【文章內(nèi)容簡介】 1 )5 6 7 8 2 1 25 1 1 ( 1 )24 fnnnnT a a a a a a???? ? ? ? ? 5 6 1 2 2 1 25 1 1 124nna a a a a a???? ? ? ?????≤ 315 1 1 1 12 4 9 2 9 2 2 n??? ? ? ?????≤ 5 1 524 9 2 24n? ? ? ． 綜上，當 n?N* 時， 156 24nT≤ ≤． （ 浙江文 19） 已知數(shù)列 { na }中的相鄰兩項 21ka? 、 2ka 是關(guān)于 x 的方程2 ( 3 2 ) 3 2 0kkx k x k? ? ? ? ? 的兩個根，且 21ka? ≤ 2ka (k ＝ 1， 2， 3，? )． Linsd68 整理 第 12 頁，共 45 頁 (I)求 1 3 5 7, , ,a a a a 及 2na (n≥ 4)(不必證明 )； (Ⅱ )求數(shù)列 { na }的前 2n 項和 S2n． 本題主要考查等差、等比數(shù)列的基本知識，考查運算及推理能力．滿分 14 分． (I)解：方程 2 ( 3 2 ) 3 2 0kkx k x k? ? ? ? ?的兩個根為 123 , 2kx k x??． 當 k＝ 1 時， 123, 2xx??，所以 1 2a? ； 當 k＝ 2 時， 126, 4xx??，所以 3 4a? ； 當 k＝ 3 時， 129, 8xx??，所以 5 8a? ； 當 k＝ 4 時， 1212, 16xx??，所以 7 12a? ； 因為 n≥ 4 時， 23n n? ，所以 2 2 ( 4)nnan?? （Ⅱ） 22 1 2 2( 3 6 3 ) (2 2 2 )nnnS a a a n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?＝2 133 222 nnn ?? ??． （ 天津理 21） 在數(shù)列 ??na 中， 1112 ( 2 ) 2 ( )nnnna a a n? ? ????? ? ? ? ? ? N， ，其中0?? ． （ Ⅰ ）求數(shù)列 ??na 的通項公式； （ Ⅱ ）求數(shù)列 ??na 的前 n 項和 nS ； （ Ⅲ ）證明存在 k ??N ，使得 11nkaa??≤ 對任意 n ??N 均成立． 本小題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體，主要考查等比數(shù)列的前 n 項和公式、數(shù)列求和、不等式的證明等基礎(chǔ)知識與基本方法，考查歸納、推理、運算及靈活運用數(shù)學知識 分析問題和解決問題的能力．滿分 14 分． （ Ⅰ ）解法一： 2 2 22 2 (2 )2 2a ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， 2 2 3 2 3 33 ( 2 ) (2 )2 2 2a ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?， 3 3 4 3 4 44 (2 2 ) (2 )2 3 2a ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?． Linsd68 整理 第 13 頁，共 45 頁 由此可猜想出數(shù)列 ??na 的通項公式為 ( 1) 2nnnan ?? ? ?． 以下用數(shù)學歸納法證明． （ 1）當 1n? 時， 1 2a? ，等式成立． （ 2）假設(shè)當 nk? 時等式成立，即 ( 1) 2kkkak ?? ? ?， 那么 111 (2 )2kkkaa? ? ??? ? ? ? ? 11( 1 ) 2 2 2k k k k kk? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? 11[( 1) 1] 2kkk ? ??? ? ? ?． 這就是說，當 1nk??時等式也成立．根據(jù)（ 1）和（ 2）可知，等式 ( 1) 2nnnan ?? ? ?對任何 n ??N 都成立． 解法二：由 11 ( 2 ) 2 ( )nnnna a n? ? ???? ? ? ? ? ? N， 0?? ， 可得 111 22 1nnnnaa? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， 所以 2 nnna?????????????????為等差數(shù)列，其公差為 1，首項為 0，故 2 1nnna n????? ? ????? ，所以數(shù)列 ??na 的通項公式為 ( 1) 2nnnan ?? ? ?． （ Ⅱ ）解：設(shè) 2 3 4 12 3 ( 2 ) ( 1 )nnnT n n? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?， ① 3 4 5 12 3 ( 2 ) ( 1 )nnnT n n? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ② 當 1?? 時， ① 式減去 ② 式， 得 212 3 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 nn n nnT n n??? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ? ? ??， 2 1 1 2 1 222( 1 ) ( 1 )( 1 ) 1 ( 1 )n n n nn n n nT ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ?． 這時數(shù)列 ??na 的前 n 項和 2 1 2 12( 1 ) 22(1 )nn nn nnS ? ? ???? ?? ? ?? ? ??． 當 1?? 時， ( 1)2n nnT ??．這時數(shù)列 ??na 的前 n 項和 1( 1) 222 nn nnS ??? ? ?． （ Ⅲ ）證明：通過分析，推測數(shù)列 1nnaa???????的第一項 21aa 最大，下面證明： Linsd68 整理 第 14 頁，共 45 頁 21 214 ,22nna a naa ?? ??? ≥． ③ 由 0?? 知 0na? ，要使 ③ 式成立，只要 212 ( 4 ) ( 2 )nna a n?? ?? ≥， 因為 2 2 2( 4 ) ( 4 ) ( 1 ) ( 1 ) 2nnnan? ? ? ?? ? ? ? ? ? 124 ( 1 ) 4 2 4( 1 ) 2n n n nnn? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? 12 12 2 2 2nn nn a n? ?? ??? ，≥ ≥． 所以 ③ 式成立． 因此，存在 1k? ，使得 1121nkaa aa a a???≤ 對任意 n ??N 均成立． （ 天津文 20） 在數(shù)列 ??na 中， 1 2a? ， 1 4 3 1nna a n? ? ? ?， n?*N ． （ Ⅰ ）證明數(shù)列 ? ?nan? 是等比數(shù)列； （ Ⅱ ）求數(shù)列 ??na 的前 n 項和 nS ； （ Ⅲ ）證明不等式 1 4nnSS? ≤ ，對任意 n?*N 皆成立． 本小題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體，主要考查等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項公式及前 n 項和公式、不等式的證明等基礎(chǔ)知識，考查運算能力和推理論證能力．滿分 12 分． （ Ⅰ ）證明：由題設(shè) 1 4 3 1nna a n? ? ? ?，得 1 ( 1) 4( )nna n a n? ? ? ? ?， n?*N ． 又 1 11a?? ，所以數(shù)列 ? ?nan? 是首項為 1，且公比為 4 的等比數(shù)列． （ Ⅱ ）解：由（ Ⅰ ）可知 14nnan??? ，于是數(shù)列 ??na 的通項公式為 14nnan???． 所以數(shù)列 ??na 的前 n 項和 4 1 ( 1)32nn nnS ????． （ Ⅲ ）證明：對任意的 n?*N ， Linsd68 整理 第 15 頁，共 45 頁 11 4 1 ( 1 ) ( 2 ) 4 1 ( 1 )443 2 3 2nnnn n n n nSS?? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ????? 21 (3 4 ) 02 nn? ? ? ? ≤． 所以不等式 1 4nnSS? ≤ ，對任意 n?*N 皆成立． （ 四川文 22） 已知函數(shù) f（ x） =x2－ 4，設(shè)曲線 y＝ f（ x）在點（ xn， f（ xn））處的切線與 x軸的交點為（ xn+1,u）（ u,N +），其中為正實數(shù) . （ Ⅰ ）用 xx表示 xn+1； （ Ⅱ ）若 a1=4，記 an=lg 22nnxx??，證明數(shù)列｛ a1｝成等比數(shù)列，并求數(shù)列｛ xn｝的通項公式； （ Ⅲ ）若 x1＝ 4， bn＝ xn－ 2， Tn 是數(shù)列｛ bn｝的前 n 項和，證明 Tn3. 解析：本題綜合考 查數(shù)列、函數(shù)、不等式、導數(shù)應(yīng)用等知識，以及推理論證、計算及解決問題的能力． （Ⅰ）由題可得 39。( ) 2f x x? ． 所以曲線 ()y f x? 在點 ( , ( ))nnx f x 處的切線方程是： ( ) 39。( ) ( )n n ny f x f x x x? ? ?． 即 2( 4 ) 2 ( )n n ny x x x x? ? ? ?． 令 0y? ，得 2 1( 4 ) 2 ( )n n n nx x x x?? ? ? ?． 即 2 142n n nx x x ??? ． 顯然 0nx? ，∴1 22nn nxx x? ??． （Ⅱ）由1 22nn nxx x? ??，知 21 ( 2)22222nnn nnxxx xx? ?? ? ? ? ?，同理 21 2)2 2nn nxx x? ???． 故 21122()nnxx???????． 從而 1122lg 2 lgnnxx???????，即 1 2nnaa? ? ．所以，數(shù)列 {}na 成等比數(shù)列． Linsd68 整理 第 16 頁，共 45 頁 故 1 1 111 1 22 2 l g 2 l g 32n n nn xaa x? ? ??? ? ??． 即 12lg 2 lg 32 nnnxx ?? ??． 從而 122 32 nnnxx ?? ?? 所以 11222(3 1)31nnnx???? ? （Ⅲ）由（Ⅱ）知 11222(3 1)31nnnx???? ? ， ∴12 42031nnnbx ?? ? ? ?? ∴ 11 1 1 1212 2 2 23 1 1 1 1 133 1 3 1 3 3nn n nn nbb ?? ? ???? ? ? ? ??? 當 1n? 時，顯然 1123Tb? ? ? ． 當 1n? 時， 211 2 11 1 1( ) ( )3 3 3 nn n nb b b b???? ? ? ? ∴ 12nnT b b b? ? ? ? 11 1 111()33nb b b?? ? ? ? 11[1 ( ) ]311 3nb ??? 13 3 ( ) 33 n? ? ? ? ． 綜上， 3nT? ( *)nN? ． （ 上海理 20） 若有窮數(shù)列 12, ...na a a （ n 是正整數(shù)），滿足 1 2 1 1, ... .n n na a a a a a?? ? ?即 1i n iaa??? （ i 是正整數(shù)，且 1 in?? ），就稱該數(shù)列為“對稱數(shù)列”。 （ 1）已知數(shù)列 ??nb 是項數(shù)為 7 的對稱數(shù)列，且 1 2 3 4, , ,b b b b 成 等差數(shù)列，Linsd68 整理 第 17 頁，共 45 頁 142, 11bb??，試寫出 ??nb 的每一項 （ 2）已知 ??nc 是項數(shù)為 ? ?2 1 1kk??的對稱數(shù)列，且 1 2 1, ...k k kc c c??構(gòu)成首項為 50，公差為 4? 的等差數(shù)列，數(shù)列 ??nc 的前 21k? 項和為 21kS? ，則當 k 為何值時， 21kS?取到最大值？最大值為多少？ （ 3）對于給定的正整數(shù) 1m? ，試寫出所有項數(shù)不超過 2m 的對稱數(shù)列，使得211,2,2 ...2m? 成為數(shù)列中的連續(xù)項；當 1500m? 時，試求其中一個數(shù)列的前 2020項和 2020S 解 ： （ 1）設(shè) ??nb 的公差為 d ，則 1132314 ????? ddbb ，解得 3? ， ? 數(shù)列 ??nb 為 2 5 8 11 8 5 2， ， ， ， ， ， ． （ 2） 12112112 ???? ???????? kkkkk ccccccS ?? kkkk cccc ????? ?? )(2 121 ?， 50134)13(4 2212 ??????? kS k ， ? 當 13?k 時， 12?kS 取得最大值． 12?kS 的最大值為 626． （ 3）所有可能的 “ 對稱數(shù)列 ” 是 ： ① 2 2 1 2 21 2 2 2 2 2 2 2 1m m m? ? ?， ， ， ， ， ， ， ， ， ，； ② 2 2 1 1 2 21 2 2 2 2 2 2 2 2 1m m m m? ? ? ?， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，；