直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系典型例題-資料下載頁(yè)
2025-07-22 17:02本頁(yè)面
【正文】 0),(0,b)。由解得曲線(xiàn)L與x軸交于點(diǎn)(0,0),(a,0)。當(dāng)a=0，b=0，即點(diǎn)P(a,b)為原點(diǎn)時(shí)，(a,0)、（0,b）與(0,0)重合，曲線(xiàn)L與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)(0,0)。當(dāng)a=0，且0|b|≤1，即點(diǎn)P(a,b)不在橢圓C外且在除去原點(diǎn)的y軸上時(shí)，曲線(xiàn)L與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)(0，b)與(0,0)。同理，當(dāng)b=0且0|a|≤1時(shí)，曲線(xiàn)成坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)（a,0）,（0,0）。當(dāng)0|a|≤1，0|b|≤1，即點(diǎn)P(a,b)不在橢圓C外且不在坐標(biāo)軸上時(shí)，曲線(xiàn)L與坐標(biāo)有三個(gè)交點(diǎn)(a,0)、(0,b)與(0,0)。例8 在直角坐標(biāo)系中，△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)C、A的坐標(biāo)分別為(0,0)、(2，0)，三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿(mǎn)足2sinB=(sinA+sinC)。（1）求頂點(diǎn)B的軌跡方程；（2）過(guò)頂點(diǎn)C作傾斜角為θ的直線(xiàn)與頂點(diǎn)B的軌跡交于P、Q兩點(diǎn)，當(dāng)θ∈(0, )時(shí)，求△APQ面積S(θ)的最大值。解 （1）設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c。由正弦定理===2R?！?sinB=(sinA+sinC)∴2b=(a+c)∵b=2∴a+c=4即|BC|+|BA|=4.由橢圓定義知，B點(diǎn)軌跡是以C、A為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，中心在（，0）的橢圓。∴B點(diǎn)軌跡方程為+y2=1(y≠0)（2）設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為y=xtanθ，θ∈（0，），由得(1+4tan2θ)x2 2x1=0。設(shè)方程兩根為xx2,則x1+x2=, x1x2=∴|PQ|====∵點(diǎn)A到直線(xiàn)PQ的距離d==，(∵θ∈(0, ), ∴tanθ0)∴S(θ)= |PQ|d=====≤2當(dāng)且僅當(dāng)sinθ=時(shí)，即sinθ=,θ=arcsin時(shí)，等號(hào)成立。∴s(θ)的最大值為2。例9 設(shè)拋物線(xiàn)y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上，且BC∥x軸。證明直線(xiàn)AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O（2001年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題）證明一 如圖104，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F（，0），所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)AB的方程可設(shè)為x=my+。代入拋物線(xiàn)方程得y22pmyp2=0。若記A(x1,y1),B(x2,y2)，則y1,y2是該方程的兩個(gè)根，所以y1y2= p2。因?yàn)锽C∥x軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線(xiàn)x= 上，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(,y2)，故直線(xiàn)CO的斜率為k===。即k也是直線(xiàn)OA的斜率，所以直線(xiàn)AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O 。證明二 如圖105，記x軸與拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)l的交點(diǎn)為E，過(guò)A作AD⊥l，D是垂足，則AD∥FE∥BC。連結(jié)AC，與EF相交于點(diǎn)N，則==，=，根據(jù)拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)，|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，∴|EN|===|NF|，即點(diǎn)N是EF的中點(diǎn)，與拋物線(xiàn)頂點(diǎn)O重合，所以直線(xiàn)AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O。例10如圖106，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，點(diǎn)E分有向線(xiàn)所成的比例為λ，雙曲線(xiàn)過(guò)C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)。當(dāng)≤λ≤時(shí)，求雙曲線(xiàn)離心率e的取值范圍（2000年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題）。 解 如圖107，以AB的垂直平分線(xiàn)為y軸，直線(xiàn)AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系xOy,則CD⊥y軸。因?yàn)殡p曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知C、D關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。依題意，記A(c,0),C(,h),E(x0,y0)，其中c=|AB|為雙曲線(xiàn)的半焦距，h是梯形的高。由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得x0==,y0=設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為=1，則離心率e=。由點(diǎn)C、E在雙曲線(xiàn)上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和e=代入雙曲線(xiàn)方程得=1 ①()2()2=1 ②由①式得 =1 ③將③式代入②式，整理得 (44λ)=1+2λ，故λ=1。由題設(shè)≤λ≤得，≤1≤，解得≤e≤。所以雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍為[，]。
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