【正文】 0 0 0, , 0x y x ? ，直線(xiàn) OM 交直線(xiàn) 00 12xx yy??于點(diǎn) N ，且和橢圓C 的一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn) P ，是否存在實(shí)數(shù) ? ，使得 2 ?O P O M O N???，若存在，求出實(shí)數(shù) ? ；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。本卷第 1 頁(yè)（ 共 33 頁(yè)） 2022 高考數(shù)學(xué) 理 最后 沖刺【六大解答題】 圓錐曲線(xiàn) 1..如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中。 A、 B分別為橢圓 22 1( , 0 )xy abab? ? ?的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)等于焦距，且 4x?是它的右準(zhǔn)線(xiàn)， (1) 求橢圓 方程； (2) 設(shè) P為右準(zhǔn)線(xiàn)上不同于點(diǎn)（ 4， 0）的任一點(diǎn)，若直線(xiàn) AP、 BP分別與橢圓交于異于 A、B兩點(diǎn) M、 N，證明：點(diǎn) B在以 MN 為直徑的圓內(nèi) ． ，已知橢圓 22 1 ( 0 )xy abab? ? ? ?的長(zhǎng)軸為 AB ，過(guò)yxlAFBOT第 1 8 題 圖xyMNA O BP本卷第 2 頁(yè)（ 共 33 頁(yè)） 點(diǎn) B 的直線(xiàn) l 與 x 軸垂直．直線(xiàn) ( 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) 0( )k x k y k k R? ? ? ? ? ? ?所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)恰好是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，且橢圓的離心率 32e?. （ 1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ 2）設(shè) P 是橢圓上異于 A 、 B 的任意一點(diǎn)， PH x? 軸， H 為垂足，延長(zhǎng) HP 到點(diǎn) Q 使得HP PQ? ，連結(jié) AQ 延長(zhǎng)交直線(xiàn) l 于點(diǎn) M ， N 為 MB 的中點(diǎn)．試判斷直線(xiàn) QN 與以 AB 為直徑的圓 O 的位置關(guān)系． ，焦點(diǎn)在 x 軸上，離心率為 23 ，且經(jīng) 過(guò)點(diǎn) ? ?4,1M ，直線(xiàn) mxyl ??: 交橢圓于不同的兩點(diǎn) A， B. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）求 m 的取值范圍； （Ⅲ）若直線(xiàn) l 不過(guò)點(diǎn) M，試問(wèn) MA MBkk? 是否為定值？并說(shuō)明理由。 2 22: 1( 0 )xC y aa ? ? ?的兩個(gè)焦點(diǎn)是 12( , 0) ( , 0) ( 0)F c F c c??和 ，且橢圓 C上的點(diǎn)到焦點(diǎn) F2的最短距離為 3 2.? （ 1）求橢圓的方程； （ 2）若直線(xiàn) : ( 0)l y kx m k? ? ?與橢圓 C交于不同的 兩點(diǎn) M、 N，線(xiàn)段 MN垂直平分線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn) A（ 0， 1），求實(shí)數(shù) m的取值范圍。 ，橢圓 C過(guò)點(diǎn) A 3(1, )2 ，兩個(gè)焦點(diǎn)為（ 1， 0），（ 1， 0）。 ii是否存在垂直于 x軸的直線(xiàn) m被以 AP為直徑的圓 M所截得的弦長(zhǎng)恒為定值？如果存在，求出 m的方程；如果不存在，說(shuō)明理由 . 本卷第 5 頁(yè)（ 共 33 頁(yè)） C1的方程為 22( 2) 1xy? ? ?，定直線(xiàn) l 的方程為 1y?? ．動(dòng)圓 C 與圓 C1外切，且與直線(xiàn) l相切． （ Ⅰ ）求動(dòng)圓圓心 C的軌跡 M的方程； （ II） 斜率為 k的直線(xiàn) l與 軌跡 M相切于第一象限的 點(diǎn) P，過(guò)點(diǎn) P作 直線(xiàn) l的垂線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（ 0， 6），并交 軌跡 M于異于點(diǎn) P的點(diǎn) Q，記 S 為 ? POQ（ O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積 ，求 S 的值． 20． 已知橢圓 12222 ?? byax )0( ??ba 經(jīng)過(guò)點(diǎn) )6,23(M ，它的焦距為 2 ，它的左、右頂點(diǎn)分別為 21,AA ， 1P 是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（非頂點(diǎn)），點(diǎn) 2P 是點(diǎn) 1P 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，直線(xiàn) 2211 PAPA 與 相交于點(diǎn) E . （Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（Ⅱ）求點(diǎn) E 的軌跡方程． C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn) O，焦點(diǎn)在 y軸上，離心率 e = 22 ，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為 1 22 , 直線(xiàn) l 與 y 軸交 于點(diǎn) P（ 0， m），與橢圓 C 交于相異兩點(diǎn) A、 B，且AP ＝ PB? ． （ 1）求橢圓方程； （ 2）若 OA＋ OB ＝ 4OP? ，求 m的取值范圍． 22．設(shè)拋物線(xiàn) M方程為 )0(22 ?? ppxy ，其焦點(diǎn)為 F， P（ ),ba （ )0?a 為直線(xiàn) xy? 與拋物線(xiàn) M的 一個(gè)交點(diǎn)， 5|| ?PF （ 1）求拋物線(xiàn)的方程； （ 2）過(guò)焦點(diǎn) F的直線(xiàn) l 與拋物線(xiàn)交于 A,B兩點(diǎn)，試問(wèn)在拋物線(xiàn) M的準(zhǔn)線(xiàn)上是否存在一點(diǎn) Q，使得 ? QAB 為等邊三角形，若存在求出 Q點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由． )0,3(?R ，點(diǎn) P 在 y 軸上，點(diǎn) Q 在 x 軸的正半軸上，點(diǎn) M 在直線(xiàn) PQ 上，且滿(mǎn)足 2 3 0 , 0P M M Q R P P M? ? ? ?. （ Ⅰ ）當(dāng)點(diǎn) P 在 y 軸上移動(dòng)時(shí)， 求點(diǎn) M 的軌跡 C 的方程； （ Ⅱ ）設(shè) ),( 11 yxA 、 ),( 22 yxB 為軌跡 C 上兩點(diǎn)，且 1x 1, 1y 0, )0,1(N ，求實(shí)數(shù) ? ，使本卷第 6 頁(yè)（ 共 33 頁(yè)） ANAB ?? ，且 316?AB . ，在 ABC? 中， 7| | | | , | | 22A B A C B C? ? ?，以 B 、 C 為焦點(diǎn)的橢圓恰好過(guò) AC 的中點(diǎn) P . （ 1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ 2）過(guò)橢圓的右頂點(diǎn) 1A 作直線(xiàn) l 與圓 22: ( 1) 2E x y??? 相交于 M 、 N 兩點(diǎn)，試探究點(diǎn) M 、 N 能將圓 E 分割成弧長(zhǎng)比值為 1:3 的兩段弧嗎？若能，求出直線(xiàn) l 的方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由 . ， F 是拋物線(xiàn) )0(22 ?? ppxy 的焦點(diǎn)，點(diǎn) )2,4(A 為拋物線(xiàn)內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn) P 為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)， PA PF? 的最小值為 8. （ 1）求拋物線(xiàn)方程； （ 2）若 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，問(wèn)是否存在定點(diǎn) M ，使過(guò)點(diǎn) M 的動(dòng)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于 CB, 兩點(diǎn)，且以 BC 為直徑的圓恰過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) , 若存在，求出定點(diǎn)M 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 . 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?上有一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離分別為 3 2 2? ， 3 2 2? 。 OB 的值；（ 2）設(shè) AF =? FB ，求△ ABO的面積 S的最小值； （ 3）在（ 2）的條件下若 S≤ 5 ，求 ? 的取值范圍。橢圓 2 2:12xCy??的右焦點(diǎn)為 F ，右準(zhǔn)線(xiàn)為 l 。 （Ⅰ） 31,22cbaa? ? ?， 2分 依題意設(shè)橢圓方程為： 221,4xybb??把點(diǎn) ? ?4,1 代入，得 2 5b? ? 橢圓方程為 5xy??4分 （Ⅱ）把 y x m?? 代入橢圓方程得： 225 8 4 20 0x m x m? ? ? ?， 由△ 0,? 可得 5 ? ? ? 6分 本卷第 11 頁(yè)（ 共 33 頁(yè)） （Ⅲ）設(shè) ? ? ? ?1 1 2 2, , ,A x y B x y， A,B與 M不重合， 21 2 1 28 4 2 0,55mmx x x x ?? ? ? ?， 8分 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 2 2 1121 2 1 21 4 1 4114 4 4 4M A M B y x y xyykk x x x x? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 2 2 1121 4 1 444x m x x m xxx? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 2 1 2122 5 8 1 044x x m x x mxx? ? ? ???? ? ?， ? MA MBkk? 為定值 12 分 ? ? ? ?121, 0 , 1, 0FF? ，過(guò) 10,2P??????作垂直于 y 軸的直線(xiàn)被橢圓所截線(xiàn)段長(zhǎng)為 6 ，過(guò) 1F 作直線(xiàn) l與橢圓交于 A、 B兩點(diǎn) . （ I） 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (Ⅱ )是否存在實(shí)數(shù) t 使 1PA PB t PF?? ，若存在，求 t 的 值和直線(xiàn) l 的方程；若不存在，說(shuō)明理由． (Ⅰ )設(shè)橢圓方程為 221xyab??，由題意點(diǎn) 61,22??????在橢圓上， 221ab?? 所以 64(1+b2) + 14b2 =1，解得 2 2 12x y??……………… 5分 (Ⅱ )當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，易求 221, , 1,AB? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，所以)21,1(),2 12,1(),2 12,1( 1 ??????? PFPBPA 由 1PA PB t PF?? 得 2t? ，直線(xiàn) l 的方程為 1x? ．……………… 7分 當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)， 所以1 1 2 211, , ,22P A x y P B x y? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，1 11, 2PF ???????? 由 1PA PB t PF?? 得 1212112 2 2x x ttyy????? ? ? ? ? ???即 12121 2x x ttyy????? ? ? ??? 因?yàn)?1 2 1 2( 2)y y k x x? ? ? ?，所以 12k?? 此時(shí)，直線(xiàn) l 的方程為 ? ?1 12yx?? ? 本卷第 12 頁(yè)（ 共 33 頁(yè)） 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?的離心率為 12 ，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線(xiàn) 60xy? ? ? 相切，過(guò)點(diǎn) P（ 4， 0）且不垂直于 x 軸直線(xiàn) l 與橢圓 C 相交于 A、 B兩點(diǎn)。 22:1xyC ab??的短軸長(zhǎng)等于焦距，橢圓 C 上的點(diǎn)到右焦點(diǎn) F 的最短距離為21? ． 本卷第 15 頁(yè)（ 共 33 頁(yè)） （ Ⅰ ） 求橢圓 C的方程； （ Ⅱ ） 過(guò)點(diǎn) (2 0)E ， 且斜率為 ( 0)kk? 的直線(xiàn) l 與 C 交于 M 、 N 兩點(diǎn)， P 是點(diǎn) M 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，證明： N F P、 、 三點(diǎn)共線(xiàn) ． (I)由題可知： 2221bcac????? ? ??? ………… 2分 解得 2, 1ac??， 1b?? ?橢圓 C的方程為 2 2:12xCy??………………………… 4分 （ II） 設(shè)直線(xiàn) l ： ( 2)y k x??， 11()M x y， ， 22()N x y， ， 11()P x y?， ， (1 0)F ， ， 由 22( 2)12y k xx y????? ????，得 2 2 2 2( 2 1 ) 8 8 2 0k x k x k? ? ? ? ?.………… 6分 所以 212 2821kxx k?? ?， 212 28221kxx k ?? ?. …………………… 8分 而 2 2 2 2( 1 ) ( 1 2 )F N x y x kx k? ? ? ? ?， ，uuur ，1 1 1 1( 1 ) ( 1 2 )F P x y x kx k? ? ? ? ? ? ?u ur ， ， ………… 10分 1 2 2 1( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )x k x k x k x k? ? ? ? ? ?Q 1 2 1 2[ 2 3 ( ) 4 ]k x x x x? ? ? ? 221 6 4 2 4 42 1 2 1kkk ???? ? ???????0? //FN FP?uuur uur ∴ N F P、 、 三點(diǎn)共線(xiàn) E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn) O，焦點(diǎn)在 x軸上，離心率為 P(1， 32)、 A、 B在橢圓 E上，且 PA→ ＋ PB→ ＝ mOP→ (m∈ R)． (1)求橢圓 E的方程及直線(xiàn) AB的斜率； (2)當(dāng) m＝－ 3時(shí)，證明原點(diǎn) O是 △ PAB的重心，并求直線(xiàn) AB的方程． 解 ：（ 1）由222 1 abe ?? =41 及 149122 ?? ba解得 a2=4， b2=3， 橢圓方程為 134 22 ?? yx ；………………………………………………………… 2分 本卷第 16 頁(yè)（ 共 33 頁(yè)） 設(shè) A（ x1,y1） 、 B（ x2,y2） ， 由 OPmPBPA ?? 得 （ x1+x22， y1+y23） =m（ 1， 23 ），即???????????myymxx23322121 又 134 2121 ?? yx ， 134 2222 ?? yx ，兩式相減得 21233 24343 21 2112 12 ??????????????? mmyy xxxx yyk AB。 時(shí)，求直線(xiàn) PQ 的方程 . 解：（ 1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： 148 22 ?? yx （ 2）連接 QM， OP， OQ， PQ 和 MO 交于點(diǎn) A， 有題意可得 M（ 4， m）， ∵∠PMQ=