第33講圓錐曲線方程及性質(zhì)(編輯修改稿)
2025-07-26 16:30 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ，又∵，∴，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．（6）設(shè)橢圓方程為（）， 由得，所以，橢圓方程為．點(diǎn)評(píng)：求橢圓的方程首先清楚橢圓的定義，還要知道橢圓中一些幾何要素與橢圓方程間的關(guān)系。例2．（1）（06山東）已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F（－2，0），且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 。（2）（06天津理，8）橢圓的中心為點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)為，相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程為，則這個(gè)橢圓的方程是（ ?。粒? Ｂ．Ｃ． Ｄ．解析：（1）已知為所求；（2）橢圓的中心為點(diǎn)它的一個(gè)焦點(diǎn)為∴ 半焦距，相應(yīng)于焦點(diǎn)F的準(zhǔn)線方程為 ∴ ，則這個(gè)橢圓的方程是，選D。點(diǎn)評(píng)：求橢圓方程的題目屬于中低檔題目，掌握好基礎(chǔ)知識(shí)就可以。題型2：橢圓的性質(zhì)例3．（1）（06山東理，7）在給定橢圓中，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，則該橢圓的離心率為（ ）(A) (B) (C) (D)（2）（1999全國(guó)，15）設(shè)橢圓=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F1，右準(zhǔn)線為l1，若過(guò)F1且垂直于x軸的弦的長(zhǎng)等于點(diǎn)F1到l1的距離，則橢圓的離心率是 。解析：（1）不妨設(shè)橢圓方程為（ab0），則有，據(jù)此求出e＝，選B。（2）；解析：由題意知過(guò)F1且垂直于x軸的弦長(zhǎng)為，∴，∴，∴，即e=。點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了橢圓的基本性質(zhì)。例4．（1）（2000京皖春，9）橢圓短軸長(zhǎng)是2，長(zhǎng)軸是短軸的2倍，則橢圓中心到其準(zhǔn)線距離是（ ）A. B. C. D.（2）（1998全國(guó)理，2）橢圓=1的焦點(diǎn)為F1和F2，那么|PF1|是|PF2|的（ ） 解析：（1）D；由題意知a=2，b=1，c=，準(zhǔn)線方程為x=177。，∴橢圓中心到準(zhǔn)線距離為．（2）A；不妨設(shè)F1（－3，0），F(xiàn)2（3，0）由條件得P（3，177。），即|PF2|=，|PF1|=，因此|PF1|=7|PF2|，故選A。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的定義及數(shù)形結(jié)合思想，具有較強(qiáng)的思辨性，是高考命題的方向。題型3：雙曲線的方程例5．（1）已知焦點(diǎn)，雙曲線上的一點(diǎn)到的距離差的絕對(duì)值等于，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求與橢圓共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的方程；（3）已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，并且雙曲線上兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解析：（1）因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∵，∴，∴。所以所求雙曲線的方程為；（2）橢圓的焦點(diǎn)為，可以設(shè)雙曲線的方程為，則。又∵過(guò)點(diǎn)，∴。綜上得，所以。點(diǎn)評(píng)：雙曲線的定義；方程確定焦點(diǎn)的方法；基本量之間的關(guān)系。（3）因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為①；∵點(diǎn)在雙曲線上，∴點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程①。將分別代入方程①中，得方程組：將和看著整體，解得，∴即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。點(diǎn)評(píng)：本題只要解得即可得到雙曲線的方程，沒(méi)有必要求出的值；在求解的過(guò)程中也可以用換元思想，可能會(huì)看的更清楚。例6．(06上海卷)已知雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,且焦
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