【正文】 ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )x k x k x k x k? ? ? ? ? ?Q 1 2 1 2[ 2 3 ( ) 4 ]k x x x x? ? ? ? 221 6 4 2 4 42 1 2 1kkk ???? ? ???????0? //FN FP?uuur uur ∴ N F P、 、 三點(diǎn)共線 E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn) O，焦點(diǎn)在 x軸上，離心率為 P(1， 32)、 A、 B在橢圓 E上，且 PA→ ＋ PB→ ＝ mOP→ (m∈ R)． (1)求橢圓 E的方程及直線 AB的斜率； (2)當(dāng) m＝－ 3時(shí)，證明原點(diǎn) O是 △ PAB的重心，并求直線 AB的方程． 解 ：（ 1）由222 1 abe ?? =41 及 149122 ?? ba解得 a2=4， b2=3， 橢圓方程為 134 22 ?? yx ；………………………………………………………… 2分 本卷第 16 頁（ 共 33 頁） 設(shè) A（ x1,y1） 、 B（ x2,y2） ， 由 OPmPBPA ?? 得 （ x1+x22， y1+y23） =m（ 1， 23 ），即???????????myymxx23322121 又 134 2121 ?? yx ， 134 2222 ?? yx ，兩式相減得 21233 24343 21 2112 12 ??????????????? mmyy xxxx yyk AB。 (1)解：由題意知 12ce a??，∴ 2 2 2222 14c a be aa?? ? ?，即 2243ab? 又 6 311b ???，∴ 2243ab??， 故橢圓的方程為 22 143yx ?? (2)解：由題意知直線 AB的斜率存在，設(shè)直線 PB的方程為 ( 4)y k x?? 由 22 ( 4)143y k xyx????? ???? 得： 2 2 2 2( 4 3 ) 32 64 12 0k x k x k? ? ? ? ? 由 2 2 2 2( 32 ) 4( 4 3 ) ( 64 12 ) 0k k k? ? ? ? ? ? ?得： 2 14k ? 設(shè) A(x1 ， y1) ， B (x2 ， y2) ，則 221 2 1 23 2 6 4 1 24 3 4 3kkx x x x ?? ? ???， ① ∴ 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2( 4) ( 4) 4 ( ) 16y y k x k x k x x k x x k? ? ? ? ? ? ? ∴ 2 22 2 21 2 1 2 2 2 26 4 1 2 3 2 8 7( 1 ) 4 1 6 2 54 3 4 3 4 3k kO A O B x x y y k k kk k k?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ∵ 2 104k ?≤，∴28 7 8 7 8 73443k? ? ? ??≤，∴ 13[ 4 )4OA OB? ? ? ， ∴ OA OB? 的取值范圍是 13[ 4 )4?，． (3)證：∵ B、 E兩點(diǎn)關(guān)于 x軸對(duì)稱， ∴ E(x2，－ y2) 直線 AE 的方程為 121112 ()yyy y x xxx?? ? ??，令 y = 0得： 1 1 21 12()y x xxx yy??? ? 又1 1 2 2( 4) ( 4)y k x y k x? ? ? ?， ，∴ 1 2 1 2122 4 ( )8x x x xx xx??? ?? 由將①代入得： x = 1，∴直線 AE 與 x軸交于定點(diǎn) (1， 0)． ? ?22 10xy abab? ? ? ?的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，直線 0??? byx 是拋物線 xy 42 ? 的一條切線． （ Ⅰ ）求橢圓的方程； 本卷第 13 頁（ 共 33 頁） （ Ⅱ ）過點(diǎn) )31,0( ?S 的動(dòng)直線 L交橢圓 C于 A． B兩點(diǎn)．問：是否存在一個(gè)定點(diǎn) T，使得以 AB 為直徑的圓恒過點(diǎn) T ? 若存在，求點(diǎn) T坐標(biāo)；若不存在，說明理由。 （Ⅰ） 31,22cbaa? ? ?， 2分 依題意設(shè)橢圓方程為： 221,4xybb??把點(diǎn) ? ?4,1 代入，得 2 5b? ? 橢圓方程為 5xy??4分 （Ⅱ）把 y x m?? 代入橢圓方程得： 225 8 4 20 0x m x m? ? ? ?， 由△ 0,? 可得 5 ? ? ? 6分 本卷第 11 頁（ 共 33 頁） （Ⅲ）設(shè) ? ? ? ?1 1 2 2, , ,A x y B x y， A,B與 M不重合， 21 2 1 28 4 2 0,55mmx x x x ?? ? ? ?， 8分 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 2 2 1121 2 1 21 4 1 4114 4 4 4M A M B y x y xyykk x x x x? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 2 2 1121 4 1 444x m x x m xxx? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 2 1 2122 5 8 1 044x x m x x mxx? ? ? ???? ? ?， ? MA MBkk? 為定值 12 分 ? ? ? ?121, 0 , 1, 0FF? ，過 10,2P??????作垂直于 y 軸的直線被橢圓所截線段長為 6 ，過 1F 作直線 l與橢圓交于 A、 B兩點(diǎn) . （ I） 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (Ⅱ )是否存在實(shí)數(shù) t 使 1PA PB t PF?? ，若存在，求 t 的 值和直線 l 的方程；若不存在，說明理由． (Ⅰ )設(shè)橢圓方程為 221xyab??，由題意點(diǎn) 61,22??????在橢圓上， 221ab?? 所以 64(1+b2) + 14b2 =1，解得 2 2 12x y??……………… 5分 (Ⅱ )當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，易求 221, , 1,AB? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，所以)21,1(),2 12,1(),2 12,1( 1 ??????? PFPBPA 由 1PA PB t PF?? 得 2t? ，直線 l 的方程為 1x? ．……………… 7分 當(dāng)直線斜率存在時(shí)， 所以1 1 2 211, , ,22P A x y P B x y? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，1 11, 2PF ???????? 由 1PA PB t PF?? 得 1212112 2 2x x ttyy????? ? ? ? ? ???即 12121 2x x ttyy????? ? ? ??? 因?yàn)?1 2 1 2( 2)y y k x x? ? ? ?，所以 12k?? 此時(shí)，直線 l 的方程為 ? ?1 12yx?? ? 本卷第 12 頁（ 共 33 頁） 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?的離心率為 12 ，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線 60xy? ? ? 相切，過點(diǎn) P（ 4， 0）且不垂直于 x 軸直線 l 與橢圓 C 相交于 A、 B兩點(diǎn)。 （ 2）過點(diǎn) F 作直線交橢圓 C 于點(diǎn) ,AB，又直線 OA 交 l 于點(diǎn) T ,若 2OT OA? ，求線段 AB的長； （ 3）已知點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 ? ?0 0 0, , 0x y x ? ，直線 OM 交直線 00 12xx yy??于點(diǎn) N ，且和橢圓C 的一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn) P ，是否存在實(shí)數(shù) ? ，使得 2 ?O P O M O N???，若存在，求出實(shí)數(shù) ? ；若不存在，請(qǐng)說明理由。橢圓 2 2:12xCy??的右焦點(diǎn)為 F ，右準(zhǔn)線為 l 。 (2)已知?jiǎng)又本€ l 過點(diǎn) ? ?0,4P ,交拋物線 D 于 A 、 B 兩點(diǎn) . ??i 若直線 l 的斜率為 1,求 AB 的長 。 OB 的值；（ 2）設(shè) AF =? FB ，求△ ABO的面積 S的最小值； （ 3）在（ 2）的條件下若 S≤ 5 ，求 ? 的取值范圍。 C:y2 =4x， F是 C的焦點(diǎn)，過焦點(diǎn) F的直線 l與 C交于 A， B兩點(diǎn)， O為坐標(biāo)原點(diǎn)。 ii是否存在垂直于 x軸的直線 m被以 AP為直徑的圓 M所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出 m的方程；如果不存在，說明理由 . 本卷第 5 頁（ 共 33 頁） C1的方程為 22( 2) 1xy? ? ?，定直線 l 的方程為 1y?? ．動(dòng)圓 C 與圓 C1外切，且與直線 l相切． （ Ⅰ ）求動(dòng)圓圓心 C的軌跡 M的方程； （ II） 斜率為 k的直線 l與 軌跡 M相切于第一象限的 點(diǎn) P，過點(diǎn) P作 直線 l的垂線恰好經(jīng)過點(diǎn) A（ 0， 6），并交 軌跡 M于異于點(diǎn) P的點(diǎn) Q，記 S 為 ? POQ（ O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積 ，求 S 的值． 20． 已知橢圓 12222 ?? byax )0( ??ba 經(jīng)過點(diǎn) )6,23(M ，它的焦距為 2 ，它的左、右頂點(diǎn)分別為 21,AA ， 1P 是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（非頂點(diǎn)），點(diǎn) 2P 是點(diǎn) 1P 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)，直線 2211 PAPA 與 相交于點(diǎn) E . （Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（Ⅱ）求點(diǎn) E 的軌跡方程． C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn) O，焦點(diǎn)在 y軸上，離心率 e = 22 ，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為 1 22 , 直線 l 與 y 軸交 于點(diǎn) P（ 0， m），與橢圓 C 交于相異兩點(diǎn) A、 B，且AP ＝ PB? ． （ 1）求橢圓方程； （ 2）若 OA＋ OB ＝ 4OP? ，求 m的取值范圍． 22．設(shè)拋物線 M方程為 )0(22 ?? ppxy ，其焦點(diǎn)為 F， P（ ),ba （ )0?a 為直線 xy? 與拋物線 M的 一個(gè)交點(diǎn)， 5|| ?PF （ 1）求拋物線的方程； （ 2）過焦點(diǎn) F的直線 l 與拋物線交于 A,B兩點(diǎn)，試問在拋物線 M的準(zhǔn)線上是否存在一點(diǎn) Q，使得 ? QAB 為等邊三角形，若存在求出 Q點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由． )0,3(?R ，點(diǎn) P 在 y 軸上，點(diǎn) Q 在 x 軸的正半軸上，點(diǎn) M 在直線 PQ 上，且滿足 2 3 0 , 0P M M Q R P P M? ? ? ?. （ Ⅰ ）當(dāng)點(diǎn) P 在 y 軸上移動(dòng)時(shí)， 求點(diǎn) M 的軌跡 C 的方程； （ Ⅱ ）設(shè) ),( 11 yxA 、 ),( 22 yxB 為軌跡 C 上兩點(diǎn)，且 1x 1, 1y 0, )0,1(N ，求實(shí)數(shù) ? ，使本卷第 6 頁（ 共 33 頁） ANAB ?? ，且 316?AB . ，在 ABC? 中， 7| | | | , | | 22A B A C B C? ? ?，以 B 、 C 為焦點(diǎn)的橢圓恰好過 AC 的中點(diǎn) P . （ 1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ 2）過橢圓的右頂點(diǎn) 1A 作直線 l 與圓 22: ( 1) 2E x y??? 相交于 M 、 N 兩點(diǎn)，試探究點(diǎn) M 、 N 能將圓 E 分割成弧長比值為 1:3 的兩段弧嗎？若能，求出直線 l 的方程；若不能，請(qǐng)說明理由 . ， F 是拋物線 )0(22 ?? ppxy 的焦點(diǎn)，點(diǎn) )2,4(A 為拋物線內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn) P 為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)， PA PF? 的最小值為 8. （ 1）求拋物線方程； （ 2）若 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，問是否存在定點(diǎn) M ，使過點(diǎn) M 的動(dòng)直線與拋物線交于 CB, 兩點(diǎn)，且以 BC 為直徑的圓恰過坐標(biāo)原點(diǎn) , 若存在，求出定點(diǎn)M 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由 . 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?上有一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離分別為 3 2 2? ， 3 2 2? 。 16．已知雙曲線 E ： 22124 12xy??的左焦點(diǎn)為 F ，左準(zhǔn)線 l 與 x 軸的 交點(diǎn)是圓 C 的圓心，圓 C恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn) O ，設(shè) G 是圓 C 上任意一點(diǎn)． （ Ⅰ ）求圓 C 的方程； （ Ⅱ ）若直線 FG 與直線 l 交于點(diǎn) T ，且 G 為線段 FT 的中點(diǎn)，求直線 FG 被圓 C 所截得的弦長； （ Ⅲ ）在平面上是否存在定點(diǎn) P ，使得對(duì)圓 C 上任意的點(diǎn) G 有 12GFGP?？若存在，求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 17. 橢圓 C ： 221xyab??（ 0ab?? ）的左、右焦點(diǎn)分別為 1F 、 2F ，右頂點(diǎn)為 A ， P 為橢圓 C 上任意一點(diǎn)．已知 12PF PF? 的最大值為 3 ，最小值為 2 ． （１）求橢圓 C 的方程； （２）若直線 l ： y kx m??與橢圓 C 相交于 M 、 N 兩點(diǎn)（ M 、 N 不是左右頂點(diǎn)），且以 MN 為直徑的圓過點(diǎn) A ． 求證：直線 l 過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)． 18. 已知