【文章內(nèi)容簡介】 多情況下能用通性通法解，但計算量較大，計算繁瑣，考生必須有較強的意志力和極強的計算能力；不用通性通法，要求考生必須深入思考，有較強的思維能力，在命題人設(shè)計的框架中，找出破解的蛛絲馬跡，通過自己的思維將問題解決。（07福建理科）如圖，已知點（1，0），直線l：x＝－1，P為平面上的動點，過作直線l的垂線，垂足為點，且（Ⅰ）求動點的軌跡C的方程；（Ⅱ）過點F的直線交軌跡C于A、B兩點，交直線l于點M，已知，求的值。小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，.解法一：（Ⅰ）設(shè)點，則，由得：，化簡得.（Ⅱ）設(shè)直線的方程為： .設(shè)，又，聯(lián)立方程組，消去得：，故由，得：，整理得：，解法二：（Ⅰ）由得：，，所以點的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：.（Ⅱ）由已知，得.則：.…………①過點分別作準線的垂線，垂足分別為，則有：.…………②由①②得：，即.山東2006理雙曲線C與橢圓有相同的焦點，直線y=為C的一條漸近線。（I） 求雙曲線C的方程；(II)過點P(0,4)的直線，交雙曲線C于A,B兩點，交x軸于Q點（Q點與C的頂點不重合）。當(dāng)，且時，求Q點的坐標。解：（Ⅱ）解法一：由題意知直線的斜率存在且不等于零。設(shè)的方程：，則在雙曲線上，同理有：若則直線過頂點，不合題意.是二次方程的兩根.，此時.所求的坐標為.解法二：由題意知直線的斜率存在且不等于零設(shè)的方程，則.，分的比為.由定比分點坐標公式得下同解法一解法三：由題意知直線的斜率存在且不等于零設(shè)的方程：，則.，.，，又，即將代入得，否則與漸近線平行。解法四：由題意知直線l得斜率k存在且不等于零，設(shè)的方程：，則,。同理 .即 （*）又 消去y得.當(dāng)時，則直線l與雙曲線得漸近線平行，不合題意。由韋達定理有：代入（*）式得 所求Q點的坐標為。練習(xí)：已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率等于。（1）求橢圓C的標準方程；（2）點P為橢圓上一點，弦PA、PB分別過焦點FF2，（PA、PB都不與x軸垂直，其點P的縱坐標不為0），若，求的值。解：（1）設(shè)橢圓C的方程為：，則b=1，由，得，則橢圓的方程為：（2）由得：，設(shè)，有得：解得：， 根據(jù)PA、PB都不與x軸垂直，且，設(shè)直線PA的方程為：，代人，整理后，得：根據(jù)韋達定理，得：，則，從而，同理可求則由為橢圓上一點得：，則，故的值為14.題型六：面積問題例題（07陜西理）已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為短軸一個端點到右焦點的距離為。（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值。解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，所求橢圓方程為。（Ⅱ）設(shè)。（1）當(dāng)軸時。（2）當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為。由已知，得。把代入橢圓方程，整理得。當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立。當(dāng)時，綜上所述。當(dāng)最大時，面積取最大值。練習(xí)（07浙江理）如圖，直線與橢圓交于A、B兩點，記的面積為。（Ⅰ）求在，的條件下，的最大值；（Ⅱ）當(dāng)時，求直線AB的方程。本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分14分。解：（Ⅰ）解：設(shè)點A的坐標為，點的坐標為，由，解得，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最在值1，（Ⅱ）解：由得 設(shè)到的距離為，則又因為所以代入②式并整理，得解得，代入①式檢驗。故直線的方程是。練習(xí)（山東06文）已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，兩準線間的距離為4。(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)直線過點P(0,2)且與橢圓相交于A、B兩點，當(dāng)ΔAOB面積取得最大值時，求直線l的方程。解：設(shè)橢圓方程為（I）由已知得 所求橢圓方程為（II）解法一：由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，由 消去y得關(guān)于x的方程：由直線l與橢圓相交A、B兩點，△，解得，又由韋達定理得 .原點O到直線l的距離解法1：對兩邊平方整理得： （*） ， 整理得：又，.從而的最大值為，此時代入方程（*）得所以，所求直線方程為： .解法2：令，則， .當(dāng)且僅當(dāng)即時，此時.所以，所求直線方程為 .解法二：由題意知直線l的斜率存在且不為零.設(shè)直線l的方程為，則直線l與x軸的交點由解法一知：且 解法1： 下同解法一解法2： 下同解法一已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓的離心率為，為其焦點，一直線過點與橢圓相交于兩點，且的最大面積為，求橢圓的方程。解：由＝得，所以橢圓方程設(shè)為設(shè)直線，由 得：設(shè)，則是方程的兩個根由韋達定理得 所以＝當(dāng)且僅當(dāng)時，即軸時取等號 所以，所求橢圓方程為題型七：弦或弦長為定值問題例題（07湖北理科）在平面直角坐標系xOy中，過定點C（0，p）作直線與拋物線x2=2py（p0）相交于A、B兩點。（Ⅰ）若點N是點C關(guān)于坐標原點O的對稱點，求△ANB面積的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由。（此題不要求在答題卡上畫圖）本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進行推理運算的能力和解決問題的能力.解法1：（Ⅰ）依題意，點N的坐標為N（0,p）,可設(shè)A（x1,y1）,B（x2,y2），直線AB的方程為y=kx+p,與x2=2py聯(lián)立得消去y得x22pkx2p2=0.由韋達定理得x1+x2=2pk,x1x2=2p2.于是＝ ＝.（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a,AC的中點為徑的圓相交于點P、Q，PQ的中點為H，則＝.=＝=令，得為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線.解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦長公式得＝又由點到直線的距離公式得.從而，（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線t存在，其方程為y=a，則以AC為直徑的圓的方程為將直線方程y=a代入得設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點為P（x2,y2）,Q（x4,y4）,則有令為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為.即拋物線的通徑所在的直線。練習(xí)、（山東09理）（22）（本小題滿分14分）設(shè)橢圓E: （a,b0）過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標原點，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。解:（1）因為橢圓E: （a,b0）過M（2，） ，N(,1)兩點,所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即,則△=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.因為,所以, ①當(dāng)時因為所以,所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時取”=”.② 當(dāng)時,.③ 當(dāng)AB的斜率不存在時, 兩個交點為或,所以此時,綜上, |AB |的取值范圍為即: 【命題立意】:本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標準方程的確定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系.題型八：角度問題　例題（08重慶理）如圖（21）圖，M（2，0）和N（2，0）是平面上的兩點，動點P滿足：（Ⅰ）求點P的軌跡方程；（Ⅱ）若,求點P的坐標.解：(Ⅰ)由橢圓的定義，點P的軌跡是以M、N為焦點，長軸長2a=6的橢圓. 因此半焦距c=2，長半軸a=3，從而短半軸b=， 所以橢圓的方程為 (Ⅱ)由得 ① 因為不為橢圓長軸頂點，故P、M、△PMN中， ② 將①代入②，得 故點P在以M、N為焦點，實軸長為的雙曲線上. 由(Ⅰ)知，點P的坐標又滿足，所以 由方程組 解得 即P點坐標為練習(xí)（05福建理）已知方向向量為v=(1,)的直線l過點（0，－2）和橢圓C：(ab0)的焦點，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ