【正文】 18. 已知拋物線 D的頂點(diǎn)是橢圓134 2 ?? yx的 中心，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重合 . (1)求拋物線 的方程 。 解：（Ⅰ）由題意， c=1,可設(shè)橢圓方程為2219114bb???，解得 2 3b? ， 2 34b ?? （舍去） 所以橢圓方程為 22143xy??。 故有：2241| 5 || 3 1 |11 1nmk n k m kkkk? ? ? ?? ? ? ????， 化簡得： ( 2 ) 3 , ( 8 ) 5m n k m n m n k m n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?或 關(guān)于 k 的方程有無窮多解，有： 20 ,30mnmn? ? ?????? ? ???mn+8=0或 m+n5=0 解之得：點(diǎn) P坐標(biāo)為 313( , )22? 或 51( , )22? 。 （ Ⅰ ）求橢圓 E的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ Ⅱ ）圓 O是以橢圓 E的長軸為直徑的圓， M是直線 x=－ 4在 x軸上方的一點(diǎn)，過 M作圓 O的兩條切線， 切點(diǎn)分別為 P、 Q，當(dāng) ∠ PMQ=60176。 解析：（ Ⅰ ）由 0)42(:4 0 222 ??????? ? ??? bxbxyxy byx 得消去 因直線 xybxy 42 ??? 與拋物線 相切， 04)42( 22 ?????? bb ， ∴ 1b? ， ………………2 分 ∵ 圓 )0(1:2222 ???? babyaxC 的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角 形， ∴ 22 ?? ba 故所求橢圓方程為 .12 22 ?? yx （ Ⅱ ）當(dāng) L與 x軸平行時(shí)，以 AB 為直徑的圓的方程： 222 )34()31( ??? yx 當(dāng) L與 x軸垂直時(shí)，以 AB為直徑的圓的方程： 122 ??yx 由 即兩圓公共點(diǎn)（ 0， 1） 因此，所求的點(diǎn) T 如果存在，只能是（ 0， 1） （ ⅰ ）當(dāng)直線 L斜率不存在時(shí)，以 AB 為直徑的圓過點(diǎn) T（ 0， 1） （ ⅱ ）若直線 L斜率存在時(shí)，可設(shè)直線 L： 31??kxy 由 01612)918(:12312222 ???????????????kxxkyyxkxy得消去 記點(diǎn) ),( 11 yxA ．?????????????9181691812),(22122122kxxkkxxyxB 則 )34)(34()1)(1()1,(),1,(212121212211?????????????kxkxxxyyxxTBTAyxTByxTA所以又因?yàn)? 916)(34)1(21212 ????? xxkxxk 0916918 1234918 16)1(222 ?????????? k kkkk ∴TA⊥TB, 本卷第 14 頁（ 共 33 頁） 綜合 （ ⅰ ）（ ⅱ ），以 AB為直徑的圓恒過點(diǎn) T（ 0， 1）． 2 22: 1( 0 )xC y aa ? ? ?的兩個(gè)焦點(diǎn)是 12( , 0) ( , 0) ( 0)F c F c c??和 ，且橢圓 C上的點(diǎn)到焦點(diǎn) F2的最短距離為 3 2.? （ 1）求橢圓的方程； （ 2）若直線 : ( 0)l y kx m k? ? ?與橢圓 C交于不同的兩點(diǎn) M、 N，線段 MN垂直平分線恒過點(diǎn) A（ 0， 1），求實(shí)數(shù) m的取值范圍。 解：（ 1）由橢圓方程為 2 2 12x y?? 可得 2 2a? ， 2 1b? ， 1c? ， yxlAFBOT第 1 8 題 圖本卷第 8 頁（ 共 33 頁） (1,0)F ， :2lx? ． 設(shè) ( , )Gxy ，則 由題意可知 22( 1) | 2 |x y x? ? ? ?， 化簡得點(diǎn) G的軌跡方程為 2 23yx?? ? . ………… 4分 （ 2）由題意可知 1AFx x c? ? ? ， 故將 1Ax ? 代入 2 2 12x y??， 可得 2||2Ay ?，從而 2AB? ． …………… 8 分 （ 3）假設(shè)存在實(shí)數(shù) ? 滿足題意 ． 由已知得00:yOM y xx? ① 0 0 12xx yy?? ② 橢圓 C： 2 2 12x y?? ③ 由①②解得022002 2N xx xy? ? ， 022002 2N yy xy? ? ． 由①③解得 22022002 2P xx xy? ? ， 22 022002 2P yy xy? ? ． ……………………… 12分 ∴ 2 2 2 22 220 0 0 02 2 2 2 2 20 0 0 0 0 02 2 2 ( )2 2 2PP x y x yO P x y x y x y x y?? ? ? ? ?? ? ?， 2 2 2 20 0 0 000 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 02 2 2 ( )2 2 2NN x y x yO M O N x x y y x y x y x y?? ? ? ? ? ?? ? ?． 故可得 1?? 滿足題意 ． ……………………… 16 分 A、 B分別為橢圓 22 1( , 0 )xy abab? ? ?的左、右頂點(diǎn)，橢圓長半軸長等于焦距，且 4x?是它的右準(zhǔn)線， (1) 求橢圓方程； (2) 設(shè) P為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（ 4， 0）的任一點(diǎn)，若直線 AP、 BP分 別與橢圓交于異于 A、B兩點(diǎn) M、 N，證明：點(diǎn) B在以 MN 為直徑的圓內(nèi) ． 解：（ 1）由 2 24acac???? ??? 得 12ca????? ? 3b? xyMNA O BP本卷第 9 頁（ 共 33 頁） ?方程為 22143xy??……………………………………………………………………… 6 分 （ 2） A（ 2? ， 0）， B（ 2， 0），令 00( , )M x y M在橢圓上， ? 22003 (4 )4yx??，又 M異于 A、 B 點(diǎn)， ? 022x? ? ? ，令 (4, )Py P、 A、 M 三點(diǎn)共線， ? 0000402y y xyx?????，? 006 2yy x? ? ? 006(4, )2yP x ? 00006( 2 , ) , ( 2 , )2yB M x y B P x? ? ? ?…………… 10 分 ? 2222022000 0 032( 4) 6 ( 4 )6 20 542( 2) 2 2 2( 2)xxyxBM BP x x x x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? 022x? ? ? ， ? 0 20x ?? ， 2020 5 0x??? BM BP? 0， …………………… 14 分 ,90,90 ?? ????? N B MP B M ?B在以 MN為直徑的圓內(nèi) ，已知橢圓 22 1 ( 0 )xy abab? ? ? ?的長軸為 AB ，過點(diǎn) B 的直線 l 與 x 軸垂直．直線( 2 ) (1 2 ) (1 2 ) 0( )k x k y k k R? ? ? ? ? ? ?所經(jīng)過的定點(diǎn) 恰好是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，且橢圓的離心率 32e?. （ 1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ 2）設(shè) P 是橢圓上異于 A 、 B 的任意一點(diǎn)， PH x? 軸， H 為垂足，延長 HP 到點(diǎn) Q 使得HP PQ? ，連結(jié) AQ 延長交直線 l 于點(diǎn) M ， N 為 MB 的中點(diǎn)．試判斷直線 QN 與以 AB 為直徑的圓 O 的位置關(guān)系． （ 1）將 ( 2 ) (1 2 ) (1 2 ) 0k x k y k? ? ? ? ? ?整理得 ( 2 2) 2 1 0x y k x y? ? ? ? ? ? ? 解方程組 2 2 02 1 0xyxy? ? ? ??? ? ? ??得直線所經(jīng)過的定點(diǎn)（ 0， 1），所以 1b? ． A x y M N Q P H l O B 本卷第 10 頁（ 共 33 頁） 由離心率 32e?得 2a? ． 所 以 橢 圓 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 為2 2 14x y??． 4分 （ 2）設(shè) ? ?00,P x y ，則 2 200 14x y??． ∵ HP PQ? ， ∴ ? ?00,2Q x y ． ∴ ? ?220022O Q x y? ? ? ∴ Q 點(diǎn)在以 O 為圓心， 2為半徑的的圓上．即 Q 點(diǎn)在以 AB 為直徑的圓 O 上． ……6 分 又 ? ?2,0A? ， ∴ 直線 AQ 的方程為 ? ?002 22yyxx??? ． 令 2x? ，得 0082, 2yM x???????．又 ? ?2,0B ， N 為 MB 的中點(diǎn)， ∴ 0042, 2yN x???????． ……8 分 ∴ ? ?00,2OQ x y? ， 000 022, 2xyN Q x x?????????． ∴ ? ? ? ? ? ? ? ?22 000 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 04242 2 2 22 2 2xxx y x yO Q N Q x x y x x x xx x x ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?0 0 0 02 2 0x x x x? ? ? ? ?． ∴ OQ NQ? ． ∴ 直線 QN 與圓 O 相切． ，焦點(diǎn)在 x 軸上，離心率為 23 ，且經(jīng) 過點(diǎn) ? ?4,1M ，直線 mxyl ??: 交橢圓于不同的兩點(diǎn) A， B. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）求 m 的取值范圍； （Ⅲ）若直線 l 不過點(diǎn) M，試問 MA MBkk? 是否為定值？并說明理由。 ??ii 是否存在垂直于 x 軸的直線 m 被以 AP 為直徑的圓 M 所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出 m 的方程；如果不存在，說明理由 . 2022 高考數(shù)學(xué) 理 最后 沖刺【六大解答題】圓錐曲線專練 答案 1..如圖，在平面 直角坐標(biāo)系 xOy 中。 y P A B C O x x A(4,2) O y P F 本卷第 7 頁（ 共 33 頁） （ 1）求 OA (2)已知?jiǎng)又本€ l過點(diǎn)? ?0,4P,交拋物線 D于 A、 B兩點(diǎn) . ??i若直線 l的斜率為 1,求 AB的長 。 時(shí)，求直線 PQ 的方程 . C1： x 2＝ 4 y 的焦點(diǎn)為 F，曲線 C2與 C1關(guān)于原點(diǎn)對稱． (Ⅰ ) 求曲線 C2的方程； 本卷第 4 頁（ 共 33 頁） (Ⅱ) 曲線 C2 上是否存在一點(diǎn) P（異于原點(diǎn)），過點(diǎn) P作 C1的兩條切線 PA， PB，切點(diǎn) A， B，滿足 | AB |是 | FA | 與 | FB | 的等差中項(xiàng)？若存在，求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． xoy 中，已知圓 221 : ( 3 ) ( 1) 4C x y? ? ? ?和圓 222 : ( 4) ( 5 ) 4C x y? ? ? ?， （ 1）若直線 l 過點(diǎn) (4,0)A ，且被圓 1C 截得的弦長為 23，求直線 l 的方程； （ 2）設(shè) P 為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過點(diǎn) P 的無窮多對互相垂直的直線 1l 和 2l ，它們分別與圓 1C 和圓 2C 相交，且直線 1l 被圓 1C 截得的弦長與直線 2l 被圓 2C 截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點(diǎn) P的坐標(biāo)。 ? ?22 10xy abab? ? ? ?的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，直線 0??? byx 是拋物線 xy 42 ? 的一條切線． （ Ⅰ ）求橢圓的方程； （ Ⅱ ）過點(diǎn) )31,0( ?S 的動直線 L交橢圓 C于 A． B兩點(diǎn)．問：是否存在一個(gè)定點(diǎn) T，使A x y M N Q P H l O B 本卷第 3 頁（ 共 33 頁） 得以 AB 為直徑的圓恒過點(diǎn) T ? 若存在，求點(diǎn) T坐標(biāo)；若不存在，說明理由。 （ 2）過點(diǎn) F 作直線交橢圓 C 于點(diǎn) ,AB，又直線 OA 交 l 于點(diǎn) T ,若 2OT OA? ，求線段 AB的長； （ 3）已知點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 ? ?