【正文】 設(shè)橢圓方程為由已知，由解得a=3，∴為所求（Ⅱ）解法一：設(shè)直線l的方程為y=kx+b(k≠0)解方程組將①代入②并化簡(jiǎn)，得將④代入③化簡(jiǎn)后，得解得∴中點(diǎn)弦問(wèn)題 具有斜率的弦中點(diǎn)問(wèn)題，常用設(shè)而不求法（點(diǎn)差法）：設(shè)曲線上兩點(diǎn)為，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式，消去四個(gè)參數(shù)。 11 給定雙曲線。過(guò)A（2，1）的直線與雙曲線交于兩點(diǎn) 及，求線段的中點(diǎn)P的軌跡方程。 分析：設(shè)，代入方程得。 兩式相減得 。 又設(shè)中點(diǎn)P（x,y），將，代入，當(dāng)時(shí)得 。 又， 代入得。當(dāng)弦斜率不存在時(shí)，其中點(diǎn)P（2，0）的坐標(biāo)也滿足上述方程。因此所求軌跡方程是 說(shuō)明：本題要注意思維的嚴(yán)密性，必須單獨(dú)考慮斜率不存在時(shí)的情況。，焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線相交于P、Q兩點(diǎn)，且，求此橢圓方程。 解：設(shè)橢圓方程為，直線與橢圓相交于P、兩點(diǎn)。 由方程組消去后得 由，得 （1） 又P、Q在直線上， 把（1）代入，得， 即 化簡(jiǎn)后，得 （4） 由，得 把（2）代入，得，解得或 代入（4）后，解得或 由，得。 所求橢圓方程為 評(píng)注：此題充分利用了韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略，簡(jiǎn)化了計(jì)算。13. 直線被橢圓所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是（ ） A. B. C. D. ，則a=（ ）A． B． C． D．?dāng)?shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系1已知直線與橢圓始終有交點(diǎn)，求的取值范圍思路點(diǎn)撥：直線方程的特點(diǎn)是過(guò)定點(diǎn)（0，1），橢圓的特點(diǎn)是過(guò)定點(diǎn)（2，0）和（2，0），和動(dòng)點(diǎn)。解：根據(jù)直線的方程可知，直線恒過(guò)定點(diǎn)（0，1），橢圓過(guò)動(dòng)點(diǎn)，如果直線和橢圓始終有交點(diǎn)，則，即。規(guī)律提示：通過(guò)直線的代數(shù)形式，可以看出直線的特點(diǎn)：證明直線過(guò)定點(diǎn)，也是將滿足條件的直線整理成以上三種形式之一，再得出結(jié)論。1設(shè)、分別是橢圓的左右焦點(diǎn)．是否存在過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D，使得？若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．分析：由得，點(diǎn)C、D關(guān)于過(guò)的直線對(duì)稱，由直線l過(guò)的定點(diǎn)A(5,0)不在的內(nèi)部，可以設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立方程組，得一元二次方程，根據(jù)判別式，得出斜率k的取值范圍，由韋達(dá)定理得弦CD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，由點(diǎn)M和點(diǎn)F1的坐標(biāo)，得斜率為，解出k值，看是否在判別式的取值范圍內(nèi)。解：假設(shè)存在直線滿足題意，由題意知，過(guò)A的直線的斜率存在，且不等于。設(shè)直線l的方程為：，C、D，CD的中點(diǎn)M。由得：，又直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D，則，即。由韋達(dá)定理得：，則，M(，)。又點(diǎn)，則直線的斜率為，根據(jù)得：，即，此方程無(wú)解，即k不存在，也就是不存在滿足條件的直線。老師提醒：通過(guò)以上2個(gè)例題和2個(gè)練習(xí)，我們可以看出，解決垂直平分線的問(wèn)題，即對(duì)稱問(wèn)題分兩步：第一步，有弦所在的直線和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程（或類一元二次方程），通過(guò)判別式得不等式，由韋達(dá)定理得出弦中點(diǎn)的坐標(biāo)；第二步是利用垂直關(guān)系，得出斜率之積為1，或者是利用中點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸直線的斜率，寫出垂直平分線的方程，就可以解決問(wèn)題。需要注意的一點(diǎn)是，求出的參數(shù)一定要滿足判別式。17 已知拋物線與直線⑴求證：拋物線與直線相交；⑵求當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在直線的下方時(shí)，的取值范圍；⑶當(dāng)在的取值范圍內(nèi)時(shí)，求拋物線截直線所得弦長(zhǎng)的最小值分析：熟練掌握綜合運(yùn)用判別式、不等式討論直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、直線與曲線相交弦長(zhǎng)等問(wèn)題解：（1）由∵直線與拋物線總相交（2）其頂點(diǎn)為，且頂點(diǎn)在直線 的下方，即⑶設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為，∴ 當(dāng)點(diǎn)評(píng)：直線與圓錐曲線相交的問(wèn)題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為它們所對(duì)應(yīng)的方程構(gòu)成的方程組是否有解的問(wèn)題 運(yùn)用“設(shè)而不求”求弦長(zhǎng)范圍問(wèn)題（本質(zhì)是函數(shù)問(wèn)題）18．在拋物線y=x2上求一點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到直線xy3=0的距離最短。解一：設(shè)拋物線y=x2上點(diǎn)P(x0,y0)到直線xy3=0的距離最短。則d= 因?yàn)镻(x0,y0)在y=x2上，所以y0=x02, 代入距離公式得：d=＝＝ 當(dāng)x0=，d有最小值。此時(shí)，y0= 所以點(diǎn)P() 解二：將直線xy3=0往上平移，與拋物線在點(diǎn)P(x0,y0)處相切。此時(shí)，點(diǎn)P到直線xy3=0的距離最短。 依題意：切線的斜率為1。 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義， 而 所以2x0=1 x0=, 解三：將直線xy3=0往上平移，與拋物線在點(diǎn)P(x0,y0)處相切。此時(shí)，點(diǎn)P到直線xy3=0的距離最短。 依題意切線的斜率為1，可設(shè)切線方程為：y=x+b 建立方程組得： 相切，則，即1+4b=0, 代入得， 19．已知若動(dòng)點(diǎn)P滿足 （1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方C的方程； （2）設(shè)Q是曲線C上任意一點(diǎn)，求Q到直線的距離的最小值.解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），則由已知得∴點(diǎn)P的軌跡方程是橢圓C：（2）解一：由幾何性質(zhì)意義知，橢圓C與平行的切線其中一條l‘和l的距離等于Q與l的距離的最小值。設(shè)代入橢圓方程消去x化簡(jiǎn)得：解二：由集合意義知，橢圓C與平行的切線其中一條l‘和l的距離等于Q與l的距離的最小值。設(shè)切點(diǎn)為解得解三：由橢圓參數(shù)方程設(shè)）則Q與l距離20．已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是的左、右頂點(diǎn)，而的左、右頂點(diǎn)分別是的左、右焦點(diǎn)。（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且（其中O為原點(diǎn)），求的范圍。解：（1）設(shè)雙曲線的方程為 （1分）則，再由得， （3分）故的方程為 （4分）（2）將代入得 （5分）由直線與雙曲線C2交于不同的兩點(diǎn)得： （7分）且① （8分）設(shè)，則 （10分）又，得 即，解得：② （12分）由①、②得：故k的取值范圍為。 （14分）21已知直線經(jīng)過(guò)橢圓 21世紀(jì)教育網(wǎng) 的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)和橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線，與直線分別交于兩點(diǎn)。 （I）求橢圓的方程； （Ⅱ）求線段MN的長(zhǎng)度的最小值； 解法一：（I）由已知得，橢圓的左頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)為 故橢圓的方程為（Ⅱ）直線AS的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，從而由得0設(shè)則得，從而 21世紀(jì)教育網(wǎng) 即又由得故又 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立21世紀(jì)教育網(wǎng) 時(shí)，線段的長(zhǎng)度取最小值22：已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率。 （Ⅰ）求橢圓方程； （Ⅱ）若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、且線段的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)，求的取值范圍。分析：第一問(wèn)中已知橢圓的離心率，可以得到的關(guān)系式，再根據(jù)“過(guò)點(diǎn)”得到的第2個(gè)關(guān)系式，解方程組，就可以解出的值，確定橢圓方程。第二問(wèn)，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，通過(guò)判別式得出的不等式，再根據(jù)韋達(dá)定理，得出弦MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用弦的直線方程，得到中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)和定點(diǎn)，得垂直平分線的斜率，有垂直平分線的斜率和弦的斜率之積為1，可得的等式，用k表示m再代入不等式，就可以求出k的取值范圍。解：（Ⅰ）離心率，即（1）；又橢圓過(guò)點(diǎn)，則，（1）式代入上式，解得，橢圓方程為。（Ⅱ）設(shè)，弦MN的中點(diǎn)A由得：，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，即………………（1）由韋達(dá)定理得：，則，直線AG的斜率為：，由直線AG和直線MN垂直可得：，即，代入（1）式，可得，即，則。老師支招：如果只說(shuō)一條直線和橢圓相交，沒(méi)有說(shuō)直線過(guò)點(diǎn)或沒(méi)給出直線的斜率，就直接設(shè)直線的方程為：，再和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化成一元二次方程，就能找到解決問(wèn)題的門路。本題解決過(guò)程中運(yùn)用了兩大解題技巧：與韋達(dá)定理有關(guān)的同類坐標(biāo)變換技巧，與點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)有關(guān)的同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換技巧。解決直線和圓錐曲線的問(wèn)題的關(guān)鍵就是充分、靈活的運(yùn)用這兩大解題技巧。、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)。（Ⅰ）若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值；（Ⅱ）設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、且∠為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍。本題主要考察直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題及推理計(jì)算能力。解：（Ⅰ）解法一：易知所以，設(shè)，則因?yàn)椋十?dāng)，即點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值當(dāng)，即點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值解法二：易知，所以，設(shè)，則（以下同解法一）（Ⅱ）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線，聯(lián)立，消去，整理得：∴由得：或又∴又∵，即 ∴故由①、②得或面積問(wèn)題：（a＞b＞0）的離心率為短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為。（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值。解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，所求橢圓方程為。（Ⅱ）設(shè)。（1）當(dāng)軸時(shí)。（2）當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為。由已知，得。把代入橢圓方程，整理得。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立。當(dāng)時(shí)，綜上所述。當(dāng)最大時(shí)，面積取最大值。25如圖，直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，記的面積為。（Ⅰ）求在，的條件下，的最大值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求直線AB的方程。本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分14分。解：（Ⅰ）解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，解得，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最在值1，（Ⅱ）解：由得 設(shè)到的距離為，則又因?yàn)樗源擘谑讲⒄恚媒獾?，代入①式檢驗(yàn)。故直線的方程是。求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法.(1)直接法 直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程.(2)定義法 若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求.(3)相關(guān)點(diǎn)法 根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，通過(guò)轉(zhuǎn)換而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.(4)參數(shù)法 若動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個(gè)變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程.，點(diǎn)P到兩點(diǎn)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為，直線與C交于A，B兩點(diǎn)．（Ⅰ）寫出C的方程；（Ⅱ）若，求k的值；（Ⅲ）若點(diǎn)A在第一象限，證明：當(dāng)k0時(shí)，恒有||||．本小題主要考查平面向量，橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與橢圓位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)解決問(wèn)題的能力．滿分12分．解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓．它的短半軸，故曲線C的方程為． 3分（Ⅱ）設(shè)，其坐標(biāo)滿足消去y并整理得，故． 5分若，即．而，于是，化簡(jiǎn)得，所以． 8分27．已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與直線相切.(1) 求動(dòng)圓的圓心軌跡的方程；(2) 是否存在直線，使過(guò)點(diǎn)（0，1），并與軌跡交于兩點(diǎn)，且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由.（1）如圖，設(shè)為動(dòng)圓圓心， ，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，由題意知：， ………………………………………………2分即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線， ∴ 動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 ……