量、平面幾何、函數(shù)、不等式的綜合，特別近年出現(xiàn)的解析幾何與平面向量結(jié)合的問題，是?？汲Ｐ碌脑囶}，將是今后高考命題的一個(gè)趨勢． 第 1課時(shí) 橢圓 1．橢 圓的兩種定義 (1) 平面 ， 之間的距離叫做焦距． 注： ① 當(dāng) 2a＝ |F1F2|時(shí)， P． ② 當(dāng) 2a＜ |F1F2|時(shí)， P 點(diǎn)的軌跡不存在． (2) 橢圓的第二定義：到的距離的距離之比是常數(shù) e，且 定點(diǎn) F是橢圓的，定直線 的點(diǎn)的軌跡叫橢圓． 常數(shù) e是 ． 2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1) 焦點(diǎn)在 x軸上，中心在原點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是： y2a 圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要 0，且 (2) 焦點(diǎn)在 y軸上，中心在原點(diǎn)的橢圓標(biāo) 準(zhǔn)方程是 其中 a， b滿足： ． ， 3．橢圓的幾何性質(zhì) (對(duì) x2a2 進(jìn)行討論 ) (1) ≤ x ≤y ≤(2) 對(duì)稱性：對(duì)稱軸方 ；對(duì)稱中心為 (3) 焦，長半軸短半軸長準(zhǔn)線方程： ． e越接近 1， e (4) 離心率： ， ，； 越接近 0，橢圓越接近于 ． (5) 焦半徑公式：設(shè) F1,F2 分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)， P(x0,y0)是橢圓上一點(diǎn)，則 ． ∵ 點(diǎn) P（ 3， 4）在橢圓上， ∴ (6) 橢圓的參數(shù)． 4．焦點(diǎn)三角形應(yīng)注意以下關(guān)系： (1) 定義： r1＋ r2＝ 2a (2) 余弦定理： r12＋ r22－ ＝ (2c)2 (3) 面積： ＝ ＝ x2y2 有共同漸近線，且過點(diǎn)（ 3， 2）（ 1）與雙曲線； 916x2y2 有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)（ 3， 2） （ 2）與雙曲線 164 的漸近線為 解：法一：（ 1）雙曲線 9163 4 令 x=3， y=177。 例 2 雙曲線型自然通風(fēng)塔的外 形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，它的最小半徑為 12 m，上口半徑為 13 m，下口半徑為 25 m，高 55 標(biāo)系，求出此雙曲線的方程（精確到 1m） . 解：如圖 8—17，建立直角坐標(biāo)系 xOy，使 A 圓的直徑 AA′在 x 軸上，圓心與原點(diǎn)重合 .這時(shí) x2y2 ∴ 雙曲線方程為 944 x2y2 （ 2）設(shè)雙曲線方程為 （ a0， b0） ab 則 解之得： x2y2 ∴ 雙曲線方程為 128 x2y2 （ λ≠0） 法二：（ 1）設(shè)雙曲線方程為 916 上、下口的直徑 CC′、 BB′平行于 x軸，且 ， 設(shè)雙曲線的方程 x2y2 為 （ a0,b0）令點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（ 13， y），則點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 25， y－55） 因?yàn)辄c(diǎn) B、 C在雙曲線上，所以 12b212b ∴ 9161 ∴ 4 x2y2 ∴ 雙曲線方程為 944 （ 1） 設(shè)雙曲線方程為 ∴ 8 （負(fù)值舍去） .代入方解方程組 由方程（ 2）得 (2) 5b 252程（ 1）得化簡得 19b+275b－ 18150=0 （ 3） ( x2y2 解方程（ 3）得 b≈25 (m).所以所求雙曲線方程為： 144625 變式訓(xùn)練 2：一炮彈在某處爆炸，在 A處聽到爆炸聲的時(shí)間比在 B處晚 2 s. （ 1）爆炸點(diǎn)應(yīng)在什么樣的曲線上？ （ 2）已知 A、 B兩地相距 800 m，并且此時(shí)聲速為 340 m/s，求曲線的方程 . 解（ 1）由聲速及 A、 B兩處聽到爆炸聲的時(shí)間差，可知 A、 B兩處與爆炸點(diǎn)的距離的差，因此爆炸點(diǎn)應(yīng)位于以 A、 B為焦點(diǎn)的雙曲線上 . 因?yàn)楸c(diǎn)離 A處比離 B處更遠(yuǎn)， 所以爆炸點(diǎn)應(yīng)在靠近 B處的一支上 . （ 2）如圖 8—14，建立直角坐標(biāo)系 xOy，使 A、 B兩點(diǎn)在 x軸上，并且點(diǎn) O與線段 AB 的中點(diǎn)重合 . 設(shè)爆炸點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ x,y），則 即 2a=680,a= ∴2c=800,c=400,b2=c2－ a2=44400. （ 1）解：依題意有： 解得 y2 可得雙曲線方程為 3 2 x2y2 ∵ 0,∴ x： 11560044400 (x0). 1 例 中，固定底邊 BC，讓頂點(diǎn) A移動(dòng)，已知 ，且 ，求頂 2 （ 2）解：設(shè) M(x0,y0),由雙曲線的對(duì)稱性 ,可得 設(shè) P(xP,yP),則 2 22 點(diǎn) A的軌跡方程． 解：取 BC的中點(diǎn) O為原點(diǎn)， BC所在直線為 x軸，建立直角坐標(biāo)系，因 為 ，所以， c(2,0)．利用正弦定理，從條件得 ，即 ．由雙曲線定義知，點(diǎn) A的軌跡是 B、 C為焦點(diǎn)，焦距為 4，實(shí)軸長為 2，虛軸長為 23的雙曲線右支， y2 ． 點(diǎn) (1， 0)除外，即軌跡方程為 2 12 2y0 又 322 所以 同理
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