【文章內(nèi)容簡介】 多情況下能用通性通法解，但計(jì)算量較大，計(jì)算繁瑣，考生必須有較強(qiáng)的意志力和極強(qiáng)的計(jì)算能力；不用通性通法，要求考生必須深入思考，有較強(qiáng)的思維能力，在命題人設(shè)計(jì)的框架中，找出破解的蛛絲馬跡，通過自己的思維將問題解決。（07福建理科）如圖，已知點(diǎn)（1，0），直線l：x＝－1，P為平面上的動點(diǎn)，過作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)，且（Ⅰ）求動點(diǎn)的軌跡C的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)F的直線交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)M，已知，求的值。小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，.解法一：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，則，由得：，化簡得.（Ⅱ）設(shè)直線的方程為： .設(shè)，又，聯(lián)立方程組，消去得：，故由，得：，整理得：，解法二：（Ⅰ）由得：，，所以點(diǎn)的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：.（Ⅱ）由已知，得.則：.…………①過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則有：.…………②由①②得：，即.山東2006理雙曲線C與橢圓有相同的焦點(diǎn)，直線y=為C的一條漸近線。（I） 求雙曲線C的方程；(II)過點(diǎn)P(0,4)的直線，交雙曲線C于A,B兩點(diǎn)，交x軸于Q點(diǎn)（Q點(diǎn)與C的頂點(diǎn)不重合）。當(dāng)，且時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)。解：（Ⅱ）解法一：由題意知直線的斜率存在且不等于零。設(shè)的方程：，則在雙曲線上，同理有：若則直線過頂點(diǎn)，不合題意.是二次方程的兩根.，此時(shí).所求的坐標(biāo)為.解法二：由題意知直線的斜率存在且不等于零設(shè)的方程，則.，分的比為.由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得下同解法一解法三：由題意知直線的斜率存在且不等于零設(shè)的方程：，則.，.，，又，即將代入得，否則與漸近線平行。解法四：由題意知直線l得斜率k存在且不等于零，設(shè)的方程：，則,。同理 .即 （*）又 消去y得.當(dāng)時(shí)，則直線l與雙曲線得漸近線平行，不合題意。由韋達(dá)定理有：代入（*）式得 所求Q點(diǎn)的坐標(biāo)為。練習(xí)：已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率等于。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，弦PA、PB分別過焦點(diǎn)FF2，（PA、PB都不與x軸垂直，其點(diǎn)P的縱坐標(biāo)不為0），若，求的值。解：（1）設(shè)橢圓C的方程為：，則b=1，由，得，則橢圓的方程為：（2）由得：，設(shè)，有得：解得：， 根據(jù)PA、PB都不與x軸垂直，且，設(shè)直線PA的方程為：，代人，整理后，得：根據(jù)韋達(dá)定理，得：，則，從而，同理可求則由為橢圓上一點(diǎn)得：，則，故的值為14.題型六：面積問題例題（07陜西理）已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為。（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值。解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，所求橢圓方程為。（Ⅱ）設(shè)。（1）當(dāng)軸時(shí)。（2）當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為。由已知，得。把代入橢圓方程，整理得。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立。當(dāng)時(shí)，綜上所述。當(dāng)最大時(shí)，面積取最大值。練習(xí)（07浙江理）如圖，直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，記的面積為。（Ⅰ）求在，的條件下，的最大值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求直線AB的方程。本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分14分。解：（Ⅰ）解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，解得，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最在值1，（Ⅱ）解：由得 設(shè)到的距離為，則又因?yàn)樗源擘谑讲⒄?，得解得，代入①式檢驗(yàn)。故直線的方程是。練習(xí)（山東06文）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，兩準(zhǔn)線間的距離為4。(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)直線過點(diǎn)P(0,2)且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)ΔAOB面積取得最大值時(shí)，求直線l的方程。解：設(shè)橢圓方程為（I）由已知得 所求橢圓方程為（II）解法一：由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，由 消去y得關(guān)于x的方程：由直線l與橢圓相交A、B兩點(diǎn)，△，解得，又由韋達(dá)定理得 .原點(diǎn)O到直線l的距離解法1：對兩邊平方整理得： （*） ， 整理得：又，.從而的最大值為，此時(shí)代入方程（*）得所以，所求直線方程為： .解法2：令，則， .當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，此時(shí).所以，所求直線方程為 .解法二：由題意知直線l的斜率存在且不為零.設(shè)直線l的方程為，則直線l與x軸的交點(diǎn)由解法一知：且 解法1： 下同解法一解法2： 下同解法一已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為，為其焦點(diǎn)，一直線過點(diǎn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，且的最大面積為，求橢圓的方程。解：由＝得，所以橢圓方程設(shè)為設(shè)直線，由 得：設(shè)，則是方程的兩個(gè)根由韋達(dá)定理得 所以＝當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即軸時(shí)取等號 所以，所求橢圓方程為題型七：弦或弦長為定值問題例題（07湖北理科）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點(diǎn)C（0，p）作直線與拋物線x2=2py（p0）相交于A、B兩點(diǎn)。（Ⅰ）若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，求△ANB面積的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由。（此題不要求在答題卡上畫圖）本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力.解法1：（Ⅰ）依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（0,p）,可設(shè)A（x1,y1）,B（x2,y2），直線AB的方程為y=kx+p,與x2=2py聯(lián)立得消去y得x22pkx2p2=0.由韋達(dá)定理得x1+x2=2pk,x1x2=2p2.于是＝ ＝.（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a,AC的中點(diǎn)為徑的圓相交于點(diǎn)P、Q，PQ的中點(diǎn)為H，則＝.=＝=令，得為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線.解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦長公式得＝又由點(diǎn)到直線的距離公式得.從而，（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線t存在，其方程為y=a，則以AC為直徑的圓的方程為將直線方程y=a代入得設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為P（x2,y2）,Q（x4,y4）,則有令為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為.即拋物線的通徑所在的直線。練習(xí)、（山東09理）（22）（本小題滿分14分）設(shè)橢圓E: （a,b0）過M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。解:（1）因?yàn)闄E圓E: （a,b0）過M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即,則△=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時(shí)圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足,綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.因?yàn)?所以, ①當(dāng)時(shí)因?yàn)樗?所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”.② 當(dāng)時(shí),.③ 當(dāng)AB的斜率不存在時(shí), 兩個(gè)交點(diǎn)為或,所以此時(shí),綜上, |AB |的取值范圍為即: 【命題立意】:本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系.題型八：角度問題　例題（08重慶理）如圖（21）圖，M（2，0）和N（2，0）是平面上的兩點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足：（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程；（Ⅱ）若,求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：(Ⅰ)由橢圓的定義，點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，長軸長2a=6的橢圓. 因此半焦距c=2，長半軸a=3，從而短半軸b=， 所以橢圓的方程為 (Ⅱ)由得 ① 因?yàn)椴粸闄E圓長軸頂點(diǎn)，故P、M、△PMN中， ② 將①代入②，得 故點(diǎn)P在以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為的雙曲線上. 由(Ⅰ)知，點(diǎn)P的坐標(biāo)又滿足，所以 由方程組 解得 即P點(diǎn)坐標(biāo)為練習(xí)（05福建理）已知方向向量為v=(1,)的直線l過點(diǎn)（0，－2）和橢圓C：(ab0)的焦點(diǎn)，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ