【正文】 1. 已知橢圓C的焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率為。（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)A、B為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過原點(diǎn)O作直線AB的垂線OD，垂足為D，求點(diǎn)D的軌跡方程．1. （1）設(shè)橢圓C的方程為．由題意可得：， （2）（1）當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為， ， 即， ① 又， ②又點(diǎn)在直線AB上， ③ 把②③代入①得，點(diǎn)D的軌跡方程為 （2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，滿足點(diǎn)D的軌跡方程為 8. 已知傾斜角為的直線過點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限。（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求的值；（1）設(shè)， ， （2）設(shè)由 得， ， 19. （廣東省惠州市2010屆高三第三次調(diào)研理科）（本小題滿分14分） 已知點(diǎn)是⊙：上的任意一點(diǎn)，過作垂直軸于,動(dòng)點(diǎn)滿足。（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）已知點(diǎn)，在動(dòng)點(diǎn)的軌跡上是否存在兩個(gè)不重合的兩點(diǎn)、使 (O是坐標(biāo)原點(diǎn))，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由。1解：（1）設(shè)，依題意，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ……………1分∴ ………………………2分又 ∴ ………………………4分∵ 在⊙上，故 ∴ ………………………5分∴ 點(diǎn)的軌跡方程為 ………………………6分（2）假設(shè)橢圓上存在兩個(gè)不重合的兩點(diǎn)滿足，則是線段MN的中點(diǎn)，且有…9分[來源:學(xué)科網(wǎng)]又 在橢圓上∴ 兩式相減，得 ……12分∴ ∴ 直線MN的方程為 ∴ 橢圓上存在點(diǎn)、滿足，此時(shí)直線的方程為 …………………………14分5．已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是，.直線相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為－2.(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。(Ⅱ)若過點(diǎn)的直線交動(dòng)點(diǎn)M的軌跡于C、D兩點(diǎn), 且N為線段CD的中點(diǎn)，求直線的方程.解: (Ⅰ)設(shè)……………………………………………………………………………1分因?yàn)?所以……………………………………..3分化簡得:. ……………………………………………………………..4分(Ⅱ) 設(shè) 當(dāng)直線⊥x軸時(shí),直線的方程為,則,其中點(diǎn)不是N,不合題意…………………………………………6分設(shè)直線的方程為 將代入得…………(1) …………(2) ……………………………….8分(1)(2)整理得: ……………………………11分直線的方程為即所求直線的方程為……………………………………………解法二: 當(dāng)直線⊥x軸時(shí),直線的方程為,則,其中點(diǎn)不是N,不合題意.故設(shè)直線的方程為,將其代入化簡得由韋達(dá)定理得,又由已知N為線段CD的中點(diǎn),得,解得,將代入(1)式中可知滿足條件.此時(shí)直線的方程為,即所求直線的方程為9．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過、三點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若直線：（）與橢圓交于、兩點(diǎn)，證明直線與直線的交點(diǎn)在直線上．（Ⅰ）解法一：當(dāng)橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)其方程為（），則，又點(diǎn)在橢圓上，得．解得．∴橢圓的方程為．當(dāng)橢圓E的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)其方程為（），則，又點(diǎn)在橢圓上，得．解得，這與矛盾．綜上可知，橢圓的方程為． ……4分解法二：設(shè)橢圓方程為（），將、代入橢圓的方程，得解得，．∴橢圓的方程為． ……4分（Ⅱ）證法一：將直線：代入橢圓的方程并整理，得， ……6分設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)，由根與系數(shù)的關(guān)系，得，． ……8分直線的方程為：，它與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，同理可求得直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為． ……10分下面證明、兩點(diǎn)重合，即證明、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等：∵，∴．因此結(jié)論成立．綜上可知，直線與直線的交點(diǎn)在直線上． ……14分證法二：將直線：，代入橢圓的方程并整理，得， ……6分設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)，由根與系數(shù)的關(guān)系，得，． ……8分直線的方程為：，即．直線的方程為：，即． ……10分由直線與直線的方程消去，得 ．∴直線與直線的交點(diǎn)在直線上． ……14分11．已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是的左、右頂點(diǎn)，而的左、右頂點(diǎn)分別是的左、右焦點(diǎn)。（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且（其中O為原點(diǎn)），求的范圍。解：（1）設(shè)雙曲線的方程為 （1分）則，再由得， （3分）故的方程為 （4分）（2）將代入得 （5分）由直線與雙曲線C2交于不同的兩點(diǎn)得： （7分）且① （8分）設(shè)，則 （10分）又，得 即，解得：② （12分）由①、②得：故k的取值范圍為。 （14分）16．已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切.(1) 求動(dòng)圓的圓心軌跡的方程；(2) 是否存在直線，使過點(diǎn)（0，1），并與軌跡交于兩點(diǎn)，且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.（1）如圖，設(shè)為動(dòng)圓圓心， ，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，由題意知：， ………………………………………………2分即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線， ∴ 動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 ………………………5分（2）由題可設(shè)直線的方程為，由得 △， ………………………………………………………………………………7分設(shè)，則，……………………………………………9分 由，即 ，于是，……11分即， ，解得或（舍去），…………………………………13分又， ∴ 直線存在，其方程為 ………………………………………14分17．已知若動(dòng)點(diǎn)P滿足 （1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方C的方程； （2）設(shè)Q是曲線C上任意一點(diǎn)，求Q到直線的距離的最小值.解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），則由已知得∴點(diǎn)P的軌跡方程是橢圓C：（2）解一：由幾何性質(zhì)意義知，橢圓C與平行的切線其中一條l‘和l的距離等于Q與l的距離的最小值。設(shè)代入橢圓方程消去x化簡得：解二：由集合意義知，橢圓C與平行的切線其中一條l‘和l的距離等于Q與l的距離的最小值。設(shè)切點(diǎn)為解得解三：由橢圓參數(shù)方程設(shè)）則Q與l距離12．在拋物線y=x2上求一點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到直線xy3=0的距離最短。解一：設(shè)拋物線y=x2上點(diǎn)P(x0,y0)到直線xy3=0的距離最短。則d= 因?yàn)镻(x0,y0)在y=x2上，所以y0=x02, 代入距離公式得：d=＝＝ 當(dāng)x0=，d有最小值。此時(shí)，y0= 所以點(diǎn)P()13某拋物線形拱橋跨度是20米，拱高4米，在建橋時(shí)每隔4米需用一支柱支撐，求其中最長的支柱的長 解： 以拱頂為原點(diǎn)，水平線為軸，建立坐標(biāo)系，如圖，由題意知，、坐標(biāo)分別為、設(shè)拋物線方程為,將點(diǎn)坐標(biāo)代入，得解得，于是拋物線方程為 由題意知點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)橫坐標(biāo)也為2，將2代入得從而 故最長支柱長應(yīng)為3 84米 ，焦點(diǎn)在x 軸上，離心率為，且橢圓經(jīng)過圓C：的圓心C。（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線過橢圓的焦點(diǎn)且與圓C相切，求直線的方程。解：（1）圓C方程化為：，圓心C………………………………………………………1分設(shè)橢圓的方程為，則……………………………………..2分所以所求的橢圓的方程是： ………………………………………….6分（2）由（1）得到橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，在C內(nèi)，故過沒有圓C的切線……………………………………………….8分設(shè)的方程為……………………………………….9分 點(diǎn)C到直線的距離為d,由＝…………………………………………….11分化簡得：解得：…………………………………………………………13分故的方程為……………………………14分，且與定直線相切.（I）求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；（II）若是軌跡C的動(dòng)弦，且過， 分別以、為切點(diǎn)作軌跡C的切線，設(shè)兩切線交點(diǎn)為Q，證明:.解：（I）依題意，圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線上……2分 因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離等于4, 所以圓心的軌跡是………………….5分（II） …………….6分， ， ………8分拋物線方程為 所以過拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線斜率分別是， ，所以，以為圓心的圓與直線相切．（1）求圓的方程；（2）已知、圓內(nèi)動(dòng)點(diǎn)滿足，求的取值范圍．解（1）依題意，圓的半徑等于圓心到直線的距離，即∴圓的方程為． （2）設(shè)，由，得，即．?dāng)?shù)學(xué)驛站 ∵點(diǎn)在圓內(nèi)，∴，∴的取值范圍為． ，斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)A、B，如果弦的長度為。 ⑴求的值；⑵求證：（O為原點(diǎn)）。解⑴直線AB的方程為，聯(lián)立方程,消去y得,.設(shè)A(),B(),得 解得⑵、點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）若點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)的軌跡上的一點(diǎn)，是軸上的一動(dòng)點(diǎn)，試討論直線與圓的位置關(guān)系．解：（1）設(shè)，則，．由，得，化簡得．所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（2）由在軌跡上，則，解得，即．當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線與圓相離．當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即．圓的圓心到直線的距離，令，解得；令，解得；令，解得．綜上所述，當(dāng)時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)時(shí)，直線與圓相離．19．已知 （1）求點(diǎn)的軌跡C的方程； （2）若直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，并且A、B在y軸的同一側(cè)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍. （3）設(shè)曲線C與x軸的交點(diǎn)為M，若直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)k，使得以AB為直徑的圓恰好過點(diǎn)M？若有，求出k的值；若沒有，寫出理由.解：（1）由 又，故所求的軌跡方程是 （2）設(shè)、把，得 ∵A、B在y軸的同一側(cè)，得到 綜上，得. （3）由（2）得…① …② ……③∵曲線C與x軸交點(diǎn)、若存在實(shí)數(shù)k，符合題意，則不妨取點(diǎn)將①②③式代入上式，整理得到，解得舍去）根據(jù)曲線的對稱性，知存在實(shí)數(shù)，使得以AB為直徑的圓恰好過M點(diǎn)20．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)FF2和動(dòng)點(diǎn)P，F(xiàn)F2的坐標(biāo)分別為F1（－1，0），F(xiàn)2（1，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，曲線C關(guān)于直線y＝x的對稱曲線為曲線C′，直線與曲線C′交于A、B兩點(diǎn)，O是C′的對稱中心，△ABO的面積為。（Ⅰ）求曲線C的方程；（Ⅱ）求m的值。．解：（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）則所以曲線C的方程為 （2）曲線C是以（－3，0）為圓心，為半徑的圓，曲線C′也應(yīng)該是一個(gè)半徑為 的圓，點(diǎn)（－3，0）關(guān)于直線y＝x的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，－3），所以曲線C′的方程為又O是C′對稱中心，則O（0，－3）到直線的距離d為所以。73