【正文】 ? ? ? ? ??? (2)當(dāng)∠ BOT=120176。時(shí) ,同理可求得點(diǎn) S 的坐標(biāo)為 (1,2 3) ,綜上 , 23(1, )3S 或 S(1,2 3) (Ⅱ )假設(shè)存在 ( 0)aa? ,使得 O,M,S 三點(diǎn)共線 . 由于點(diǎn) M 在以 SB 為直線的圓上 ,故 BT OS? . 顯然 ,直線 AS 的斜率 k 存在且 k0,可設(shè)直線 AS 的方程為 ()y k x a??. 由 2 2 2 2 2 2 2 4 2 22 1 ( 1 ) 2 0()x y a k x a k x a k aay k x a? ??? ? ? ? ? ??? ???得 設(shè)點(diǎn) 2 2 222( , ) , ( ) ,1T T T a k aT x y x a ak?? ? ? ? ? 故 22221T a a kx ak?? ?,從而222() 1TT aky k x a ak? ? ? ?. 亦即 222 2 2 22( , ).11a a k akT a k a k??? 222 2 2 222( , 0 ) , ( ( , ) )11a k a kB a B T a k a k??? ?? 由()xay k x a??? ???得 ( , 2 ), ( , 2 ).s a ak O S a ak?? 由 BT OS? ,可得 2 2 2 2224 012a k a kB T O S ak??? ? ??即 2 2 2 22 4 0a k a k? ? ? 0 , 0 , 2k a a? ? ? ? 經(jīng)檢驗(yàn) ,當(dāng) 2a? 時(shí) ,O,M,S 三點(diǎn)共線 . 故存在 2a? ,使得 O,M,S 三點(diǎn)共線 . 方法二 : (Ⅰ )同方 法一 . (Ⅱ )假設(shè)存在 a,使得 O,M,S 三點(diǎn)共線 . 由于 點(diǎn) M 在以 SO 為直徑的圓上 ,故 SM BT? . 顯然 ,直線 AS 的斜率 k 存在且 k0,可設(shè)直線 AS 的方程為 ()y k x a?? 由 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 1 ( 1 ) 2 0()x y a b x a k x a k aay k x a? ??? ? ? ? ? ??? ???得 設(shè)點(diǎn) ( , )TTT x y ,則有 4 2 222( ) .1T a k axa ak?? ? ? ? 故 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 222, ( ) ( ) .1 1 1T T Ta a k a k a a k a kx y k x a Ta a k a k a k a k??? ? ? ? ?? ? ? ?從 而 亦 即 221( , 0 ) , ,TB T S MTyB a k k a kx a a k? ? ? ? ?? 故 由()xay k x a??? ??? 得 S(a,2ak),所直線 SM 的方程為 22 ( )y ak a k x a? ? ? O,S,M 三點(diǎn)共線當(dāng)且僅當(dāng) O 在直線 SM 上 ,即 22 ( )ak a k a??. 0 , 0 , 2a K a? ? ? ? 故存在 2a? ,使得 O,M,S 三點(diǎn)共線 . 11.（ 2020遼寧卷文 、理 ） 已知，橢圓 C以過點(diǎn) A（ 1， 32 ），兩個(gè)焦點(diǎn)為（－ 1， 0）（ 1， 0）。 （ 1） 求橢圓 C的方程； （ 2） E,F 是橢圓 C 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線 AE的斜率與 AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線 EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值。 （Ⅰ） 解 由題 意， c＝ 1,可設(shè)橢圓方程為 22114xybb??? 。 因?yàn)?A在橢圓上，所以2219114bb???，解得 2b ＝ 3， 2b ＝ 34? （舍去）。 所以橢圓方程為 22143xy??． （Ⅱ） 證明 設(shè)直線 ＡＥ 方程：得 3( 1) 2y k x? ? ? ，代入 22143xy??得 2 2 233 + 4 + 4 ( 3 2 ) 4 ( ) 1 2 02k x k k x k? ? ? ? ?（ ） 設(shè) Ｅ （ Ex ， Ey ）， Ｆ （ Fx ， Fy ）．因?yàn)辄c(diǎn) Ａ （ 1， 32 ）在橢圓上， 所以 2234( ) 12234Ekxk???? ， 32EEy kx k? ? ?。 又直線 AF的斜率與 AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以 k? 代 k ，可得 2234( ) 12234Fkxk???? ， 32FFy kx k? ? ? ?。 所以直線 EF的斜率 ( ) 2 12F E F EEF F E F Ey y k x x kk x x x x? ? ? ?? ? ???。 即直線 EF的斜率為定值，其值為 12 。 12.（ 2020 寧夏海南卷理） 已知橢圓 C 的中心為直角坐標(biāo)系 xOy 的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 s 軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是 7 和 1. （ Ⅰ ）求橢圓 C 的方程； （ Ⅱ ）若 P為橢圓 C上的動(dòng)點(diǎn)， M 為過 P且垂直于 x 軸的直線上的點(diǎn)， OPOM=λ ，求點(diǎn) M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。 解 (Ⅰ )設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為 ac， ，由已知得 1 , 4 , 37ac acac??? ??? ??? 解 得 ， 所以橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 22116 7xy?? （Ⅱ）設(shè) ( , )Mx y ，其中 ? ?4,4x?? 。由 已知 2 22OPOM ??及點(diǎn) P 在橢圓 C 上可得 2 2229 11216( )xxy ?? ??。 整理得 2 2 2 2(16 9) 16 112xy??? ? ?，其中 ? ?4,4x?? 。 （ i） 34?? 時(shí)?；喌?29 112y ? 所以點(diǎn) M 的軌跡方程為 47 ( 4 4 )3yx? ? ? ? ?，軌跡是兩條平行于 x 軸的線段。 （ ii） 34??時(shí)，方程變形為 222211 1 2 1 1 21 6 9 1 6xy?????，其中 ? ?4,4x?? 當(dāng) 304???時(shí)，點(diǎn) M 的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在 y 軸上的雙曲線滿足 44x? ? ? 的部分。 當(dāng) 3 14 ???時(shí)，點(diǎn) M 的軌跡為中心在原點(diǎn)、長軸在 x 軸上的橢圓滿足 44x? ? ? 的部分； 當(dāng) 1?? 時(shí)，點(diǎn) M 的軌跡為中心在原點(diǎn)、長軸在 x 軸上的橢圓； 13.（ 2020 四川卷文 、理 ） 已知橢圓 222 1( 0 )xy abab? ? ? ?的左、右焦點(diǎn)分別為 12FF、 ，離心率 22e? ，右準(zhǔn)線方程為 2x? 。（ I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（ II）過點(diǎn) 1F 的直線 l 與該橢圓交于 MN、 兩點(diǎn)，且22 2 2 63F M F N??，求直線 l 的方程。 解 （ I） 由已知得 2222? ????? ???caac，解得 2, 1??ac ∴ 221? ? ?b a c ∴ 所求橢圓的方程為 2 2 12 ??x y . （ II） 由 （ I） 得 1( 1,0)?F 、 2(1,0)F ①若直線 l 的斜率不存在，則直線 l 的方程為 1??x ，由 22112????? ????xx y 得 22??y 設(shè) 2( 1, )2?M 、 2( 1, )2??N ， ∴ 22 22( 2 , ) ( 2 , ) ( 4 , 0 ) 4? ? ? ? ? ? ? ? ?F M F N，這與已知相矛盾。 ②若直線 l 的斜率存在，設(shè)直線直線 l 的斜率為 k ，則直線 l 的方程為 ( 1)??y k x ， 設(shè) 11( , )M x y 、 22( , )N x y ， 聯(lián)立 22( 1)12????? ????y k xx y ，消元得 2 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0? ? ? ? ?k x k x k ∴ 221 2 1 24 2 2,1 2 1 2??? ? ???kkx x x x， ∴ 1 2 1 2 22( 2 ) 12? ? ? ? ? ? ky y k x x k， 又∵ 2 1 1 2 2 2( 1 , ) , ( 1 , )? ? ? ?F M x y F N x y ∴ 2 2 1 2 1 2( 2 , )? ? ? ? ?F M F N x x y y ∴ 2 22222 2 1 2 1 2 228 2 2 2 26( 2) ( ) 1 2 1 2 3?? ? ??? ? ? ?