【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 …………………5分（2）由題可設(shè)直線的方程為，由得 △， ………………………………………………………………………………7分設(shè)，則，……………………………………………9分 由，即 ，于是，……11分即， ，解得或（舍去），…………………………………13分又， ∴ 直線存在，其方程為 ………………………………………14分28 已知點(diǎn)是⊙：上的任意一點(diǎn)，過作垂直軸于,動(dòng)點(diǎn)滿足。（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）已知點(diǎn)，在動(dòng)點(diǎn)的軌跡上是否存在兩個(gè)不重合的兩點(diǎn)、使 (O是坐標(biāo)原點(diǎn))，若存在，求出直線的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由。解：（1）設(shè)，依題意，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ……………1分∴ ………………………2分又 ∴ ………………………4分∵ 在⊙上，故 ∴ ………………………5分∴ 點(diǎn)的軌跡方程為 ………………………6分（2）假設(shè)橢圓上存在兩個(gè)不重合的兩點(diǎn)滿足，則是線段MN的中點(diǎn)，且有…9分又 在橢圓上∴ 兩式相減，得 ……12分∴ ∴ 直線MN的方程為 ∴ 橢圓上存在點(diǎn)、滿足，此時(shí)直線的方程為 …………………………14分，且與定直線相切.（I）求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；（II）若是軌跡C的動(dòng)弦，且過， 分別以、為切點(diǎn)作軌跡C的切線，設(shè)兩切線交點(diǎn)為Q，證明:.解：（I）依題意，圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線上……2分 因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離等于4, 所以圓心的軌跡是………………….5分（II） …………….6分， ， ………8分拋物線方程為 所以過拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線斜率分別是， ，所以，、分別是橢圓：的左右焦點(diǎn)。（1）設(shè)橢圓上點(diǎn)到兩點(diǎn)、距離和等于，寫出橢圓的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；（3）設(shè)點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線 ， 的斜率都存在，并記為，，試探究的值是否與點(diǎn)及直線有關(guān)，不必證明你的結(jié)論。解：（1）由于點(diǎn)在橢圓上，得2=4, …………2分 橢圓C的方程為 ，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為 ……4分（2）設(shè)的中點(diǎn)為B（x, y）則點(diǎn) ………………………5分把K的坐標(biāo)代入橢圓中得……………7分線段的中點(diǎn)B的軌跡方程為 ………………………8分（3）過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交的兩點(diǎn)M，N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 設(shè), 在橢圓上，應(yīng)滿足橢圓方程，得 ……10分== ……………………………13分故：的值與點(diǎn)P的位置無關(guān)，同時(shí)與直線L無關(guān)， ………………14分，有一個(gè)以和為焦點(diǎn)、離心率為的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線與軸的交點(diǎn)分別為A、B，且向量。求：（Ⅰ）點(diǎn)M的軌跡方程； （Ⅱ）的最小值。.解: 橢圓方程可寫為: + =1 式中ab0 , 且 得a2=4,b2=1,所以曲線C的方程為: x2+ =1 (x0,y0). y=2(0x1) y 39。=－ 設(shè)P(x0,y0),因P在C上,有0x01, y0=2, y 39。|x=x0= － ,得切線AB的方程為: y=－ (x－x0)+y0 . 設(shè)A(x,0)和B(0,y),由切線方程得 x= , y= .由= +得M的坐標(biāo)為(x,y), 由x0,y0滿足C的方程,得點(diǎn)M的軌跡方程為: + =1 (x1,y2) (Ⅱ)| 2= x2+y2, y2= =4+ , ∴2= x2－1++5≥4+5=－1= ,即x=1時(shí),上式取等號(hào).故的最小值為3.，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,設(shè)點(diǎn).（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程；（3）過原點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，求面積的最大值。解(1)由已知得橢圓的半長軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1. 又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上, ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M(x,y) ,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0,y0),由x=得x0=2x－1y=y0=2y－由,點(diǎn)P在橢圓上,得, ∴線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是.(3)當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí),BC=2,因此△ABC的面積S△ABC=1.當(dāng)直線BC不垂直于x軸時(shí),說該直線方程為y=kx,代入,解得B(,),C(－,－),則,又點(diǎn)A到直線BC的距離d=,∴△ABC的面積S△ABC=于是S△ABC=由≥－1,得S△ABC≤,其中,當(dāng)k=－時(shí),等號(hào)成立.∴S△ABC的最大值是. 33’設(shè),在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,向量,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E.（1）求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀。 21世紀(jì)教育網(wǎng) 解:（1）因?yàn)?所以, 即. 21世紀(jì)教育網(wǎng) 當(dāng)m=0時(shí),方程表示兩直線,方程為。當(dāng)時(shí), 方程表示的是圓當(dāng)且時(shí),方程表示的是橢圓。 當(dāng)時(shí),方程表示的是雙曲線.定點(diǎn)定直線問題34．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過、三點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若直線：（）與橢圓交于、兩點(diǎn)，證明直線與直線的交點(diǎn)在直線上．（Ⅰ）解法一：當(dāng)橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)其方程為（），則，又點(diǎn)在橢圓上，得．解得．∴橢圓的方程為．當(dāng)橢圓E的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)其方程為（），則，又點(diǎn)在橢圓上，得．解得，這與矛盾．綜上可知，橢圓的方程為． ……4分解法二：設(shè)橢圓方程為（），將、代入橢圓的方程，得解得，．∴橢圓的方程為． ……4分（Ⅱ）證法一：將直線：代入橢圓的方程并整理，得， ……6分設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)，由根與系數(shù)的關(guān)系，得，． ……8分直線的方程為：，它與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，同理可求得直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為． ……10分下面證明、兩點(diǎn)重合，即證明、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等：∵，∴．因此結(jié)論成立．綜上可知，直線與直線的交點(diǎn)在直線上． ……14分證法二：將直線：，代入橢圓的方程并整理，得， ……6分設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)，由根與系數(shù)的關(guān)系，得，． ……8分直線的方程為：，即．直線的方程為：，即． ……10分由直線與直線的方程消去，得 ．∴直線與直線的交點(diǎn)在直線上． ……14分應(yīng)用題35某拋物線形拱橋跨度是20米，拱高4米，在建橋時(shí)每隔4米需用一支柱支撐，求其中最長的支柱的長 解： 以拱頂為原點(diǎn)，水平線為軸，建立坐標(biāo)系，如圖，由題意知，、坐標(biāo)分別為、設(shè)拋物線方程為,將點(diǎn)坐標(biāo)代入，得解得，于是拋物線方程為 由題意知點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)橫坐標(biāo)也為2，將2代入得從而 故最長支柱長應(yīng)為3 84米 對(duì)稱問題36 在拋物線y2=4x上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+3對(duì)稱，求k的取值范圍分析：設(shè)B、C兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+3對(duì)稱，易得直線BC：x=－ky+m，由B、C兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+3對(duì)稱可得m與k的關(guān)系式，而直線BC與拋物線有兩交點(diǎn)，∴Δ＞0，即可求得k的范圍解法一：設(shè)B、C關(guān)于直線y=kx+3對(duì)稱，直線BC方程為x=－ky+m，代入y2＝4x，得y2＋4ky－4m=0，設(shè)B（x1，y1）、C（x2，y2），BC中點(diǎn)M（x0，y0），則y0＝＝－2k，x0＝2k2+m∵點(diǎn)M（x0，y0）在直線l上，∴－2k=k（2k2＋m）+3∴m=－又∵BC與拋物線交于不同兩點(diǎn)，∴Δ＝16k2＋16m＞0把m代入化簡(jiǎn)得＜0，即＜0，解得－1＜k＜0解法二：（點(diǎn)差法）設(shè)B（x1，y1）、C（x2，y2），BC中點(diǎn)M（x0，y0）必在曲線內(nèi)部且x1+x2＝2 x0， y1+y2＝2y0由∴ 即BC中點(diǎn)M的坐標(biāo)為必在曲線y2=4x內(nèi)部∴ ∴ 評(píng)述：對(duì)稱問題是高考的熱點(diǎn)之一，由對(duì)稱易得兩個(gè)關(guān)系式本題運(yùn)用了“設(shè)而不求”，解決本題的關(guān)鍵是由B、C兩點(diǎn)在拋物線上得“Δ＞0”題目 高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座直線與圓錐曲線問題的處理方法(1)高考要求 直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對(duì)稱問題、軌跡問題等 突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計(jì)算能力較高，起到了拉開考生“檔次”，有利于選拔的功能 重難點(diǎn)歸納 1 直線與圓錐曲線有無公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問題，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程是否有實(shí)數(shù)解成實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問題，此時(shí)要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法 2 當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí) 涉及弦長問題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(即應(yīng)用弦長公式)；涉及弦長的中點(diǎn)問題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化 同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍例3已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1與橢圓交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求橢圓方程 解 設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由 得(m+n)x2+2nx+n－1=0,Δ=4n2－4(m+n)(n－1)＞0,即m+n－mn＞0,由OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,∴+1=0,∴m+n=2 ①又22,將m+n=2,代入得mn= ②由①、②式得m=,n=或m=,n=故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1 例2 已知拋物線與直線⑴求證：拋物線與直線相交；⑵求當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在直線的下方時(shí)，的取值范圍；⑶當(dāng)在的取值范圍內(nèi)時(shí)，求拋物線截直線所得弦長的最小值分析：熟練掌握綜合運(yùn)用判別式、不等式討論直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、直線與曲線相交弦長等問題解：（1）由∵直線與拋物線總相交（2）其頂點(diǎn)為，且頂點(diǎn)在直線 的下方，即⑶設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為，∴ 當(dāng)點(diǎn)評(píng)：直線與圓錐曲線相交的問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為它們所對(duì)應(yīng)的方程構(gòu)成的方程組是否有解的問題 運(yùn)用“設(shè)而不求”求弦長例3 已知雙曲線和定點(diǎn)（I）過點(diǎn)可以做幾條直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；（II）雙曲線的弦中，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦是否存在？并說明理由　　分析：能夠綜合運(yùn)用直線方程、雙曲線方程及對(duì)稱性等幾何性質(zhì)來研究直線與雙曲線的位置關(guān)系解：（I）設(shè)過定點(diǎn)的直線的方程為：則，①當(dāng)時(shí)，即，解得或與雙曲線分別交于和②當(dāng)時(shí)，由得，即得切線切點(diǎn)為，另一切線為，切點(diǎn)為∴過點(diǎn)有4條直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)（II）設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，則因?yàn)闈M足雙曲線方程，所以 ，相減得 若弦存在，則必為，代入雙曲線方程得，方程的判別式，說明中點(diǎn)弦不存在 點(diǎn)評(píng)：要明確判斷直線與雙曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的方法步驟；用“點(diǎn)差法”和“設(shè)而不求”的方法處理中點(diǎn)弦例4 在拋物線y2=4x上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+3對(duì)稱，求k的取值范圍分析：設(shè)B、C兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+3對(duì)稱，易得直線BC：x=－ky+m，由B、C兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+3對(duì)稱可得m與k的關(guān)系式，而直線BC與拋物線有兩交點(diǎn)，∴Δ＞0，即可求得k的范圍解法一：設(shè)B、C關(guān)于直線y=kx+3對(duì)稱，直線BC方程為x=－ky+m，代入y2＝4x，得y2＋4ky－4m=0，設(shè)B（x1，y1）、C（x2，y2），BC中點(diǎn)M（x0，y0），則y0＝＝－2k，x0＝2k2+m∵點(diǎn)M