圓錐曲線與方程知識點總結(jié)-預(yù)覽頁
【正文】 有無數(shù)條 D．不存在 解： B 例 3. 若 A(3， 2)， F為拋物線 的焦點， P為拋物線上任意一點，求 的最小值及取得最小值時的 P的坐標(biāo)． 解：拋物線 的準(zhǔn)線方程為 13 1 2 11 ＋ m＝－＋ b 164 5519＋ m＞－＝ 32321616 9 ，＋ 即 l在 y軸上截距的取值范圍是 ( 變式訓(xùn)練 4：正方形 ABCD中，一條邊 AB 在直線 y＝ x＋ 4上，另外兩頂點 C、 D在拋物線 y＝ x上，求正方形的面積． 設(shè) C、 D的坐標(biāo)分別為 (y12， y1)， (y22， y2)( y1 y2)，則直線 CD 的斜率為 1． ∴ 2 2 2 ＝ 1 ＝ 1，即 y1＋ y2＝ 1 ① B(x2 ， y2), 直線 AB 的斜率為 k ，則：｜ AB ｜ =———————— 或：—————————． 利用這個公式求弦長時，要注意結(jié)合韋達(dá)定理． 當(dāng)弦過圓錐曲線的焦點時，可用焦半徑進(jìn)行運算． 3．中點弦問題： 設(shè) A(x1， y1)， B(x2， y2)是橢圓 x2y2 上不同的兩點，且 x1≠x2， x1＋ x2≠0， M(x0， y0)為 a2b2 又 | CD |＝ ＝ ＝ 2(y1－ y2) | BC |＝ 2 21 2 21 (y12－ y1＋ 4恒正 ) 2 AB 的中點，則 兩式相減可得 b2a 2 由 | CD |＝ | BC |， 有 2(y1－ y2)＝解 ① 、 ② 得 y1＝ 2或 y1＝ 3 2 ② 當(dāng) y1＝ 2時，有 | BC |＝ 32，此時 SABCD＝ 18 當(dāng) y1＝ 3時，有 | BC |＝ 52，此時 SABCD＝ 50 ∴ 正方形的面積為 18 或 50． 要注意頂點位置和開口方向，以便準(zhǔn)確設(shè)出方程，然后用待定系數(shù)法． 2．利用好拋物線定義，進(jìn)行求線段和的最小值問題的轉(zhuǎn)化． 3．涉及拋物線的弦的中點和弦長等問題要注意利用韋達(dá)定理，能避免求交點坐標(biāo)的復(fù)雜運算． 解決焦點弦問題時，拋物 線的定義有廣泛的應(yīng)用，應(yīng)注意焦點弦的幾何性質(zhì)． 即 ． 對于雙曲線、拋物線，可得類似的結(jié)論． 22 ＋ 1與雙曲線 3x－ y＝ 1相交于 A、 B兩點． (1) 當(dāng) a為何值時， A、 B兩點在雙曲線的同一支上？當(dāng) a為何值時， A、 B兩點分別在雙曲線的兩支上？ (2) 當(dāng) a為何值時，以 AB 為直徑的圓過原點？ 解： (1) 聯(lián)立 － a)x－ 2ax－ 2＝ 0 ① 消去 y 顯然 a≠3，否則方程 ① 只有一解，于是直線與雙曲線至多一個交點． 若 交點 A、 B在雙曲線同支上，則方程 ① 滿足： 或 2 第 4課時 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，常用研究方法是將曲線方程與直線方程聯(lián)立，由所得方程組的解的個數(shù)來決定，一般地，消元后所得一元二次方程的判別式記為 △ ， △ 0時，有兩個公共點， △ ＝ 0 時，有一個公共點， △ 0 時，沒有公共點．但當(dāng)直線方程與曲線方程聯(lián)立的方程組只有一組解（即直線與曲線只有一個交點）時，直線與曲線未必相 切，在判定此類情形時，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合．（對于雙曲線，重點注意與漸近線平行的直線，對于拋物線，重點注意與對稱軸平行的直線） 2．直線與圓錐曲線的交點間的線段叫做圓錐曲線的弦．設(shè)弦 AB 端點的坐標(biāo)為 A(x1， y1)， 14 ∈ (－ 6，－ 3)∪ (3， 6) 若 A、 B分別在雙曲線的兩支上，則有： ∈ (－ 3， (2) 若以 AB 為直徑的圓過點 O，則 OA⊥ OB，設(shè) A(x1， y1)， B(x2， y2)由于 x1＋ x2＝ x1x2＝ 2a ． 2 2a ， 據(jù)對稱性知 ，所以 是中點弦 P1P2所在直線的斜率，由 P P2在雙曲線上，則 2222 有關(guān)系 ．兩式相減是： ∴ y1y2＝ (ax1＋ 1)(ax2＋ 1)＝ a(x1＋ x2)＋ a2x1x2＋ 1 22a ＝ a2＋ a2＋ 1＝ 1 2 ∵ OA⊥ OB ∴ x1x2＋ y1y2＝ 0 ∴ 2 ＋ ＝ 2 ∴ ∴ 此時 △ ＞ 0，符合要求． 變式訓(xùn)練 1：已知直線 y＝ (a＋ 1)x－ 1與曲線 y2＝ ax恰有一個公共點，求實數(shù) a的值 . 解：聯(lián)立方程為 2 所求中點弦所在直線為 ，即 ． (2)可假定直線 l存在，而求出 l的方程為 ，即 方法同 (1)，聯(lián)立方程 ，消去 y,得 (1) 當(dāng) a＝ 0時，此時方程組恰有一組解 當(dāng) a≠0時，消去 x得 ① 若 ② 若得 1＋ 然而方程的判別式 ，無實根，因此直線 l與雙曲線無交點，這一矛盾說明了滿足條件的直線 l不存在． x2y2 變式訓(xùn)練 2：若橢圓 的弦被點（ 4， 2）平分，則此弦所在直線的斜率為 369 ＝ 0，即 a＝ － 1方程變?yōu)橐淮畏匠蹋?y－ 1＝ 0，方程組恰有一組解 ≠0，即 a≠－ 1，令 △ ＝ 0 a ，解得 a＝－ a5 （ ） A． 2 B．－ 2 C． D．－ 4 5 13 12 此時直線與曲線相切，恰有一個公共點，綜上所述知，當(dāng) a＝ 0，－ 1，－時，直線與曲線只有一個公共點． 例 2. 已知雙曲線方程 2x2－ y2＝ 2. (1) 求以 A(2,1)為中點的雙曲線的弦所在直線方程； (2) 過點 B(1,1)能否作直線 l，使 l與所給雙曲線交于 Q Q2兩點，且點 B是弦 Q1Q2的中點？這樣的直線 l如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由． 解： (1) 即設(shè) A(2,1) 的中點弦兩 端點 為 P1(x1,y1),P2(x2,y2) ，則有關(guān) 系．又 解： D 2 例 3. 在拋物線 y＝ 4x上恒有兩點關(guān)于直線 y＝ kx＋ 3對稱，求 k的取值范圍． 解法一：設(shè) B、 C 關(guān)于直線 對稱，直線 BC 方程為 ，代入得， ， C(x2,y2)，設(shè) B(x1,y1)、則 中點 M(x0,y0)， ∵ 點 M(x0,y0)在直線 l上， ∴ ，即 ∴ ，代入，得 kkk 解得 15 解法二：設(shè) B(x1,y1)， C(x2,y2)關(guān)于 l對稱，中點 M(x0,y0)，則 ∴ y＝ 0或 y＝ 2at a2t 2at 22 ∴ 點 B
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