第34講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(編輯修改稿)
2025-07-26 15:44 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 當(dāng)時(shí)。由0得且時(shí)，方程組有兩解，直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)。若A、B在雙曲線的同一支，須0 ，所以或。故當(dāng)或時(shí)，A、B兩點(diǎn)在同一支上；當(dāng)時(shí)，A、B兩點(diǎn)在雙曲線的兩支上。點(diǎn)評(píng)：與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩種。一種是與漸近線平行的兩條與雙曲線交于一點(diǎn)的直線。另一種是與雙曲線相切的直線也有兩條。例5．（1）求直線被雙曲線截得的弦長；（2）求過定點(diǎn)的直線被雙曲線截得的弦中點(diǎn)軌跡方程。解析：由得得（*）設(shè)方程（*）的解為，則有 得，（2）方法一：若該直線的斜率不存在時(shí)與雙曲線無交點(diǎn)，則設(shè)直線的方程為，它被雙曲線截得的弦為對應(yīng)的中點(diǎn)為， 由得（*）設(shè)方程（*）的解為，則，∴，且，∴，得或。方法二：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為，弦中點(diǎn)為，則得：，∴， 即， 即（圖象的一部分）點(diǎn)評(píng)：（1）弦長公式；（2）有關(guān)中點(diǎn)弦問題的兩種處理方法。例7．過雙曲線的一焦點(diǎn)的直線垂直于一漸近線，且與雙曲線的兩支相交，求該雙曲線離心率的范圍。解析：設(shè)雙曲線的方程為，漸近線，則過的直線方程為，則，代入得，∴即得，∴，即得到。點(diǎn)評(píng)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系經(jīng)常和圓錐曲線的幾何要素建立起對應(yīng)關(guān)系，取值范圍往往與判別式的取值建立聯(lián)系。題型3：直線與拋物線的位置關(guān)系例8．已知拋物線方程為，直線過拋物線的焦點(diǎn)F且被拋物線截得的弦長為3，求p的值。解析：設(shè)與拋物線交于 由距離公式|AB|== 由 從而由于p0，解得點(diǎn)評(píng)：方程組有兩組不同實(shí)數(shù)解或一組實(shí)數(shù)解則相交；有兩組相同實(shí)數(shù)解則相切；無實(shí)數(shù)解則相離。例9．2003上海春，4）直線y=x－1被拋物線y2=4x截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是_____.答案：（3，2）解法一：設(shè)直線y=x－1與拋物線y2=4x交于A(x1，y1),B（x2，y2）,其中點(diǎn)為P（x0，y0）。由題意得，（x－1）2=4x，x2－6x+1=0?！鄕0===x0－1=2.∴P（3，2）。解法二：y22=4x2，y12=4x1，y22－y12=4x2－4x1，=4.∴y1+y2=4，即y0=2，x0=y0+1=3。故中點(diǎn)為P（3，2）。點(diǎn)評(píng)：。例10．（1997上海）拋物線方程為y2=p（x+1）（p＞0），直線x+
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