【正文】 在以 SB 為直線的圓上 ,故 BT OS? . 顯然 ,直線 AS 的斜率 k 存在且 k0,可設(shè)直線 AS 的方程為 ()y k x a??. 由 2 2 2 2 2 2 2 4 2 22 1 ( 1 ) 2 0()x y a k x a k x a k aay k x a? ??? ? ? ? ? ??? ???得 設(shè)點(diǎn) 2 2 222( , ) , ( ) ,1T T T a k aT x y x a ak?? ? ? ? ? 故 22221T a a kx ak?? ?,從而222() 1TT aky k x a ak? ? ? ?. 亦即 222 2 2 22( , ).11a a k akT a k a k??? 222 2 2 222( , 0 ) , ( ( , ) )11a k a kB a B T a k a k??? ?? 由()xay k x a??? ???得 ( , 2 ), ( , 2 ).s a ak O S a ak?? 由 BT OS? ,可得 2 2 2 2224 012a k a kB T O S ak??? ? ??即 2 2 2 22 4 0a k a k? ? ? 0 , 0 , 2k a a? ? ? ? 經(jīng)檢驗(yàn) ,當(dāng) 2a? 時(shí) ,O,M,S 三點(diǎn)共線 . 故存在 2a? ,使得 O,M,S 三點(diǎn)共線 . 方法二 : (Ⅰ )同方 法一 . (Ⅱ )假設(shè)存在 a,使得 O,M,S 三點(diǎn)共線 . 由于 點(diǎn) M 在以 SO 為直徑的圓上 ,故 SM BT? . 顯然 ,直線 AS 的斜率 k 存在且 k0,可設(shè)直線 AS 的方程為 ()y k x a?? 由 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 1 ( 1 ) 2 0()x y a b x a k x a k aay k x a? ??? ? ? ? ? ??? ???得 設(shè)點(diǎn) ( , )TTT x y ,則有 4 2 222( ) .1T a k axa ak?? ? ? ? 故 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 222, ( ) ( ) .1 1 1T T Ta a k a k a a k a kx y k x a Ta a k a k a k a k??? ? ? ? ?? ? ? ?從 而 亦 即 221( , 0 ) , ,TB T S MTyB a k k a kx a a k? ? ? ? ?? 故 由()xay k x a??? ??? 得 S(a,2ak),所直線 SM 的方程為 22 ( )y ak a k x a? ? ? O,S,M 三點(diǎn)共線當(dāng)且僅當(dāng) O 在直線 SM 上 ,即 22 ( )ak a k a??. 0 , 0 , 2a K a? ? ? ? 故存在 2a? ,使得 O,M,S 三點(diǎn)共線 . 11.（ 2020遼寧卷文 、理 ） 已知，橢圓 C以過(guò)點(diǎn) A（ 1， 32 ），兩個(gè)焦點(diǎn)為（－ 1， 0）（ 1， 0）。 . 又 AB=2,故在△ SAE 中 ,有 ta n 3 0 , ( , ) 。 . (1)當(dāng)∠ BOT=60176。 解 方 法一 (Ⅰ )當(dāng)曲線 C 為半圓時(shí)， 1,a? 如圖，由點(diǎn) T 為圓 弧 AB 的三等分點(diǎn)得∠ BOT=60176。 又 AB、 在橢圓上，即 2 2 2 21 1 2 22 3 6 , 2 3 6x y x y? ? ? ?. 故 1 2 1 22 3 3 0x x y y? ? ?．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ② 將 21 2 1 2 1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) ( ) 1x x m y m y m y y m y y? ? ? ? ? ? ?及①代入②解得 2 12m? 12 22yy? ? ? ?或, 12xx? = 224322 3 2mm? ? ??,即 32( , )22P ? . 當(dāng) 2 3 2 2, ( , ) , : 12 2 2 2m P l x y? ? ? ?時(shí) 。 由韋達(dá)定理有：12 24 ,23myy m? ? ? ?12 24 ,23yy m?? ?．．．．．．．．① .假設(shè)存在點(diǎn) P，使 OP OA OB??成立，則其充要條件為： 點(diǎn) 1 2 1 2P ( , )x x y y??的 坐 標(biāo) 為 ，點(diǎn) P 在橢圓上，即 221 2 1 2( ) ( ) 132x x y y????。于是有 1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 23 1 1 1 2 211 )221211 )22S M M A M x a yS M N AA a y yS N N A N x a y? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?（（ 2 1 3 1 2 1 1 2 22 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 24 ( ) ( ) ( )[ ( ) 4 ] [ ( ) ]S S S a y y x a y x a ya y y y y x x a x x a y y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 將①、②、③代入上式化簡(jiǎn)可得 2 2 2 2 2 2 2( 4 8 ) 2 ( 2 4 ) 4 ( 2 )a m p a p a p a m p a a p m p a? ? ? ? ? 上式恒成立，即對(duì)任意 22 1 30, 4a S S S??成立 證法 2：如圖 2，連接 11,MN NM ,則由 21 2 1 12 , 2y y a p y p x? ? ?可得 11 2 2 21 1 1 2222 2O M O Ny p y p y ypKKx y y y a p a? ? ? ? ? ???,所以直線 1MN 經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O， 同理可證直線 1NM 也經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O 又 1OA OA a??設(shè) 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2, , , ,M A h N A h M M d NN d? ? ? ?則 1 1 1 2 1 2 1 2 3 2 21 1 1, 2 ( ) ( ) , .2 2 2S d h S a h h a h h S d h? ? ? ? ? ? ? 9.（ 2020全國(guó)卷Ⅱ理） 已知橢圓 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?的離心率為 33 ，過(guò)右焦點(diǎn) F 的直線 l 與 C 相交于 A 、 B 兩點(diǎn)，當(dāng) l 的斜率為 1 時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn) O 到 l 的距離為 22 （ I）求 a ， b 的值； （ II） C 上是否存在點(diǎn) P，使得當(dāng) l 繞 F 轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有 OP OA OB??成立？ 若存在，求出所有的 P 的坐標(biāo)與 l 的方程；若不存在，說(shuō)明理由。若存在，求出 ? 的值；若不存在，說(shuō)明理由。 2F1F OyxA2P1PP(2) 設(shè) 軌跡 E 與 x 軸交于 BD、 兩點(diǎn) ,在 E 上任取一點(diǎn) 1 1 1, ( 0)Q x y y ?（ ） ,直線 QB QD， 分別交 y 軸于 MN， 兩點(diǎn) .求證 :以 MN 為直徑的圓過(guò)兩定點(diǎn) . (1) 解 由已知得20830 3F b A b y（ ， ） ， （ ， ）,則直線 2FA的方程為 : 03 ( 3 )yy x bb? ? ?, 令 0x? 得 09yy? ,即 20(0,9 )Py, 設(shè) Px y（ ， ） ,則0000 29 52xxyyyy? ?????? ????,即 0025xxyy???? ???代入 220208xybb??得 : 224 18 25xybb??, 即 P 的軌跡 E 的方程為 2212 25xybb??. (2) 證明 在 2212 25xybb??中令 0y? 得 222xb? ,則不妨設(shè) 2 0 2 0B b D b（ ， ） ， （ ， ）, 于是直線 QB 的方程為 : 11( 2 )2yy x bxb??? , 直線 QD 的方程為 : 11( 2 )2yy x bxb? , 則 11112 2020 2b y b yMNx b x b?（ ， ） ， （ ， ）, 則以 MN 為直徑的圓的方程為 : 2 11112202 2b y b yx y yx b x b? ? ??（ ） （ ）, 令 0y? 得 : 222 112 2byx xb? ? ,而 11,Qx y（ ） 在 2212 25xybb??上 ,則 2 2 21122 25x b y?? , 于是 5xb?? ,即以 MN 為直徑的圓過(guò)兩定點(diǎn) ( 5 ,0), (5 ,0)bb? . 8.(2020 湖北卷理 )過(guò)拋物線 2 2 ( 0)y px p??的對(duì) 稱軸上一點(diǎn) ? ?? ?,0 0A a a ? 的直線與拋物線相交于 M、 N 兩點(diǎn)，自 M、 N 向直線 :l x a?? 作垂線，垂足分別為 1M