【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 xxx?? ? ??，令 y = 0得： 1 1 21 12()y x xxx yy??? ? 又1 1 2 2( 4) ( 4)y k x y k x? ? ? ?， ，∴ 1 2 1 2122 4 ( )8x x x xx xx??? ?? 由將①代入得： x = 1，∴直線 AE 與 x軸交于定點(diǎn) (1， 0)． ? ?22 10xy abab? ? ? ?的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，直線 0??? byx 是拋物線 xy 42 ? 的一條切線． （ Ⅰ ）求橢圓的方程； 本卷第 13 頁(yè)（ 共 33 頁(yè)） （ Ⅱ ）過(guò)點(diǎn) )31,0( ?S 的動(dòng)直線 L交橢圓 C于 A． B兩點(diǎn)．問(wèn)：是否存在一個(gè)定點(diǎn) T，使得以 AB 為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn) T ? 若存在，求點(diǎn) T坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。 解析：（ Ⅰ ）由 0)42(:4 0 222 ??????? ? ??? bxbxyxy byx 得消去 因直線 xybxy 42 ??? 與拋物線 相切， 04)42( 22 ?????? bb ， ∴ 1b? ， ………………2 分 ∵ 圓 )0(1:2222 ???? babyaxC 的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角 形， ∴ 22 ?? ba 故所求橢圓方程為 .12 22 ?? yx （ Ⅱ ）當(dāng) L與 x軸平行時(shí)，以 AB 為直徑的圓的方程： 222 )34()31( ??? yx 當(dāng) L與 x軸垂直時(shí)，以 AB為直徑的圓的方程： 122 ??yx 由 即兩圓公共點(diǎn)（ 0， 1） 因此，所求的點(diǎn) T 如果存在，只能是（ 0， 1） （ ⅰ ）當(dāng)直線 L斜率不存在時(shí)，以 AB 為直徑的圓過(guò)點(diǎn) T（ 0， 1） （ ⅱ ）若直線 L斜率存在時(shí)，可設(shè)直線 L： 31??kxy 由 01612)918(:12312222 ???????????????kxxkyyxkxy得消去 記點(diǎn) ),( 11 yxA ．?????????????9181691812),(22122122kxxkkxxyxB 則 )34)(34()1)(1()1,(),1,(212121212211?????????????kxkxxxyyxxTBTAyxTByxTA所以又因?yàn)? 916)(34)1(21212 ????? xxkxxk 0916918 1234918 16)1(222 ?????????? k kkkk ∴TA⊥TB, 本卷第 14 頁(yè)（ 共 33 頁(yè)） 綜合 （ ⅰ ）（ ⅱ ），以 AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn) T（ 0， 1）． 2 22: 1( 0 )xC y aa ? ? ?的兩個(gè)焦點(diǎn)是 12( , 0) ( , 0) ( 0)F c F c c??和 ，且橢圓 C上的點(diǎn)到焦點(diǎn) F2的最短距離為 3 2.? （ 1）求橢圓的方程； （ 2）若直線 : ( 0)l y kx m k? ? ?與橢圓 C交于不同的兩點(diǎn) M、 N，線段 MN垂直平分線恒過(guò)點(diǎn) A（ 0， 1），求實(shí)數(shù) m的取值范圍。 22:1xyC ab??的短軸長(zhǎng)等于焦距，橢圓 C 上的點(diǎn)到右焦點(diǎn) F 的最短距離為21? ． 本卷第 15 頁(yè)（ 共 33 頁(yè)） （ Ⅰ ） 求橢圓 C的方程； （ Ⅱ ） 過(guò)點(diǎn) (2 0)E ， 且斜率為 ( 0)kk? 的直線 l 與 C 交于 M 、 N 兩點(diǎn)， P 是點(diǎn) M 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)，證明： N F P、 、 三點(diǎn)共線 ． (I)由題可知： 2221bcac????? ? ??? ………… 2分 解得 2, 1ac??， 1b?? ?橢圓 C的方程為 2 2:12xCy??………………………… 4分 （ II） 設(shè)直線 l ： ( 2)y k x??， 11()M x y， ， 22()N x y， ， 11()P x y?， ， (1 0)F ， ， 由 22( 2)12y k xx y????? ????，得 2 2 2 2( 2 1 ) 8 8 2 0k x k x k? ? ? ? ?.………… 6分 所以 212 2821kxx k?? ?， 212 28221kxx k ?? ?. …………………… 8分 而 2 2 2 2( 1 ) ( 1 2 )F N x y x kx k? ? ? ? ?， ，uuur ，1 1 1 1( 1 ) ( 1 2 )F P x y x kx k? ? ? ? ? ? ?u ur ， ， ………… 10分 1 2 2 1( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )x k x k x k x k? ? ? ? ? ?Q 1 2 1 2[ 2 3 ( ) 4 ]k x x x x? ? ? ? 221 6 4 2 4 42 1 2 1kkk ???? ? ???????0? //FN FP?uuur uur ∴ N F P、 、 三點(diǎn)共線 E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn) O，焦點(diǎn)在 x軸上，離心率為 P(1， 32)、 A、 B在橢圓 E上，且 PA→ ＋ PB→ ＝ mOP→ (m∈ R)． (1)求橢圓 E的方程及直線 AB的斜率； (2)當(dāng) m＝－ 3時(shí)，證明原點(diǎn) O是 △ PAB的重心，并求直線 AB的方程． 解 ：（ 1）由222 1 abe ?? =41 及 149122 ?? ba解得 a2=4， b2=3， 橢圓方程為 134 22 ?? yx ；………………………………………………………… 2分 本卷第 16 頁(yè)（ 共 33 頁(yè)） 設(shè) A（ x1,y1） 、 B（ x2,y2） ， 由 OPmPBPA ?? 得 （ x1+x22， y1+y23） =m（ 1， 23 ），即???????????myymxx23322121 又 134 2121 ?? yx ， 134 2222 ?? yx ，兩式相減得 21233 24343 21 2112 12 ??????????????? mmyy xxxx yyk AB。 ……………………… 6分 （ 2） 由（ 1）知，點(diǎn) A（ x1,y1） 、 B（ x2,y2） 的坐標(biāo)滿足???????????myymxx23322121 ， 點(diǎn) P的坐標(biāo)為 （ 1， 23 ） , m=3， 于 是 x1+x2+1=3+m=0， y1+y2+23 =3+ 23m +23 =0， 因此△ PAB的重心坐標(biāo)為 (0， 0)．即原點(diǎn)是△ PAB的重心 . ∵ x1+x2=1， y1+y2=23 ，∴ AB 中點(diǎn)坐標(biāo)為（ 21? ， 43? ），……………………… 10分 又 134 2121 ?? yx ， 134 2222 ?? yx ，兩式相減得 2143 21 2112 12 ?????????? yy xxxx yyk AB。 ∴直線 AB的方程為 y+43 = 21? (x+21 ),即 x+2y+2=0. 2 4yx? ，點(diǎn) (1, 0)M 關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn)為 N ，直線 l 過(guò)點(diǎn) M 交拋物線于 ,AB兩點(diǎn)． （ 1）證明：直線 ,NA NB 的斜率互為相反數(shù)； （ 2）求 ANB? 面積的最小值； （ 3）當(dāng)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 ( ,0)m ， (0m? 且 1)m? ．根據(jù)（ 1）（ 2）推測(cè)并回答下列問(wèn)題（不必說(shuō)明理由）： ①直線 ,NA NB 的斜率是否互為相反數(shù)？ ② ANB? 面積的最小值是多少？ （ 1）設(shè)直線 l 的方程為 ? ?1 ( 0)y k x k? ? ?． 由 ? ?21,4,y k xyx? ? ??? ??? 可得 ? ?2 2 2 22 4 0k x k x k? ? ? ?． 設(shè) ? ? ? ?1 1 2 2, , ,A x y B x y，則 21 2 1 2224,1kx x x xk ?? ? ?． ∴ 12 4yy?? ∴ ? ?1, 0N ? 本卷第 17 頁(yè)（ 共 33 頁(yè)） 1 2 1 2221 2 1 2441 1 4 4N A N B y y y ykk x x y y? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?221 2 2 1 2 1 1 22 2 2 21 2 1 24 4 4 4 ( 4 4 4 4 ) 04 4 4 4y y y y y y y yy y y y??? ? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ?． 又當(dāng) l 垂直于 x 軸時(shí)，點(diǎn) ,AB關(guān)于 x 軸，顯然 0,N A N B N A N Bk k k k? ? ? ?． 綜上， 0,N A N B N A N Bk k k k? ? ? ?． 5分 （ 2） ? ? ? ?21 2 1 2 1 2 1 24 4 8NA BS y y y y y y x x? ? ? ? ? ? ? ? ?=214 1 4k??． 當(dāng) l 垂直于 x 軸時(shí)， 4NABS? ? ． ∴ ANB? 面積的最小值等于 4 ． 10 分 （ 3）推測(cè)：① NA NBkk?? ； ② ANB? 面積的最小值為 4mm． 13 分 E：2222 byax ? =1（ a＞ b＞ o）的離心率 e= 22 ，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 6 ,1）， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)。 （ Ⅰ ）求橢圓 E的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ Ⅱ ）圓 O是以橢圓 E的長(zhǎng)軸為直徑的圓， M是直線 x=－ 4在 x軸上方的一點(diǎn)，過(guò) M作圓 O的兩條切線， 切點(diǎn)分別為 P、 Q，當(dāng) ∠ PMQ=60176。 時(shí)，求直線 PQ 的方程 . 解：（ 1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： 148 22 ?? yx （ 2）連接 QM， OP， OQ， PQ 和 MO 交于點(diǎn) A， 有題意可得 M（ 4， m）， ∵∠PMQ=60 0 ∴∠OMP=30 0， ∵ 24)4(2422 22 ??????? mOMOP ， ∵m0,∴m=4,∴M( 4,4) ∴ 直線 OM的斜率 1??OMK ,有 MP=MQ,OP=OQ可 知 OM⊥PQ, 1?? PQK ,設(shè)直線 PQ的方程為 y=x+n ∵∠OMP=30 0,∴∠POM=60 0,∴∠OPA=30 0, 222 ??? OAOP? ,即 O到直線 PQ的距離為 2 , 222 ????? nn (負(fù)數(shù)舍去 ),∴PQ 的方程為 xy+2=0 C1： x 2＝ 4 y 的焦點(diǎn)為 F，曲線 C2與 C1關(guān)于原本卷第 18 頁(yè)（ 共 33 頁(yè)） 點(diǎn)對(duì)稱． (Ⅰ ) 求曲線 C2的方程； (Ⅱ) 曲線 C2 上是否存在一點(diǎn) P（異于原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn) P作 C1的兩條切線 PA， PB，切點(diǎn) A， B，滿足 | AB |是 | FA | 與 | FB | 的等差中項(xiàng)？若存在，求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． (Ⅰ )解；因 為曲線 1C 與 2C 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又 1C 的方程 2 4xy? ， 所以 2C 方程為 2 4xy?? ． ………… 5分 (Ⅱ )解：設(shè) 200( , )4xPx?， 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y , 12xx? ． 214yx? 的導(dǎo)數(shù)為 12yx?? ，則切線 PA 的方程 1 1 11 ()2y y x x x? ? ?， 又 21114yx?，得1112y x x y??， 因點(diǎn) P 在切線 PA 上 ,故 20 1 0 11142x x x y? ? ?． 同理 , 20 2 0 21142x x x y? ? ?． 所以直線 2001142x x x y? ? ?經(jīng)過(guò) ,AB兩點(diǎn)， 即直線 AB 方程為 2001142x x x y? ? ?,即 2001124y x x x??， 代入 2 4xy? 得 220220x x x x? ? ?，則 1 2 02x x x?? , 21 2 0xx x?? ， 所以 2 2 2 20 1 2 1 2 0 01| | 1 ( ) 4 ( 8 2 )4A B x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?， 由拋物線定義得 1| | 1FA y??， 2| | 1FB y??． 所以 21 2 0 1 2 011| | | | ( ) 2 ( ) 222F A F B y y x x x x? ? ? ? ? ? ? ?， 由題設(shè)知， | | |