【導(dǎo)讀】且垂直長軸的弦長為1．求橢圓1C的方程；設(shè)點P在拋物線2C：2()yxhh???則拋物線2C在點P處的切線斜率為。，直線MN的方程為22ytxth???，將上式代入橢圓1C的方程中，得。成立，因此h的最小值為1．。的離心率為3，右準(zhǔn)線方程為。處的切線，l與雙曲線C交于不同的兩點,AB，證明AOB?00,Pxy處的切線方程為??設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為????方程②的判別式均大于零）.切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且OAOB?？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取。值范圍，若不存在說明理由。

　　

【正文】 ? ? ? ? ??? ????????kkF M F N x x y y kk 化簡得 4240 23 17 0? ? ?kk 解得 22 171 40或 (舍 去 )? ? ?kk ∴ 1??k ∴ 所求直線 l 的方程為 11或? ? ? ? ?y x y x 14.(2020 湖南卷理 )在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點 P 到點 F（ 3， 0）的距離的 4 倍與它到直線 x=2 的距離的 3 倍之和記為 d，當(dāng) P 點運(yùn)動時， d 恒等于點 P 的橫坐標(biāo)與 18 之和 （Ⅰ）求點 P 的軌跡 C；（Ⅱ）設(shè)過點 F 的直線 l 與軌跡 C 相交于 M， N 兩點，求線段 MN 長度的最大值。 解 （Ⅰ）設(shè)點 P 的坐標(biāo)為（ x， y），則 224 ( 3)d x y? ? ? ?3︳ x2︳ 由題設(shè) 當(dāng) x2 時，由①得 22 1( 3 ) 6 ,2x y x? ? ? ? 化簡得 27xy?? 當(dāng) 2x? 時 由①得 22(3 ) 3 ,x y x? ? ? ?化簡得 2 12yx? 故點 P 的軌跡 C 是橢圓 221 :136 27xyC ??在直線 x=2 的右側(cè)部分與 拋物線 22 : 12C y x? 在直線 x=2 的左側(cè)部分（包括它與直線 x=2 的交點） 所組成的曲線，參見圖 1 （ Ⅱ ）如圖 2 所示，易知直線 x=2 與 1C ， 2C 的交點都是 A（ 2， 26）， B（ 2， 26? ）， 直線 AF， BF 的斜率分別為 AFk = 26? ， BFk =26. 當(dāng)點 P 在 1C 上時，由②知 16 2PF x?? . ④ 當(dāng)點 P 在 2C 上時，由③知 3PF x?? ⑤ 若直線 l 的斜率 k 存在，則直線 l 的方程為 ( 3)y k x?? （ i）當(dāng) k≤ AFk ，或 k≥ BFk ，即 k≤ 2 6 時，直線 I與軌跡 C的兩個交點 M（ 1x ， 1y ），N（2x，2y）都在 C 1 上，此時由 ④ 知 ∣ MF∣ = 6 12 1x ∣ NF∣ = 6 122x 從而∣ MN∣ = ∣ MF∣ + ∣ NF∣ = （ 6 12 1x ） + （ 6 122x） =12 12 ( 1x +2x) 由 22( 3)136 27y k xxy????? ???? 得 2 2 2 2( 3 4 ) 24 36 108 0k x k x k? ? ? ? ? 則 1x ， 1y 是這個方程的兩根，所以 1x +2x= 222434kk?*∣ MN∣ =12 12 （ 1x +2x） =12 221234kk? 因為 當(dāng) 22 6 , 6 , 2 4 ,kk? ? ?或 k2 時 22212 12 10012 12 .13 4 114kMNk k? ? ? ? ?? ? 當(dāng)且僅當(dāng) 26k?? 時，等號成立。 （ 2 ）當(dāng) , 2 6 2 6A E A Nk k k k? ? ? ? ?時，直線 L 與 軌 跡 C 的 兩 個 交 點1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y 分別在 12,CC上，不妨設(shè)點 M 在 1C 上，點 2C 上，則 ④⑤ 知，1216 , 32M F x N F x? ? ? ? 設(shè)直線 AF 與橢圓 1C 的另一交點為 E 0 0 0 1 2( , ) , , y x x x??則 1 0 2116 6 , 3 3 222M F x x E F N F x A F? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 M N M F NF E F A F A E? ? ? ? ?。而點 A， E 都在 1C 上，且 2 6,AEk ?? 有（ 1）知 1 0 0 1 0 0,1 1 1 1A E M N??所 以 若直線 ? 的斜率不存在，則 1x = 2x =3，此時 121 1 0 01 2 ( ) 92 1 1M N x x? ? ? ? ? 綜上所述，線段 MN 長度的最大值為 10011. 15.（ 2020 年 上海卷理） 已知雙曲線 2 2: 1,2xcy??設(shè)過點 ( 3 2,0)A? 的直線 l 的方向向量(1, )ek?v 當(dāng)直線 l 與雙曲線 C 的一條漸近線 m 平行時，求直線 l 的方程及 l 與 m 的距 離； （ 1） 證明：當(dāng) k 22 時，在雙曲線 C的右支上不存在點 Q，使之到直線 l的距離為 6 。 （ 1） 解 雙曲線 C 的漸近線 : 2 0 .. .. .. .. .. .. 22xmy?? 分 ? 直線 l 的方程 2 3 2 0xy??? ? 直線 l 與 m 的距離 32 612d ??? （ 2） 證明 方法一 設(shè)過原點且平行與 l 的直線 :0b kx y?? 則直線 l 與 b 的距離2321 kd k? ? 當(dāng) 2 62kd??時 ， 又雙曲線 C 的漸近線為 20xy?? ?雙曲線 C 的右支在直線 b 的右下方， ?雙曲線 C 右支上的任意點到直線 l 的距離為 6 。 故在雙曲線 C 的右支上不存在點 Q ，使之到直線 l 的距離為 6 。 （ 2） 方法二 雙曲線 C 的右支上存在點 Q 00( , )xy 到直線 l 的距離為 6 ， 則 00 20032 6 , (1 )12 2 , ( 2)k x ykxy? ????? ?? ??? 由（ 1）得 200 3 2 6 1y k x k k? ? ? ?， 設(shè) t? 23 2 6 1kk?? 當(dāng) 22k? ， t? 23 2 6 1kk??? 0 將 00y kx t?? 代入（ 2）得 2 2 200(1 2 ) 4 2( 1 ) 0k x k tx t? ? ? ? ? （ *） 222 , 0 , 1 2 0 , 4 0 , 2 ( 1 ) 02k t k k t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?方程（ *）不存在正根，即假設(shè)不成立 故在雙曲線 C 的右支上不存在 Q，使之到直線 l 的距離為 6 16.（ 2020 重慶卷理） 已知以原點 O 為中心的橢圓的一條準(zhǔn)線方程為 433y? ，離心率32e? ， M 是橢圓上的動點． （ Ⅰ ）若 ,CD的坐標(biāo)分別是 (0, 3), (0, 3)? ，求 MC MD 的最大值 ； （ Ⅱ ）如題圖，點 A 的坐標(biāo)為 (1,0) ， B 是圓 221xy??上的點， N 是點 M 在 x 軸上的射影，點 Q 滿足條件： OQ OM ON??， 0QA BA? ．求線段 QB 的中點 P 的軌跡方程 ； 解 （Ⅰ）由題設(shè)條件知焦點在 y軸上，故設(shè)橢圓方程為 221xyab??（ a ＞ b＞ 0 ） . 設(shè) 22c a b??，由準(zhǔn)線方程 433y? 得 .由 32e? 得 32ca? ，解得 a = 2 ,c = 3 ，從而 b = 1，橢圓方程為 22 14yx ?? . 又易知 C， D兩點是橢圓 22 14yx ??的焦點，所以 , 24M C M D a? ? ? 從而 22( ) 2 42M C M DM C M D ?? ? ? ?，當(dāng)且僅當(dāng) MC D? ， 即點 M的坐標(biāo)為 ( 1,0)? 時上式取等號， MC MD? 的最大值為 4 . （ II）如圖（ 20）圖，設(shè) M ( , ), ( , )m m B Bx y B x y ( , )Qx y .因為 ( , 0) ,NN x O M O N O Q??，故 2 , ,Q N Q Mx x y y?? 2 2 2( 2 ) 4yQ Q Mx y x y? ? ? ? ① 因為 0,QA BA?? (1 ) (1 )(1 ) (1 ) 0 ,Q Q N nQ N Q Nx y x yx x y y? ? ? ? ?? ? ? ? ? 所以 1Q N Q N N Qx x y y x x? ? ? ?. ② 記 P點的坐標(biāo)為 ( , )PPxy ，因為 P是 BQ的中點 所以 2 , 2P Q P P Q Px x x y y y? ? ? ? 由因為 221NNxy??，結(jié)合 ①，②得 2 2 2 21 ( ( ) ( ) )4P P Q N Q Nx y x x y y? ? ? ? ? 2 2 2 21 ( 2 ( ) )4 Q N Q n Q N Q Nx x y y x x y y? ? ? ? ? ? 1 (5 2 ( 1))4QNxx? ? ? ? 34 Px?? 故動點 P的估計方程為 221( ) 12xy? ? ?