【正文】 物線 D 的頂點是橢圓 134 22 ?? yx 的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合 . (1)求拋物線 D 的方程 。 (2)已知動直線 l 過點 ? ?0,4P ,交拋物線 D 于 A 、 B 兩點 . ??i 若直線 l 的斜率為 1,求 AB 的長 。 ??ii 是否存在垂直于 x 軸的直線 m 被以 AP 為直徑的圓 M 所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出 m 的方程；如果不存在，說明理由 . 2022 高考數(shù)學 理 最后 沖刺【六大解答題】圓錐曲線專練 答案 1..如圖，在平面 直角坐標系 xOy 中。橢圓 2 2:12xCy??的右焦點為 F ，右準線為 l 。 （ 1）求到點 F 和直線 l 的距離相等的點 G 的軌跡方程。 （ 2）過點 F 作直線交橢圓 C 于點 ,AB，又直線 OA 交 l 于點 T ,若 2OT OA? ，求線段 AB的長； （ 3）已知點 M 的坐標為 ? ?0 0 0, , 0x y x ? ，直線 OM 交直線 00 12xx yy??于點 N ，且和橢圓C 的一個交點為點 P ，是否存在實數(shù) ? ，使得 2 ?O P O M O N???，若存在，求出實數(shù) ? ；若不存在，請說明理由。 解：（ 1）由橢圓方程為 2 2 12x y?? 可得 2 2a? ， 2 1b? ， 1c? ， yxlAFBOT第 1 8 題 圖本卷第 8 頁（ 共 33 頁） (1,0)F ， :2lx? ． 設 ( , )Gxy ，則 由題意可知 22( 1) | 2 |x y x? ? ? ?， 化簡得點 G的軌跡方程為 2 23yx?? ? . ………… 4分 （ 2）由題意可知 1AFx x c? ? ? ， 故將 1Ax ? 代入 2 2 12x y??， 可得 2||2Ay ?，從而 2AB? ． …………… 8 分 （ 3）假設存在實數(shù) ? 滿足題意 ． 由已知得00:yOM y xx? ① 0 0 12xx yy?? ② 橢圓 C： 2 2 12x y?? ③ 由①②解得022002 2N xx xy? ? ， 022002 2N yy xy? ? ． 由①③解得 22022002 2P xx xy? ? ， 22 022002 2P yy xy? ? ． ……………………… 12分 ∴ 2 2 2 22 220 0 0 02 2 2 2 2 20 0 0 0 0 02 2 2 ( )2 2 2PP x y x yO P x y x y x y x y?? ? ? ? ?? ? ?， 2 2 2 20 0 0 000 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 02 2 2 ( )2 2 2NN x y x yO M O N x x y y x y x y x y?? ? ? ? ? ?? ? ?． 故可得 1?? 滿足題意 ． ……………………… 16 分 A、 B分別為橢圓 22 1( , 0 )xy abab? ? ?的左、右頂點，橢圓長半軸長等于焦距，且 4x?是它的右準線， (1) 求橢圓方程； (2) 設 P為右準線上不同于點（ 4， 0）的任一點，若直線 AP、 BP分 別與橢圓交于異于 A、B兩點 M、 N，證明：點 B在以 MN 為直徑的圓內(nèi) ． 解：（ 1）由 2 24acac???? ??? 得 12ca????? ? 3b? xyMNA O BP本卷第 9 頁（ 共 33 頁） ?方程為 22143xy??……………………………………………………………………… 6 分 （ 2） A（ 2? ， 0）， B（ 2， 0），令 00( , )M x y M在橢圓上， ? 22003 (4 )4yx??，又 M異于 A、 B 點， ? 022x? ? ? ，令 (4, )Py P、 A、 M 三點共線， ? 0000402y y xyx?????，? 006 2yy x? ? ? 006(4, )2yP x ? 00006( 2 , ) , ( 2 , )2yB M x y B P x? ? ? ?…………… 10 分 ? 2222022000 0 032( 4) 6 ( 4 )6 20 542( 2) 2 2 2( 2)xxyxBM BP x x x x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? 022x? ? ? ， ? 0 20x ?? ， 2020 5 0x??? BM BP? 0， …………………… 14 分 ,90,90 ?? ????? N B MP B M ?B在以 MN為直徑的圓內(nèi) ，已知橢圓 22 1 ( 0 )xy abab? ? ? ?的長軸為 AB ，過點 B 的直線 l 與 x 軸垂直．直線( 2 ) (1 2 ) (1 2 ) 0( )k x k y k k R? ? ? ? ? ? ?所經(jīng)過的定點 恰好是橢圓的一個頂點，且橢圓的離心率 32e?. （ 1）求橢圓的標準方程； （ 2）設 P 是橢圓上異于 A 、 B 的任意一點， PH x? 軸， H 為垂足，延長 HP 到點 Q 使得HP PQ? ，連結(jié) AQ 延長交直線 l 于點 M ， N 為 MB 的中點．試判斷直線 QN 與以 AB 為直徑的圓 O 的位置關(guān)系． （ 1）將 ( 2 ) (1 2 ) (1 2 ) 0k x k y k? ? ? ? ? ?整理得 ( 2 2) 2 1 0x y k x y? ? ? ? ? ? ? 解方程組 2 2 02 1 0xyxy? ? ? ??? ? ? ??得直線所經(jīng)過的定點（ 0， 1），所以 1b? ． A x y M N Q P H l O B 本卷第 10 頁（ 共 33 頁） 由離心率 32e?得 2a? ． 所 以 橢 圓 的 標 準 方 程 為2 2 14x y??． 4分 （ 2）設 ? ?00,P x y ，則 2 200 14x y??． ∵ HP PQ? ， ∴ ? ?00,2Q x y ． ∴ ? ?220022O Q x y? ? ? ∴ Q 點在以 O 為圓心， 2為半徑的的圓上．即 Q 點在以 AB 為直徑的圓 O 上． ……6 分 又 ? ?2,0A? ， ∴ 直線 AQ 的方程為 ? ?002 22yyxx??? ． 令 2x? ，得 0082, 2yM x???????．又 ? ?2,0B ， N 為 MB 的中點， ∴ 0042, 2yN x???????． ……8 分 ∴ ? ?00,2OQ x y? ， 000 022, 2xyN Q x x?????????． ∴ ? ? ? ? ? ? ? ?22 000 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 04242 2 2 22 2 2xxx y x yO Q N Q x x y x x x xx x x ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?0 0 0 02 2 0x x x x? ? ? ? ?． ∴ OQ NQ? ． ∴ 直線 QN 與圓 O 相切． ，焦點在 x 軸上，離心率為 23 ，且經(jīng) 過點 ? ?4,1M ，直線 mxyl ??: 交橢圓于不同的兩點 A， B. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）求 m 的取值范圍； （Ⅲ）若直線 l 不過點 M，試問 MA MBkk? 是否為定值？并說明理由。 （Ⅰ） 31,22cbaa? ? ?， 2分 依題意設橢圓方程為： 221,4xybb??把點 ? ?4,1 代入，得 2 5b? ? 橢圓方程為 5xy??4分 （Ⅱ）把 y x m?? 代入橢圓方程得： 225 8 4 20 0x m x m? ? ? ?， 由△ 0,? 可得 5 ? ? ? 6分 本卷第 11 頁（ 共 33 頁） （Ⅲ）設 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,A x y B x y， A,B與 M不重合， 21 2 1 28 4 2 0,55mmx x x x ?? ? ? ?， 8分 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 2 2 1121 2 1 21 4 1 4114 4 4 4M A M B y x y xyykk x x x x? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 2 2 1121 4 1 444x m x x m xxx? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 2 1 2122 5 8 1 044x x m x x mxx? ? ? ???? ? ?， ? MA MBkk? 為定值 12 分 ? ? ? ?121, 0 , 1, 0FF? ，過 10,2P??????作垂直于 y 軸的直線被橢圓所截線段長為 6 ，過 1F 作直線 l與橢圓交于 A、 B兩點 . （ I） 求橢圓的標準方程； (Ⅱ )是否存在實數(shù) t 使 1PA PB t PF?? ，若存在，求 t 的 值和直線 l 的方程；若不存在，說明理由． (Ⅰ )設橢圓方程為 221xyab??，由題意點 61,22??????在橢圓上， 221ab?? 所以 64(1+b2) + 14b2 =1，解得 2 2 12x y??……………… 5分 (Ⅱ )當直線斜率不存在時，易求 221, , 1,AB? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，所以)21,1(),2 12,1(),2 12,1( 1 ??????? PFPBPA 由 1PA PB t PF?? 得 2t? ，直線 l 的方程為 1x? ．……………… 7分 當直線斜率存在時， 所以1 1 2 211, , ,22P A x y P B x y? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，1 11, 2PF ???????? 由 1PA PB t PF?? 得 1212112 2 2x x ttyy????? ? ? ? ? ???即 12121 2x x ttyy????? ? ? ??? 因為 1 2 1 2( 2)y y k x x? ? ? ?，所以 12k?? 此時，直線 l 的方程為 ? ?1 12yx?? ? 本卷第 12 頁（ 共 33 頁） 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?的離心率為 12 ，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線 60xy? ? ? 相切，過點 P（ 4， 0）且不垂直于 x 軸直線 l 與橢圓 C 相交于 A、 B兩點。 （ 1）求橢圓 C的方程； （ 2）求 ,OAOB 的取值范圍； （ 3）若 B點在于 x軸的對稱點是 E，證明：直線 AE與 x軸相交于定點。 (1)解：由題意知 12ce a??，∴ 2 2 2222 14c a be aa?? ? ?，即 2243ab? 又 6 311b ???，∴ 2243ab??， 故橢圓的方程為 22 143yx ?? (2)解：由題意知直線 AB的斜率存在，設直線 PB的方程為 ( 4)y k x?? 由 22 ( 4)143y k xyx????? ???? 得： 2 2 2 2( 4 3 ) 32 64 12 0k x k x k? ? ? ? ? 由 2 2 2 2( 32 ) 4( 4 3 ) ( 64 12 ) 0k k k? ? ? ? ? ? ?得： 2 14k ? 設 A(x1 ， y1) ， B (x2 ， y2) ，則 221 2 1 23 2 6 4 1 24 3 4 3kkx x x x ?? ? ???， ① ∴ 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2( 4) ( 4) 4 ( ) 16y y k x k x k x x k x x k? ? ? ? ? ? ? ∴ 2 22 2 21 2 1 2 2 2 26 4 1 2 3 2 8 7( 1 ) 4 1 6 2 54 3 4 3 4 3k kO A O B x x y y k k kk k k?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ∵ 2 104k ?≤，∴28 7 8 7 8 73443k? ? ? ??≤，∴ 13[ 4 )4OA OB? ? ? ， ∴ OA OB? 的取值范圍是 13[ 4 )4?，． (3)證：∵ B、 E兩點關(guān)于 x軸對稱， ∴ E(x2，－ y2) 直線 AE 的方程為 121112 ()yyy y x